1S Devoir n° 15 maison vendredi 28 février 2014
Exercice 1 :
On veut installer un toboggan au bord d’une piscine. Les concepteurs du projet ont fourni le document suivant en indiquant les contraintes à respecter
Les contraintes d’installation sont les suivantes :
– contrainte C1: la hauteur maximale OA du toboggan est de 6 mètres à 10 cm près ; – contrainte C2: la longueur au sol OC est comprise entre 12 et 13 mètres ;
– contrainte C3: la pente du toboggan au départ (point A) est nulle ;
– contrainte C4: le toboggan redescend au niveau du sol à 8 mètres puis remonte ;
– contrainte C5: la pente du toboggan en C est de 48% pour permettre la fixation d’un plan incliné.
Dans le repère de l’annexe 1 ( à rendre avec la copie), le sol est représenté par l’axe des abscisses ; une unité sur le graphique correspond à un mètre.
Deux sociétés proposent un projet pour le profil de ce toboggan
Projet n° 1 : Modélisation en deux parties
1. La partie gauche du toboggan est modélisée par la fonctionf définie sur [ 0 ; 4] parf(x) =−0,21x2+ 6,08.
a. Donner, en justifiant, les variations de la fonctionf. b. Justifier que la fonctionf vérifie les conditions C1et C3.
2. La partie droite du toboggan est modélisée par la fonctiongdéfinie sur l’intervalle [ 4 ; +∞[ par g(x) =−0,02x3+ 0,57x2−5,28x+ 16.
a. Calculer la dérivéeg′(x) de la fonctionget déterminer son signe surR. b. Dresser le tableau de variation de la fonctiongsur l’intervalle [ 4 ; 13 ].
c. Justifier que la fonctiongvérifie la condition C4.
d. Résoudre l’équationg′(x) =−0,48. La fonctiongvérifie t-elle les conditions C2et C5? Justifier e. Donner alors la valeurℓ1de la longueur totale du toboggan à 10−2près.
3. Ce projet ne sera accepté que si le raccordement des deux courbes est « parfait », ce qui signifie que les deux courbesCf etCg ont une tangente commune au point R de raccordement d’abscisse 4.
a. Déterminer une équation de la tangente à la courbeCf au point R d’abscisse 4.
b. Démontrer queCg admet la même tangente au point R.
4. Construire, sur le graphique n° 1 les courbes représentatives de ces deux fonctions :Cf sur l’intervalle [ 0 ; 4] et sur l’intervalle [ 4 ; ].
1S Devoir n° 15 maison vendredi 28 février 2014
Projet n° 2 : Modélisation en une seule partie
Afin d’éviter les problèmes de raccordement, la seconde société à décidé de modéliser à l’aide d’une seule fonction.
Soithla fonction définie surRparh(x) = 1 1200
−3x4+ 76x3−528x2+ 7200 . 1. a. Calculer la dérivéeh′(x) de la fonctionhet déterminer son signe surR.
b. Dresser le tableau de variation de la fonctionhsur l’intervalle [ 0 ; 13 ].
c. Justifier que la fonctionhvérifie les condition C1, C3et C4.
a. Déterminer une équation de la tangente à la courbe Ch représentative de h au point d’abscisse 12. La fonctionhvérifie t-elle les conditions C2et C5? Justifier
b. Donner alors la valeurℓ2de la longueur totale du toboggan.
a. Compléter le tableau de valeurs ci-dessous :
x 0 3 6 8 11 12
h(x)
h′(x)
b. Après avoir placé les points correspondant à ce tableau, tracer les tangentes en ces points puis construire, sur le graphique n° 2, la courbe représentativeChde la fonctionhsur l’intervalle [ 0 ;ℓ2].
Exercice 2 :
ABC est un triangle avec AB = 6 et AC = 10. l’angle géométriqueBAC[vaut 30 °.
1. Déterminer la longueur BC.
2. En déduire les mesures des deux autres angles du triangle ABC.
Exercice 3 :
Un avion décolle à 21 h 30 de l’aéroport A vers l’aéroport B.
(Figure ci-contre).
Il vole à 320 km.h−1.
1. Déterminer l’heure d’arrivée à l’aéroport B.
2. Quand l’avion arrive au dessus de D il est détourné vers l’aéroport C, situé au nord de B, en raison d’un épais brouillard au dessus de l’aéroport B.
a. Calculer la distance de D à C.
b. Déterminer l’heure d’arrivée à l’aéroport C.
c. On note E le point du trajet de l’avion de D à C où la distance qui le sépare de l’aéroport B est minimale. Déterminer les distances de D à E et de E à B. Les durées seront données à la minute près et les distances au kilomètre près.
bB
b
C
b
D
b
A
b
N
α= 60˚
240 km
400 km
400 km
NOM : A
Projet n° 1 : Modélisation en deux parties
Représentation graphique des fonctionsf etg.
1 2 3 4 5 6 7
−1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
−1
−2
Projet n° 2 : Modélisation en une seule partie
Représentation graphique de la fonctionh.
1 2 3 4 5 6 7
−1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
−1
−2
Corrigé
Exercice 1 :
Projet n° 1 : Modélisation en deux parties
1. f est définie sur [ 0 ; 4] parf(x) =−0,21x2+ 6,08.
a. f ′(x) =−0,21×2xdoncf ′(x) est du signe de−x. Sur l’intervalle [ 0 ; 4],f ′(x)≤0.
La fonctionf est donc décroissante sur l’intervalle [ 0 ; 4].
b. Le maximum de la fonctionf est donc égal àf(0) = 6,08 : la hauteur du toboggan est donc de 6 mètres à 10 cm près. C1est vérifiée
f ′(0) = 0 donc la pente du toboggan au départ est donc nulle. C3est vérifiée 2. gest définie sur l’intervalle [ 4 ; +∞[ parg(x) =−0,02x3+ 0,57x2−5,28x+ 16.
a. g′(x) =−0,02×3x3+ 0,57×2x−5,28 =−0,06x2+ 1,14x−5,28 :∆= 0,0324,x1= 11 etx2= 8.
g′(x)<0 sur ] − ∞; 8[∪]11; +∞[ etg′(x)>0 sur ]8; 11[
b. Tableau de variation de la fonctiongsur l’intervalle [ 4 ; 13 ].
x 4 8 11 13
g′ − + −
f
2,72❅
❅❅❘ 0
✒0,27
❅❅
❅
❘
−0,25
c. D’après les variations, la fonction est décroissante jusqu’à 8 ou elle vaut 0 puis elle est croissante donc la condition C4est vérifiée.
d. g′(x) =−0,48⇔ −0,06x2+ 1,14x−5,28 =−0,48⇔ −0,06x2+ 1,14x−4,8 = 0 :
∆= 0,1476,x1≃12,7 etx2≃6,3. Nous avonsg(12,7)≃0 etg′(12,7) =−0,48.
La fonctiongvérifie donc les conditions C2et C5?
e. La longueur totale du toboggan est alors deℓ1= 12,7 mètres à 10−2près.
3. Ce projet ne sera accepté que si le raccordement des deux courbes est « parfait », ce qui signifie que les deux courbesCf etCg ont une tangente commune au point R de raccordement d’abscisse 4.
a. f(4) = 2,72 etf ′(4) =−1,68 donc une équation de la tangente esty=−1,68x+p.
Six= 4 alorsy= 2,72 doncp= 2,72 + 1,68×4 = 9,44.
La tangente à la courbeCf au point R d’abscisse 4 a pour équationy=−1,68x+ 9,44.
b. Pour démontrer queCg admet la même tangente au point R, il suffit de calculerg(4) etg′(4).
g(4) =−0,02×43+0,57×42−5,28×4+16 = 2,72 =f(4) etg′(x) =−0,06×42+1,14×4−5,28 =−1,68 =f ′(4).
Donc la courbeCg admet la même tangente au point R.
4. Graphique en annexe
Projet n° 2 : Modélisation en une seule partie
Soithla fonction définie surRparh(x) = 1 1200
−3x4+ 76x3−528x2+ 7200 . 1. a. h′(x) = 1
1200
−3×4x3+ 76×3x2−528×2x
= 1
1200
−12x3+ 228x2−1056x
= 1 100
−x3+ 19x2−88x . Pour trouver le signe, on factorise :h′(x) = x
100
−x2+ 19x−88 :
∆= 9;x1= 8;x2= 11 donc−x2+ 19x−88<0 sur ] − ∞; 8[∪]11; +∞[ et−x2+ 19x−88>0 sur ]8; 11[
donch′(x)>0 surR−et admet le même signe que−x2+ 19x−880 surR+. b. D’où le tableau de variation de la fonctionhsur l’intervalle [ 0 ; 13 ].
Corrigé
x 0 8 11 13
h′ 0 − 0 + 0 −
h
6❅
❅❅❘ 0
✒0,45
❅❅
❅
❘
−0.62
c. D’après ce tableau de variation, le maximum de la fonction sur [ 0 ; 13 ] est de 6 donchvérifie C1. h′(0) = 0 donchvérifie C3.
h′(8) = 0 eth(8) = 0 la fonctionhdécroît avant 8 pour croître ensuite donchvérifie C4.
2. a. Au point d’abscisse 12 :h(12) = 0,24 eth′(12) =−0,48 donc une équation de la tangente esty=−0,48x+p.
Six= 12 alorsy= 0,24 doncp= 0,24 + 0,48×12 = 6.
La tangente à la courbeChau point d’abscisse 12 a pour équationy=−0,48x+ 6.
Si l’on choisit comme point d’appui du plan incliné le point de coordonnées ( 12 ; 0,24), alors la pente du toboggan est bien de−0,48. La conditions C5est respectée.
h(12) = 0,24 eth(13) =−0,62 donc la courbe coupe l’axe des abscisses en un point d’abscisse comprise entre 12 et 13. a conditions C2est respectée.
b. Avec la calculatrice, nous trouvonsh(12,4)≃0 donc la longueur totale du toboggan estℓ2= 12,4 mètres.
a. Compléter le tableau de valeurs ci-dessous :
x 0 3 6 8 11 12
h(x) 6 3.55 0.6 0.03 0.45 0.24
h′(x) -0 -1.2 -0.6 0 -0 -0.48
b. Après avoir placé les points correspondant à ce tableau, tracer les tangentes en ces points puis construire, sur le graphique n° 2, la courbe représentativeChde la fonctionhsur l’intervalle [ 0 ;ℓ2].
Corrigé
Exercice 2 :
ABC est un triangle avec AB = 6 et AC = 10. l’angle géométriqueBAC[vaut 30 °.
1. D’une part −−→AB.−−→AC = AB.AC.cosBAC[= 6×10×
√3 2 = 30√
3.
D’autre part−−→
AB.−−→
AC =1 2
AB2+ AC2−BC2
donc 60√
NOM : A
Projet n° 1 : Modélisation en deux parties
Représentation graphique des fonctionsf etg.
1 2 3 4 5 6 7
−1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
−1
−2 0
6.1
4 2.7
11 0.3
11 0.2
Projet n° 2 : Modélisation en une seule partie
Représentation graphique de la fonctionh.
1 2 3 4 5 6 7
−1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
−1
−2 0
6
3 3.5
