Mathématiques Première : Fonction dérivée
Thèmes
Exercices de base
Ex.B1 : Tangente à une courbe de fonction en un point donné Ex.B2 : Calculs de dérivées
Ex.B3 : Variations d'une fonction dérivable et applications Exercices d’approfondissement
Ex.A1 : Encadrement d'un extremum de fonction Ex.A2 : Tangente commune à deux paraboles Ex.A3 : Courbe orthoptique d'une parabole
Ex.A4 : Méthode de Newton pour la résolution approchée d'une équation Dans tous les exercices de base, on demande de choisir trois entiers .
On pourra les choisir parmi les 44 triplets suivants (6,8,9 est celui utilisé pour les corrigés) :
Énoncés
Exercices de base Ex.B1
1. Choisir trois entiers tels que et . Le plan est rapporté à un repère orthonormé .
Déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe représentant au point d’abscisse dans les cas suivants :
a) et b) et c) et d) et e) et
2. Choisir trois entiers tels que et .
Soit la fonction définie sur par et sa courbe représentative dans un repère orthonormé . On note le point de dont l’abscisse est égale à – .
a) Déterminer l’équation réduite de la tangente à en .
b) Démontrer que la droite recoupe la courbe en un point dont on précisera les coordonnées Indication : Utiliser le résultat suivant (voir 1A21.b) : si est un polynôme du troisième degré et un réel tel que alors se factorise par .
3. Choisir trois entiers tels que et .
Soit la fonction définie sur par et sa courbe représentative dans un repère orthonormé .
a) Soit . Déterminer, en fonction de , l’équation réduite de la tangente à la courbe représentant au point d’abscisse .
b) Déterminer les réels pour lesquels est parallèle à la droite d’équation . c) Déterminer les réels pour lesquels passe par le point de d’abscisse – (remarquer que
est un des réels cherchés et utiliser le résultat suivant (voir 1A21.b) : si est un polynôme du troisième degré et un réel tel que alors se factorise par ).
Ex.B2
1. Choisir trois entiers tels que et .
Dans chacun des cas suivants, justifier que est dérivable sur , calculer et factoriser l’expression obtenue :
a) b)
c)
2. Choisir trois entiers tels que et .
Étudier la dérivabilité de en dans les cas suivants : a) et
b) et c) et Ex.B3
1. Choisir trois entiers tels que et .
Dresser le tableau de variations de la fonction définie par . 2. Choisir trois entiers tels que et .
Dresser le tableau de variations de la fonction définie par
. 3. Choisir trois entiers tels que et .
Le volume d’un récipient cylindrique est égal à .
Soit la fonction définie que par . a) Étudier les variations de la fonction .
Indication. On utilisera l’équivalence suivante : pour tout réel , . b) Montrer que la surface de métal utilisé pour fabriquer le récipient est égale à où est le rayon du récipient (celui-ci possède un fond et un pourtour mais pas de couvercle).
c) En déduire quelle doit être la hauteur du récipient pour que sa surface métallique soit minimale.
Donner sa valeur arrondie au centième.
4. Choisir trois entiers tels que et . On considère un triangle rectangle en tel que et .
Soit , et le point d’intersection de la parallèle à passant par avec la droite ( .
On pose et .
a) Démontrer que l’aire du trapèze est égale à . b) Dans cette question, on suppose que est le milieu de .
Donner le tableau de variations de la fonction qui à associe l’aire du trapèze . Interpréter géométriquement le minimum et le maximum de cette fonction.
c) Dans cette question, on suppose que est le milieu de .
Donner le tableau de variations de la fonction qui à associe l’aire du trapèze . Préciser la position du point en lequel atteint son maximum.
Dans la suite, on suppose que l’aire du trapèze est égale à . d) Exprimer et fonction de .
e) Soit la fonction définie sur par
.
Donner le tableau de variations de la fonction .
f) Résoudre les équations et , donner les valeurs arrondies au centième des solutions puis préciser comment varie la distance en fonction de la distance .
5. Choisir trois entiers tels que et . Le plan est rapporté à un repère orthonormé .
Soit la parabole d’équation .
Soit , on note le point de d’abscisse et la tangente à en .
La droite coupe l’axe des abscisses en un point et l’axe des ordonnées en un point . a) Donner, en fonction de , l’équation réduite de la droite .
b) En déduire les coordonnées des points et et l’aire du triangle en fonction de . On note la fonction définie sur par .
c) Soit une fonction dérivable sur un intervalle .
Démontrer que est dérivable sur et que . d) Étudier les variations de la fonction .
e) En déduire que l’aire du triangle est minimale pour une valeur de qu’on précisera.
Exercices d’approfondissement Ex.A1
1. Soit et les fonctions définies par et . a) Montrer et ont le même signe.
b) Étudier les variations de et en déduire que l’équation a une unique solution . À l’aide de la calculatrice, donner un encadrement de d’amplitude .
c) Montrer que a un minimum sur et que . d) En déduire un encadrement de d’amplitude .
Ex.A2
1. Le plan est rapporté à un repère orthonormé .
On note la parabole d’équation et la parabole d’équation où sont trois réels avec .
a) Soit et deux réels. Donner l’équation réduite de la tangente à au point d’abscisse et celle de la tangente à au point d’abscisse .
b) En déduire que et ont une tangente commune si, et seulement si, il existe deux réels et tels que
. c) On suppose .
Montrer que et ont des tangentes communes si, et seulement si, . Préciser leur nombre en distinguant deux cas et donner leur équation réduite.
d) On suppose .
Donner une condition nécessaire et suffisante pour que et aient une unique tangente commune.
Donner son équation réduite.
e) On note l’ensemble des sommets des paraboles qui ont exactement une tangente commune avec et l’ensemble des sommets des paraboles qui ont exactement deux tangentes
communes avec . Déterminer et suivant les valeurs de . Ex.A3
1. Le plan est rapporté à un repère orthonormé . On note la parabole d’équation ,
l’ensemble des points du plan par lesquels passent deux tangentes à distinctes
et l’ensemble des points du plan par lesquels passent deux tangentes à qui sont perpendiculaires.
est appelé courbe orthoptique de la parabole .
a) Soit et deux droites de pentes respectives et . On considère les points et .
En remarquant que , démontrer que . Soit un point quelconque.
b) Démontrer que . En déduire l’ensemble .
c) En utilisant a), démontrer que . En déduire l’ensemble . Ex.A4
1. Soit une fonction définie sur un intervalle ( ) dérivable sur ainsi que sa dérivée.
On note la courbe représentative de dans un repère orthogonal .
On suppose que et que, pour tout , , étant la fonction dérivée de .
a) Étudier les variations de (distinguer les cas et ) et montrer que l’équation a une unique solution .
b) Montrer que pour tout .
c) Soit et le point de d’abscisse . Calculer, en fonction de , l’abscisse du point d’intersection de la tangente à en avec l’axe des abscisses.
On note la fonction définie sur par
.
d) Démontrer que, pour tout et que . e) Soit la suite définie par et, pour tout , .
Vérifier que la suite est décroissante. On admet qu’elle a pour limite c’est-à-dire que peut être aussi proche de qu’on veut à condition de choisir suffisamment grand.
La méthode précédente, qui permet d’obtenir une approximation de à l’aide d’une suite, est appelée méthode de Newton (Isaac, 1642 – 1727).
On étudiera la précision de l’approximation sur un exemple dans l’exercice suivant.
f) On pose et . En prenant 8 grands carreaux pour unité sur l’axe des abscisses et 2 sur l’axe des ordonnées, représenter la courbe , préciser et construire les termes et . Donner ensuite leur valeur exacte par un calcul.
2. L’objet de l’exercice est d’obtenir une approximation de par la méthode de Héron d’Alexandrie (1er siècle après J.C.).
a) On construit une suite de rectangles d’aire égale à de la façon suivante :
En notant la longueur de et sa largeur, on pose et et, pour tout ,
.
Démontrer que, pour tout , b) Démontrer que, pour tout , . En déduire que .
c) Justifier intuitivement que et tendent vers quand tend vers d) On note la fonction définie sur par et on pose .
Démontrer que, pour tout , où est la suite définie dans la question e) de l’exercice précédent.
La méthode de Héron aboutit donc à un cas particulier de la méthode de Newton.
e) Calculer et en déduire les cinq premières décimales de .
Méthodes et indications Exercices de base
Ex.B1
1. La tangente à au point d’abscisse a pour équation .
2. b) Un point appartient à deux courbes d’équation et si et seulement si son abscisse est solution de l’équation .
3. b) Deux droites sont parallèles lorsqu’elles ont la même pente
c) Un point appartient à une droite lorsque ses coordonnées vérifient l’équation de cette droite.
Ex.B2
1. a) Écrire et utiliser le résultat suivant :
Si alors ( étant une fonction dérivable sur ).
Pour factoriser , la méthode précédente est beaucoup plus simple que celle qui consiste à développer .
b) et c) Justifier que est définie sur en vérifiant que le dénominateur de n’a pas de racine.
2. Revenir à la définition : est dérivable en lorsque
a une limite dans quand tend vers (c’est cette limite qui est notée ).
Utiliser l’égalité
pour tout . Ex.B3
1. Le tableau de variations ne doit pas comporter de valeur approchée. On peut calculer les valeurs exactes avec la calculatrice.
2. Même remarque que pour l’exercice 1.
3. a) Comme la fonction cube est strictement croissante sur ,
b) La surface d’un cylindre de révolution de rayon et de hauteur est et son volume est .
4. a) L’aire d’un trapèze est (moyenne des bases) (hauteur) (voir Seconde Ex.4B31) et utiliser le théorème de Thalès.
b) est une fonction affine ; on peut donner directement ses variations.
c) De même, est une fonction polynôme du second degré.
5. b) Remarquer que le triangle est rectangle en . c) Remarquer que
d) Utiliser la question c) pour calculer et factoriser e) Remarquer que, pour tout , avec .
Exercices d’approfondissement Ex.A1
1. b) Étudier le signe de pour variant entre et avec un pas de puis entre deux valeurs distantes ce avec un pas de et enfin entre deux valeurs distantes de avec un pas de .
c) Utiliser les égalités et
d) Remarquer que la fonction est strictement décroissante autour de .
Ex.A2
1. b) Deux droites d’équation et sont confondues si, et seulement si, et .
c) Démontrer que si le système a des solutions alors puis l’implication réciproque.
d) Traiter à part le cas où .
e) Le sommet de est le point . Distinguer les cas , ( et .
Ex.A3
1. a) Une droite de pente est dirigée par le vecteur . Utiliser le théorème de Pythagore ou le produit scalaire.
b) Remarquer que les abscisses des points de tangence sont solutions d’une équation du second degré.
Ex.A4
1. a) Étudier le signe de en distinguant les cas et et en utilisant l’encadrement .
d) Étudier les variations de avec le signe de . e) Étudier le signe de .
2. a) Utiliser l’équivalence . Ne pas oublier que . b) Pour la première inégalité, remarquer que .
Appliquer cette inégalité entre et puis entre et jusqu’à et . c) Remarquer que les suites et sont monotones.
d) Encadrer par et .
Corrigés
Exercices de base Ex.B1
1.
a) et . On a et pour tout réel donc . Ainsi a pour équation ou encore .
b) et .
On a et pour tout réel donc . Ainsi a pour équation ou encore .
c) et . On a et pour tout réel donc . Ainsi a pour équation ou encore .
d) et . On a et pour tout réel donc . Ainsi a pour équation ou encore .
e) et . On a
et pour tout réel donc . Ainsi a pour équation
ou encore
. 2.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé .
Déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe représentant au point d’abscisse dans les cas suivants :
a) et b) et c) et d) et e) et
Soit la fonction définie sur par et sa courbe représentative dans un repère orthonormé . On note le point de dont l’abscisse est égale à – .
a) Déterminer l’équation réduite de la tangente à en .
b) Démontrer que la droite recoupe la courbe en un point dont on précisera les coordonnées.
Indication : Utiliser le résultat suivant (voir 1A21.b) : si est un polynôme du troisième degré et un réel tel que alors se factorise par .
On a et .
a) Pour tout réel , on a donc .
Ainsi a pour équation ou encore . b)
.
Comme , est solution de l’équation donc on peut factoriser par . On a .
Le discriminant de est et ses racines sont et donc le point est le point de d’abscisse . Son ordonnée est . On a 181).
3.
a) est une fonction polynôme donc elle est dérivable là où elle est définie c’est-à-dire sur . On a donc a pour équation
ou encore
b) a pour equation .
//
ou
c) donc a pour coordonnées .
Comme (car tout point appartient à la tangente à une courbe en ce point), est solution de l’équation précédente.
En utilisant le résultat admis, on peut donc factoriser par . On obtient
Le discriminant de est ;
il y a donc deux racines et On a donc ou .
Ex.B2 1.
a) avec et
et est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur .
Soit la fonction définie sur par et sa courbe représentative dans un repère orthonormé .
a) Soit . Déterminer, en fonction de , l’équation réduite de la tangente à la courbe représentant au point d’abscisse .
b) Déterminer les réels pour lesquels est parallèle à la droite d’équation . c) Déterminer les réels pour lesquels passe par le point de d’abscisse – (remarquer que est un des réels cherchés et utiliser le résultat suivant (voir 1A21.b) : si est un polynôme du troisième degré et un réel tel que alors se factorise par ).
Dans chacun des cas suivants, justifier que est dérivable sur , calculer et factoriser l’expression obtenue :
a) b)
c)
On a
b)
avec et et
Le discriminant de est . On a donc n’a pas de racine.
On en déduit que est définie sur . Comme c’est une fonction rationnelle, elle est dérivable sur (là où elle est définie).
Le discriminant de est donc il y a deux racines :
et . Finalement,
. c)
avec et
et
Pour tout réel , on a donc est définie sur . Comme c’est une fonction rationnelle, elle est aussi dérivable sur .
Le discriminant de est donc il y a deux racines :
et . Finalement,
. 2.
a) et Pour tout on a
. Comme
, n’est pas dérivable en .
b) et Pour tout on a
. Comme
, est dérivable en .
Remarque. est le produit de deux fonctions dérivables sur donc est dérivable sur cet intervalle. En posant et , on a et
(dérivée de Étudier la dérivabilité de en dans les cas suivants :
a) et b) et c) et
avec ) donc
.
A priori cette méthode ne permet pas de démontrer que est dérivable en puisque l’égalité n’est justifiée que pour . Il existe cependant un théorème qui permet de conclure que grâce à l’égalité précédente mais il est hors programme.
c) et
Pour tout réel , on a On a donc
ce qui prouve que
n’existe pas.
Remarque. On a
; on dit que est dérivable à gauche en et on note De même
; on dit que est dérivable à droite en et on note . Une fonction est dérivable en lorsque .
Ex.B3 1.
est une fonction polynôme dérivable sur .
Les racines de sont et . Le coefficient de est positif donc on a le tableau de variations suivant :
avec et . 2.
Le discriminant de est négatif donc est une fonction rationnelle dérivable sur .
est du signe de dont les racines sont et avec un coefficient dominant négatif.
On a donc le tableau de variations suivant :
Dresser le tableau de variations de la fonction définie par .
Dresser le tableau de variations de la fonction définie par
.
3.
a) est une fonction rationnelle définie sur ; elle est donc dérivable sur cet intervalle.
donc est du signe de . On a pour donc est strictement croissante sur . On en déduit que . D’où le tableau de variations de :
avec et
.
b) La surface de métal utilisé pour le fond du récipient est égale à et la surface utilisée pour les bords à . La surface totale est donc . Or le volume du récipient est
donc
. Finalement,
. c) D’après a), la surface métallique est minimale lorsque .
Dans ce cas la hauteur est
. 4.
Le volume d’un récipient cylindrique est égal à . Soit la fonction définie que par . a) Étudier les variations de la fonction .
Indication. On utilisera l’équivalence suivante : pour tout réel , . b) Montrer que la surface de métal utilisé pour fabriquer le récipient est égale à où est le rayon du récipient (celui-ci possède un fond et un pourtour mais pas de couvercle).
c) En déduire quelle doit être la hauteur du récipient pour que sa surface métallique soit minimale.
Donner sa valeur arrondie au centième.
On considère un triangle rectangle en tel que et .
Soit , et le point d’intersection de la parallèle à passant par avec la droite ( .
On pose et .
a) Démontrer que l’aire du trapèze est égale à . b) Dans cette question, on suppose que est le milieu de .
Donner le tableau de variations de la fonction qui à associe l’aire du trapèze . Interpréter géométriquement le minimum et le maximum de cette fonction.
c) Dans cette question, on suppose que est le milieu de .
Donner le tableau de variations de la fonction qui à associe l’aire du trapèze . Préciser la position du point en lequel atteint son maximum.
Dans la suite, on suppose que l’aire du trapèze est égale à . d) Exprimer et fonction de .
e) Soit la fonction définie sur par
.
Donner le tableau de variations de la fonction .
f) Résoudre les équations et , donner les valeurs arrondies au centième des solutions puis préciser comment varie la distance en fonction de la distance .
et .
a) On a .
D’après le théorème de Thalès, on a
donc . Ainsi .
b) est le milieu de donc et avec .
est une fonction affine de pente positive donc on a le tableau de variations suivant :
Le minimum est l’aire du triangle et le maximum l’aire du trapèze .
c) est le milieu de donc et pour est une fonction polynôme du second degré de coefficient dominant négatif et de racines et . On a donc le tableau de variations suivant :
Le maximum est obtenu lorsque
d) On a donc et . e) Pour tout , on a
.
est une fonction rationnelle définie sur donc elle est dérivable sur cet intervalle.
On a donc
.
On en déduit que est du signe de . D’où le tableau de variations :
avec .
f) .
Le discriminant de cette équation est donc il y a deux solutions :
et .
De même
Le discriminant de cette équation est donc il y a deux solutions :
et . Seule convient puisque .
D’après la question d), lorsque , on a donc, d’après le tableau de la question e), les distances et varient de la façon suivante :
- quand alors ( ) - quand alors varie de à - quand alors varie de à .
Remarque. On peut visualiser ces variations avec un logiciel de géométrie dynamique en plaçant les points et pour variant entre et . L’abscisse du point se déduit de l’équation de la droite (elle est de la forme et elle est vérifiée par les coordonnées de et celles de ; voir Seconde Ex.
5B31).
5.
a) Soit ; on a donc a pour équation ou encore b) On a donc ou encore
On a aussi donc .
Comme le triangle est rectangle en , on a
. c) est dérivable sur car c’est le produit de deux fonctions dérivables.
Pour deux fonctions dérivables et , on a donc, en prenant , on a .
d) est la fonction définie sur par . On a est une fonction rationnelle définie sur donc elle est dérivable sur cet intervalle.
On a
Le plan est rapporté à un repère orthonormé . Soit la parabole d’équation .
Soit , on note le point de d’abscisse et la tangente à en .
La droite coupe l’axe des abscisses en un point et l’axe des ordonnées en un point . a) Donner, en fonction de , l’équation réduite de la droite .
b) En déduire les coordonnées des points et et l’aire du triangle en fonction de . On note la fonction définie sur par .
c) Soit une fonction dérivable sur un intervalle .
Démontrer que est dérivable sur et que . d) Étudier les variations de la fonction .
e) En déduire que l’aire du triangle est minimale pour une valeur de qu’on précisera.
donc est du signe de et on a le tableau de variations suivant :
avec
e) On a vu que
donc
. D’après d), a un minimum pour
.
Exercices d’approfondissement Ex.A1
1. a) et sont deux fonctions polynômes dérivables sur .
donc et ont le même signe.
b) donc est strictement croissante sur .
Comme et l’équation a une unique solution . Remarque. Le fait que et sont de signes contraires, prouve que l’équation a au moins une solution et la stricte monotonie de prouve qu’elle ne peut pas en avoir plus d’une.
On a et donc .
c) D’après les variations de , on a donc est strictement décroissante sur et strictement croissante sur ce qui prouve que a un minimum sur et que . Comme , on a donc Ainsi .
d) Soi . On pour donc la fonction est strictement décroissante sur .
On en déduit que et, comme , on obtient .
Un encadrement de d’amplitude est donc, par exemple, . Remarque. Comme la fonction n’est pas monotone autour de , on ne peut pas obtenir un encadrement de à l’aide de cette seule fonction contrairement à ce qu’on peut faire avec la fonction .
Ex.A2
1. a) Soit et .
On a et donc et .
Ainsi et ou encore
b) et ont une tangente commune si, et seulement si, il existe deux réels et tels que ce qui équivaut à
ou encore à c) Si ce système est vérifié alors on a ou encore
donc est solution de l’équation .
Comme et , cette équation est du second degré et a au moins une solution donc son discriminant est positif ou nul.
On a
donc .
Réciproquement, si alors l’équation a au moins une solution et, en posant , on a donc
Conclusion : si aors et ont au moins une tangente commune si, et seulement si, et cette tangente est unique lorsque .
Lorsque on a
Alors
et les tangentes communes sont d’équation
(en effet
).
d) Si et si le système de la question b) est vérifié alors l’équation a une solution donc ou alors et c’est-à-dire et toutes les tangentes sont communes.
Réciproquement, si , l’équation a une solution et, en posant , on a comme en c).
Conclusion. Si alors et ont une tangente commune si, et seulement si, et cette tangente est unique sauf dans le cas où .
Si , on a
et
donc la tangente commune a pour équation
.
e) Les sommets des paraboles ont pour coordonnées .
Si , ces paraboles ont une unique tangente commune avec si, et seulement si, . On a et est le plan privé de l’axe des ordonnées.
Si , ces paraboles ont une tangente commune avec si, et seulement si, et deux si et seulement si
Si et , ces conditions s’écrivent ou encore
et ou encore
si et
si . est la parabole d’équation
, est la partie du plan située au-dessous de cette parabole si et au-dessus si .
Si , ces conditions s’écrivent ou encore
et ou encore
(car ).
est la parabole d’équation
, est la partie du plan située au-dessous de cette parabole.
Remarque. On peut visualiser les résultats précédents avec un logiciel de géométrie dynamique en traçant les courbes et et les droites avec et variables (on aura intérêt à poser
).
Ex.A3
1. a) et sont dirigées respectivement par et donc
Remarque. On peut aussi utiliser le produit scalaire.
b) La tangente à au point d’abscisse a pour équation (voir Ex.2A21a) donc si, et seulement si, il existe et tels que et ; autrement dit, si, et seulement si l’équation a deux racines distinctes c’est-à-dire si, et seulement si, .
Finalement ce qui signifie que est la partie du plan située strictement au- dessous de la parabole .
c) Si alors appartient à la tangente à au point d’abscisse et à la tangente à au point d’abscisse . Ces deux tangentes ont pour pentes respectives et donc, comme elles sont perpendiculaires, on a ou encore mais, comme et sont les racines de l’équation , on a et donc
. On en déduit que
Remarque. On peut savoir que le produit des racines de est (voir Ex.1A11a).
Réciproquement, si , on a donc et, en notant et les abscisses des points de où les tangentes passent par , on a ce qui prouve que ces tangentes sont perpendiculaires et que .
Finalement, donc est la droite d’équation . Ex.A4
1. a) Comme pour tout , est strictement croissante sur .
Si , on a pour tout donc est strictement croissante sur . Alors, comme l’équation a une unique solution .
Si alors deux cas sont possibles a priori : pour tout ou il existe tel que .
Le premier cas est exclu car donc ne peut pas être décroissante sur .
On est donc dans le second cas ce qui prouve que pour et pour . a donc un minimum strictement négatif en et est strictement croissante sur . Alors, comme , l’équation a une unique solution . b) Si , on a pour tout donc, en particulier, pour tout .
Si on a vu que pour tout donc, en particulier, pour tout .
c) La tangente à en a pour équation donc elle coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse
.
d) est dérivable sur par opérations sur les fonctions dérivables et, pour tout ,
Comme pour tout , on a pour tout donc est strictement croissante sur .
Ainsi, si alors . Or (car ) et (car
) donc si alors . Autrement dit, pour tout .
Enfin .
e) La suite est bien définie car, d’après d), reste dans l’intervalle pour tout . Pour tout , on a
car pour tout . Ceci prouve que la suite est décroissante.
f) et donc on commence par tracer le point .
La tangente en ce point a pour pente elle est donc dirigée par le vecteur représenté par carreaux en abscisse et 8 en ordonnée soit et en divisant par .
a pour équation soit donc coupe l’axe des abscisses en . donc on repart du point .
La tangente en ce point a pour pente elle est donc dirigée par le vecteur représenté par carreaux en abscisse et 6 en ordonnée soit et en divisant par .
a pour équation soit donc coupe l’axe des abscisses en
.
La valeur exacte de est .
2. L’objet de l’exercice est d’obtenir une approximation de par la méthode de Héron d’Alexandrie (1er siècle après J.C.).
a) On construit une suite de rectangles d’aire égale à de la façon suivante :
En notant la longueur de et sa largeur, on pose et et, pour tout ,
.
On a donc
. Ainsi
car .
Comme , on a ou encore ce qui prouve que . On a aussi et
donc .
b) En utilisant plusieurs fois l’égalité , on a
donc car, la suite étant croissante, on a Alors, de proche en proche, on obtient :
Comme (somme des termes d’une suite géométrique de raison ), on obtient car . L’inégalité découle de a).
Remarque. Une justification plus systématique du « proche en proche » se fera en Terminale à l’aide du raisonnement par récurrence.
c) La suite ( est croissante et la suite ( est décroissante. D’après ce qui précède, leur différence tend vers donc on comprend intuitivement qu’elles convergent vers la même limite.
Ce résultat est un théorème sur les suites adjacentes qui sera vu en Terminale.
Notons cette limite. Comme pour tout , on a donc . d) Avec les notations de l’exercice précédent, on a
donc la suite est définie par et, pour tout , .
D’autre part, on a et, d’après a), pour tout , car . On en déduit que pour tout .
e) On a vu dans l’exercice précédent (question f) que
donc
.
Alors
.
À l’aide de la calculatrice, on obtient donc la valeur décimale de avec 5 décimales exactes : .
