MAGISTER EN MATHEMATIQUES

UNIVERSITE KASDI MERBAH OUARGLA

2009/2010

MAGISTER EN MATHEMATIQUES

CYCLE D’ETUDES 3

FACULTE Sciences et de la Technologie et des Sciences de la Matière DEPARTEMENT Mathématiques & Informatique

INTITULE DE LA PG Mathématiques

RESPONSABLE Dr. SAID Mohamed Said

NOMBRE DE POSTES 15

HABILLITATION Arrêté n° 223 du 22/07/2009

DIPLOME DELIVRE Magister en Mathématiques - Spécialité : Mathématiques Appliquées

OBJECTIF DE LA FORMATION L’objectif visé par l’ouverture de cette post-graduation en mathématiques (Option : Mathématiques Appliquées) est de combler le manque en enseignants de mathématiques à travers les départements de la faculté des Sciences et de la Technologie et des Sciences de la Matière et des facultés périphériques ainsi que les centres universitaires proches notamment ceux d’El Oued et Ghardaïa.

Aussi notre but et souhait est de former des chercheurs et enseignants chercheurs dans tout les domaines liés au thème de cette post-graduation. Notamment ceux liés aux équations différentielles ordinaires et aux dérivées partielles linéaires et non linéaires et celles appliquées aux systèmes dynamiques.

Le thème général de la formation est l’étude théorique (aspects qualitatifs) de problèmes appliqués modélisés par des systèmes d’équations différentielles. Ces problèmes sont, entre autres, issus de la mécanique, mécanique relativiste, la physique, la chimie.

La première année permet de suivre des enseignements de haut niveau dans le domaine des équations

UNIVERSITE KASDI MERBAH OUARGLA

2009/2010

différentielles ordinaires et aux dérivées partielles et leurs applications et de s’initier aux méthodes de recherches et aux techniques utilisées dans le traitement des applications (Programmation, mises en œuvre des algorithmes, utilisation des bibliothèques de programmes).

POURSUITES D’ETUDES Thèse de Doctorat

CONDITIONS D’ACCES Concours

PUBLIC CONCERNE • DES Analyse Fonctionnelle

• DES Analyse Numérique

• DES Analyse

• Licence Mathématiques (4 Ans) DEBOUCHES • Enseignement supérieur

• Centres de recherche

PLANNING DES COURS

Intitulé du cours Volume

horaire (h) SEMESTRE1 Equations aux dérivées partielles et applications 45

Analyse numérique 45

Equations différentielles ordinaires appliquées 55 Théorie spectrale et applications 40

Anglais scientifique 25

SEMESTRE2 Calcul formel 30

Contrôlabilité et observabilité 30

Equations d’évolutions 40

Equations intégrales et fonctions de Green 40

UNIVERSITE KASDI MERBAH OUARGLA

2009/2010

Méthodologie des mémoires 25

PROGRAMMES DES COURS

Equations aux Dérivées Partielles et Applications

1^ière partie

1. Rappels sur les distributions et Espaces de Sobolev. Propriétés de base. Théorèmes de densité, d’inégalités de Sobolev. Théorème de Rellich. Théorèmes de trace. Formules de Green

2. Problèmes aux limites elliptiques linéaires. Formulation variationnelle. Exemples. Lemme de Lax Milgram et Théorème de Stampacchia. Exemple de formulation faible: Laplacien avec conditions de Dirichlet, conditions mêlées. Régularité des solutions faibles

3. Principe du maximum pour les problèmes elliptiques linéaires du second ordre 2^ième partie

1. Equations du premier ordre. Solutions régulières, caractéristiques, théorie de Hamilton- Jacobi. Lois de conservation, solutions faibles, ondes de choc

2. Problèmes de Cauchy. Théorème de Cauchy-Kowaslewsky. Théorème de Holmgren 3. Problème de Cauchy linéaire à coefficients constants. Notion d’hyperbolicité 4. Exemples de résolutions:

a. Equations des ondes, de Maxwell, de Schrodinger, de la chaleur b. Problèmes mal posés

5. Estimations non linéaire. Résolution de quelques problèmes non linéaires : Euler, Maxwell, Navier Stokes

6. Optique géométrique. Méthode BKW, analyse asymptotique. Notion de front d’onde

UNIVERSITE KASDI MERBAH OUARGLA

2009/2010

7. Introduction au calcul pseudo différentiel et au calcul para différentiel 3^ème partie

1. Problèmes aux limites pour différents types d’équations aux dérivées partielles non linéaires

2. Méthodes de Compacité, Monotonie, Régularisation élliptique,…..

3. Application des méthodes à quelques problèmes : a. Problèmes de Transmission

b. Problèmes de Diffusion et celles de Navier Stockes

ANALYSE NUMERIQUE

I – Analyse numérique matricielle 1. INTRODUCTION

• Rappel sur les Méthodes Directes et Itératives 2. METHODE DE RESOLUTION DES SYSTEMES CREUX 3. METHODES DE TYPE MINIMISATION

• Méthode du gradient

• Méthode de la plus grande pente

• Méthode du gradient conjugué (GC)

• Pré conditionnement: (GC-préconditionné)

II - Analyse Numérique des Equations Différentielles 1. Rappels sur l'approximation numérique des fonctions et sur l'interpolation 2. Résolution numérique des équations différentielles

• Schéma explicite

• Schéma Implicite

• Approximations des conditions initiales et aux limites

UNIVERSITE KASDI MERBAH OUARGLA

2009/2010

• Consistance, Stabilité et Convergence III – Equations elliptiques 1. Principe du maximum discret

2. Schémas centraux uniforme et non uniforme 3. Etude de la convergence - Estimation d’erreur

IV – Méthodes multigrilles

CALCUL FORMEL

1^ère partie 1. Eléments de base

• Commandes utiles

• Les variables, les constantes, les expressions, les fonctions

• Les types de base numériques: entiers, rationnels, réels, complexes

• Quelques autres types: noms, symboles, chaînes de caractères 2. Définition et travail sur les différentes structures

• Les séquences

• Les listes et les ensembles

• Les tables et les tableaux 3. Programmation en Maple

• Tests : if then

• Boucles : for, while

• Opérateur flèche

• Procédures : paramètres, variables locales et variables globales

2^ème Partie : Les mathématiques avec Maple 1. Polynômes et fractions rationnelles

UNIVERSITE KASDI MERBAH OUARGLA

2009/2010

• Coefficients, racines et factorisation des polynômes

• Fractions rationnelles: décomposition en éléments simples 2. Maple en algèbre linéaire

• Matrices et vecteurs

• Manipulation de matrices : valeurs et vecteurs propres, diagonalisation

• Résolution de systèmes d’équations linéaires 3. Maple en analyse

• Manipulation de matrices : valeurs et vecteurs propres, diagonalisation

• Fonctions numériques: continuité, limites, dérivées, intégration

• Suites et séries: relations de récurrence

• Équations et systèmes différentiels, équations aux dérivées partielles 4. Graphisme avec Maple

• Graphisme en dimension 2: représentation de fonctions, de courbes paramétrées, de champs de vecteurs

• Graphisme en dimension 3: représentation de surfaces, de courbes, de polyèdres

• Sauvegarder un graphe en un fichier eps

EQUATIONS DIFFERENTIELLES ORDINAIRES ET APPLICATIONS

1. Elements of general topology: classical and new results

• Connectedness (simple and arc wise connectedness); compactness of sets

• Compact and completely continuous applications; proper and closed applications;

homeomorphism; compact perturbation of identity

• Homotopy: definitions, properties; paths and deformation; Jordan domains; a separation theorem in the plane

• Measure of non compactness of sets and applications 2. Topological degree in finite dimension

UNIVERSITE KASDI MERBAH OUARGLA

2009/2010

• Definition of Brower degree in the regular and the singular case; the Heinz formula

• Main properties of the degree: degree of the identity, invariance by homotopy principle; additivity, the Jordan separation theorem and the product formula

• Brower fixed points; equivalent formulations of Brower fixed points: non contraction of the unity ball, non contractibility of the unity sphere, theorems of: Hartman- Stampacchia, Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz, Ky-Fan minimax

• Applications: theorems of Perron-Frobenius, Poincaré-Bôhl, Borzuk, Borzuk-Ulam, the hedgehog theorem, the open mapping theorem

3. Topological degree in infinite dimension

• Definition of Leray-Schauder degree for compact perturbation of identity

• General properties of the degree

• Fixed points theorems: Schauder, Schaeffer, Rothe

• Borsuk theorem and theorem of invariance of domain 4. Principle of topological transversality of Dugungy-Granas

• Continuation principle

• Transversality principle

• Essential and condensing maps

• Applications

5. Applications of the Leray-Schauder topological degree

• Nonlinear alternative of Leray and Schauder

• Applications to solving nonlinear BVPs associated to ODEs

THEORIE SPECTRALE ET APPLICATIONS

1. Opérateurs linéaires

• Définition et exemples, Opérateurs linéaires bornés et continuité - Somme et produit

UNIVERSITE KASDI MERBAH OUARGLA

2009/2010

d'opérateurs - Opérateur inverse - Opérateur adjoint - Opérateur adjoint dans un espace euclidien - Opérateur auto adjoint - Opérateurs de projection orthogonale - Spectre d'un opérateur, Rayon spectral, Résolvante

2. Opérateurs compacts

• Définition et exemples - Propriétés fondamentales des opérateurs compacts - Opérateur compact dans un espace de Hilbert - Valeurs propres et Vecteurs propres - Alternative de Fredholm

3. Opérateurs compacts auto adjoints

EQUATIONS D'EVOLUTION

1^ère partie : Semi groupes 1. Propriétés générales des semi-groupes d’opérateurs bornés 2. Semi-groupes fortement continus

3. Semi-groupes uniformément continus

4. Semi-groupes de contractions et théorème de Hille-Yosida 5. Semi-groupes différentiables et analytiques

6. Applications aux problèmes de Cauchy abstraits 7. Régularité des solutions généralisées et fortes

2^ème partie: Equations d'évolution

1. Définitions et rappels sur la théorie des systèmes dynamiques abstrait

• Introduction: Equation d’évolution abstraite et la notion de système dynamique

• Les équations d’évolution (linéaires)

• Semi-groupes, générateurs et résolvante

• Systèmes dynamiques définis par une EDP ou une EDO

2. Systèmes dynamiques en dimension infinie

• Equations d’évolution dans les espaces de Hilbert

• Problème de Cauchy et théorème de génération

UNIVERSITE KASDI MERBAH OUARGLA

2009/2010

• Opérateurs auto-adjoints, et théorèmes sur le spectre

• Semi-groupes, et positivités

• Trajectoires et ensembles invariants

• Attracteurs et ensembles absorbants

• Dissipativité et comportement asymptotique

3. Applications: Etude de quelques systèmes de réaction diffusion

• Exemples: réactions chimiques, compétition entre deux espèces de populations

• Cadre abstrait et formulation opérationnelle

• Ordre et principe du maximum

• La notion de sous-solutions et sur-solutions

• Familles de régions invariantes et positivité de la solution

• Existence globale et explosion en temps fini

• Etude qualitative:

o Systèmes avec fonctionnelle de Lyapunov

o Ensembles ω-limite, et comportement asymptotique

EQUATIONS INTEGRALES ET FONCTIONS DE GREEN

1. Rappels d’analyse fonctionnelle

• Espaces normés - Opérateurs bornés et compacts. Exemples

• Spectre d’un opérateur compact ( théorie de Riesz )

2. Equations intégrales de Fredholm de 2^ème espèce

• Noyau dégénéré

• Opérateur de Hilbert-Schmitt

• Séries de Neumann

• Solution approchée d’une équation intégrale

3. Quelques équations intégrales singulières

• Equation intégrale à noyau faiblement singulier

• Continuité dans les espaces de fonctions continue de Hölder

• Opérateur intégral de Cauchy

UNIVERSITE KASDI MERBAH OUARGLA

2009/2010

• Equation intégrale avec un noyau de Cauchy

4. Application aux problèmes limites elliptiques

• Problème de Dirichlet et de Neumann pour le Laplacien dans un domaine borné.

Théorèmes d’unicité

• Fonction de Green et ses propriétés

• Théorie du potentiel

• Equations intégrales de la théorie du potentiel. Existence

CONTRÔLABILITE ET OBSERVABILITE

1. Contrôlabilité des systèmes parabolique

• Contrôlabilité exacte et observabilité exacte

• Contrôlabilité faible et observabilité faible

• Contrôlabilité régionale (Zone, ponctuelle, …) et observabilité régionale 2. Actionneurs

• Actionneur régional

• Actionneur zone

• Actionneur ponctuel

• Actionneur frontière 3. Algorithmes

• Algorithmes assurant la contrôlabilité exacte

• Algorithme assurant la contrôlabilité régionale

• Algorithmes assurant l’observabilité exacte

• Algorithmes assurant l’observabilité régionale

UNIVERSITE KASDI MERBAH OUARGLA

2009/2010

METHODOLOGIE DE MEMOIRES

ANGLAIS SCIENTIFIQUE