GUIDE DE
LABORATOIRE
D´ epartement de physique
Hiver 2022
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Auteur : D´epartement de physique du C´egep de Saint-Laurent.
Mis `a jour le 21 janvier 2022.
Table des mati` eres
1. G´ en´ eralit´ es . . . 1
1.1 Objectifs du travail de laboratoire . . . 1
1.2 Attitudes `a adopter en laboratoire . . . 1
1.3 R`egles de laboratoire . . . 2
2. Les bases exp´ erimentales . . . 3
2.1 Erreur et incertitude . . . 3
2.2 Les erreurs al´eatoires et syst´ematiques . . . 3
2.3 Pr´ecision et exactitude . . . 4
2.4 L’incertitude . . . 5
2.4.1 L’incertitude absolue. . . 5
2.4.2 L’incertitude relative . . . 5
2.5 Les r`egles d’´ecriture . . . 6
Exercices . . . 7
3. La prise de mesures . . . 8
3.1 L’incertitude de l’instrument . . . 8
3.2 L’incertitude contextuelle . . . 9
3.3 Comment l’´evaluer ? . . . 10
3.4 Utilisation du vernier . . . 10
Exercices . . . 12
4. Le calcul des incertitudes . . . 13
4.1 Les r`egles simples . . . 13
4.2 La m´ethode des extrˆemes (min/max) . . . . 16
4.3 La construction d’un graphique lin´eaire . . . 19
4.4 L’incertitude sur une pente . . . 20
4.4.1 `A l’oeil . . . 20
4.4.2 Cas particulier : une droite presque par- faite . . . 21
4.4.3 Avec la fonctionDROITEREG. . . 22
Exercices . . . 24
5. Les tableaux et les graphiques . . . 25
5.1 Les tableaux . . . 25
5.2 Les graphiques . . . 26
Exercices . . . 27
6. Les travaux de laboratoire . . . 28
6.1 La page titre . . . 28
6.2 Introduction . . . 28
6.3 Th´eorie . . . 28
6.4 Mat´eriel . . . 29
6.5 Sch´emas de montage . . . 29
6.6 Manipulations . . . 29
6.7 Les donn´ees . . . 29
6.8 Les calculs . . . 29
6.9 Les r´esultats . . . 29
6.10 Analyse et discussion . . . 29
6.10.1 La comparaison des valeurs . . . 30
6.10.2 Confirmer/infirmer la th´eorie . . . 30
6.10.3 Les causes d’erreur . . . 31
6.11 Les am´eliorations . . . 31
6.12 Conclusion . . . 31
6.13 Exemple de rapport de laboratoire . . . 32
7. Quelques bases sur EXCEL . . . 36
R´ eponses aux exercices . . . 38
1 G´ en´ eralit´ es
1.1 Objectifs du travail de laboratoire
Le programme Sciences de la nature au coll´egial a pour objet de donner aux ´etudiantes et ´etudiants une formation ´equilibr´ee, int´egrant les composantes de base d’une formation scientifique et d’une formation g´en´erale rigoureuses. La d´emarche en laboratoire vise `a rejoindre les objectifs suivants :
• Appliquer la d´emarche scientifique.
• R´esoudre des probl`emes de fa¸con syst´ematique.
• Utiliser des technologies appropri´ees de traitement de l’information.
• Raisonner avec rigueur.
• Communiquer de fa¸con claire et pr´ecise.
• Apprendre de fa¸con autonome.
• Travailler en ´equipe.
• Situer le contexte d’´emergence et d’´elaboration des concepts scientifiques.
• Adopter des attitudes utiles au travail scientifique.
• Traiter de situations nouvelles `a partir de ses acquis.
Lesobjectifs sp´ecifiquesd’un laboratoire en physique sont :
• Effectuer des mesures justes en utilisant ses outils de fa¸con appropri´ee et en estimer correctement l’incertitude.
• Traiter ses r´esultats et les incertitudes y ´etant associ´ees de fa¸con rigoureuse.
• Interpr´eter, discuter et analyser des r´esultats exp´erimentaux en lien avec des mod`eles th´eoriques.
• Utiliser le logicielExcel pour produire et analyser des tableaux et des graphiques.
• Maˆıtriser les techniques de pr´esentation des mesures et des r´esultats sous forme de tableaux et de graphiques.
• Maˆıtriser la r´edaction des diff´erentes composantes d’un rapport complet.
1.2 Attitudes ` a adopter en laboratoire
Selon une vision empiriste, toute connaissance scientifique doit pouvoir ˆetre valid´ee par des r´esultats exp´erimentaux : c’est ce qu’on appelle la v´erification exp´erimentale d’une th´eorie.
Bien entendu, les lois que nous verrons dans nos laboratoires ont d´ej`a ´et´e confirm´ees par l’exp´erience. Cependant, votre d´emarche de validation de lois connues vous servira `a acqu´erir une m´ethode exp´erimentale compl`ete et rigoureuse ; certains d’entre vous d´evelopperont peut-ˆetre un jour de nouvelles th´eories et devront les valider exp´erimentalement !
Dans cette optique, il convient d’adopter au laboratoire une attitude de curiosit´e et d’obser- vation m´ethodique. Il faut donc prendre le temps de r´efl´echir `a ce qu’on fait tout en sachant pourquoi on le fait. De se d´ebarrasser des manipulations sans comprendre `a quoi vos mesures serviront risque fort de mener `a des lacunes dans les mesures autant que dans l’analyse subs´equente.
1 • G´en´eralit´es
1
Il est donc essentiel de faire la pr´eparation demand´ee (lire le protocole pr´ealablement `a la p´eriode de laboratoire, pr´eparer les calculs, graphiques, r´eponses aux questions,. . . ). Si n´ecessaire, il convient aussi de revoir la th´eorie reli´ee `a l’exp´erience `a venir. En faisant cela, vous vous sauverez du temps lors des manipulations et vous rendrez ces derni`eres agr´eables.
Au laboratoire, vous devrez manipuler avec soin, noter chaque observation (qualitative aussi : laissez- vous des commentaires qui vous seront pr´ecieux plus tard lors de l’analyse. . . ) et r´efl´echir afin de bien comprendre ce qui se passe. Ce sera un plaisir pour vos professeurs de vous aider quand c’est n´ecessaire.
Les exp´eriences et les rapports de laboratoire sont faits en ´equipe ; apprendre `a bien travailler en ´equipe fait partie des comp´etences `a acqu´erir. Les indications suivantes peuvent vous ˆetre bien utiles :
• Le rapport est la responsabilit´e de chacun des co´equipiers.
Votre professeur ne de- vrait pas avoir `a g´e- rer les conflits hors cours entre co´equipiers.
Soyez adultes et res- ponsables, parlez-vous et faites des compro- mis. Le travail en
´equipe n’est pas tou- jours simple, mais il vous sera n´ecessaire tout au long de votre vie. Habituez-vous y.
• Le rapport doit ˆetre fait en ´equipe et un seul rapport complet est remis pour chaque
´
equipe. Si certains calculs peuvent ˆetre partag´es, il faut bˆatir l’ensemble du rapport en
´ equipe.
• N’oubliez pas qu’il y aura un examen de laboratoire individuel ! Prenez donc soin d’ˆetre
`
a l’aise avec les manipulations et avec chaque ´el´ement du travail `a remettre.
• Avant le laboratoire (pas quand vous serez press´es de partir), ´echangez vos noms, t´el´ephones ou courriels et convenez du moment o`u vous ferez la suite (moins vous attendrez, plus tout cela sera frais dans votre esprit. . . ).
1.3 R` egles de laboratoire
Afin d’assurer votre s´ecurit´e ainsi que le bon fonctionnement des pr´ecieux et coˆuteux appareils que nous utiliserons en laboratoire, certains r`eglements sont incontournables. Ces r`eglements sont en vigueur `a tout moment dans les laboratoires, mˆeme s’il n’y a pas de manipulations exp´erimentales en cours.
ATTENTION
• Ne pas boire ou manger (sauf de l’eau dans un contenant ferm´e).
• Ne pas apporter votre manteau ou autres objets personnels au laboratoire. Des casiers sont disponibles dans le corridor.
• Ne pas encombrer votre espace de travail avec votre sac.
• Etre chauss´ˆ e.
• Ne pas manipuler le mat´eriel de laboratoire avant d’avoir re¸cu les explications du professeur.
• Ne pas sortir de mat´eriel du laboratoire sans autorisation.
• Signaler au professeur tout objet endommag´e ou bris´e, toute situation dangereuse et tout accident (brˆulure, coupure, bris, d´eversement, etc.).
• A la fin de chaque s´` eance, replacer correctement votre ´equipement (mat´eriel de laboratoire, tabourets, etc.) et nettoyer votre espace de travail.
Soyez toujours prudents et calmes lors de vos manipulations. Nous nous r´eservons bien entendu le droit d’exclure du laboratoire un.e ´etudiant.e d´erangeant ou dangereux pour lui-mˆeme, pour ses coll`egues ou pour l’´equipement du c´egep.
2 Les bases exp´ erimentales
2.1 Erreur et incertitude
Le travail de laboratoire demande demesurerdes grandeurs physiques (longueur, masse, etc.), c’est-`a-dire de d´eterminer leur valeur. Lorsque nous mesurons une longueurL, par exemple la largeur d’une feuille de papier, nous supposons que la longueur a une«vraie»valeur, appelons-laLvraie valeur, et que notre mesure, appelons-laLmesure, s’en approche.
ATTENTION Attention au sens du mot « erreur». On l’utilise ici dans un sens pr´ecis pour par- ler d’un«biais par rap- port `a la vraie valeur».
On ne s’int´eresse pas `a de mauvaises manipu- lations, `a des erreurs de calculs ou autres fautes de l’exp´erimen- tateur.
La diff´erence entre la valeur mesur´ee et la valeur vraie se nommeerreur. Donc si la valeur vraie est de Lvraie valeur= 0,2159 m et que la valeur mesur´ee estLmesure= 0,217 m, l’erreur est de
erreur = Lmesure−Lvraie valeur
= 0,217 m−0,2159 m = 0,0011 m.
On ne fait jamais un tel calcul, en pratique, parce la valeur vraieLvraie valeur de mˆeme que l’erreur nous sont inconnues ! Pour pouvoir dire quelque chose surL `a partir de notre mesure, il faut avoir une id´ee de l’erreur qui accompagne notre mesure. La quantit´e qui repr´esente la taille approximative de l’erreur se nommeincertitude.
Figure 2.1:Erreur VS incertitude. L’erreur exacte est inconnue de l’exp´erimentateur, l’incer- titude est une estimation de celle-ci. Une incertitude trop grande ou trop petite peut fausser les conclusions d’une exp´erience.
2.2 Les erreurs al´ eatoires et syst´ ematiques
On distingue deux types d’erreurs : les erreursal´eatoires(incertitudes) et les erreurssyst´ema- tiques.
Comme son nom l’indique, une erreural´eatoireest une erreur dont on ne peut pr´evoir le sens (`a la hausse ou la baisse) et la grandeur. `A cause des erreurs al´eatoires, les mesures sont
2 • Les bases exp´erimentales
3
dispers´ees, plus ou moins sym´etriquement, autour d’une valeur moyenne. Lors de l’utilisation correcte d’un appareil, l’incertitude d’une mesure correspond `a l’erreur al´eatoire de la mesure.
A l’inverse, les erreurs` syst´ematiques sont des erreurs qui affectent toutes nos mesures de la mˆeme mani`ere (dans le mˆeme sens). Les diff´erents r´esultats obtenus ne seront pas n´ecessairement dispers´es, mais la moyenne de ces r´esultats ne correspond pas `a la valeur r´eelle attendue. La mesure est donc syst´ematiquement surestim´ee ou sous-estim´ee. Une erreur syst´ematique peut, par exemple, avoir les sources suivantes.
• Un instrument mal calibr´e.
• Une approximation non valide.
• Un jugement de l’exp´erimentateur (ex. : un observateur d´eclenche un chronom`etre syst´ematiquement trop tard).
Il est important de noter que tous les faits et gestes ayant caus´e des erreurs ne sont pas n´eces- sairement des«sources d’erreurs exp´erimentales». La mauvaise utilisation d’un instrument ou d’un appareil (ex. : ne pas savoir utiliser une ´echelle vernier, mal connecter un circuit
´electrique) n’est pas une source d’erreur. Les erreurs de calcul et les probl`emes d’unit´es ne le sont pas non plus.
2.3 Pr´ ecision et exactitude
Au cours d’un laboratoire, vous serez appel´es `a effectuer plusieurs mesures. Il ne suffira pas de savoir manipuler des instruments, il importera d’ˆetre pr´ecis pour obtenir des r´esultats reproductibles. Par ailleurs, pour affirmer qu’on a v´erifi´e une th´eorie, on doit aussi obtenir des r´esultats qui correspondent `a ce qu’on attendait. C’est ce qu’on appellera ici ˆetre exact.
Lorsque l’on discute de nos r´esultats, il est int´eressant de consid´erer ces deux caract´eristiques, permettant d’´evaluer la qualit´e des r´esultats et de la m´ethode analytique utilis´ee.
On d´etermine lapr´ecisiond’un r´esultat en calculant son incertitude relative (la proportion d’erreur, en pourcentage). On peut aussi la visualiser comme la dispersion des r´esultats obtenus pour une mesure en particulier, utilisant une m´ethode donn´ee.
Une exp´erience exacteest une analyse qui donne des r´esultats correspondants `a la valeur attendue, en consid´erant les incertitudes (absolues).
Les notions depr´ecisionet d’exactitudesont illustr´ees dans les deux diagrammes ci-dessous.
L’image de gauche utilise l’analogie avec une cible de tir `a l’arc. Une exp´erience pr´ecise montrera alors des tirs group´es, tandis que l’exactitude est symbolis´ee par le centre de la cible.
On peut aussi illustrer de fa¸con compl´ementaire, les concepts de pr´ecision et d’exactitude `a l’aide de diagrammes de comparaison, `a droite de la figure.
Figure 2.2:Pr´ecision et exactitude.
En comparant les types d’erreurs et les concepts de pr´ecision et d’exactitude, il est possible de d´eduire que les erreurs al´eatoires vont affecter la pr´ecision (dispersion sym´etrique) alors que les erreurs syst´ematiques vont influencer l’exactitude (´ecart `a la valeur attendue).
2.4 L’incertitude
Toute mesure exp´erimentale comporte une certaine impr´ecision. Aucune mesure n’est parfaite- ment pr´ecise. Lors d’une prise de mesure, un bon exp´erimentateur doit toujours se demander :
«A quel point suis-je certain de cette valeur ?` »(et, bien entendu : «Comment pourrais-je en ˆetre plus certain ?») Celui-ci doit ˆetre capable d’´evaluer dans quel intervalle se trouve la valeur mesur´ee et ceci prend la forme d’une incertitude.
ATTENTION Cette convention n’est pas universelle. La plu- part des auteurs uti- lisent leδminuscule ou le ∆ majuscule.
Une mesure exp´erimentale compl`ete comprend ainsi une valeur, une incertitude et les unit´es appropri´ees. Cette incertitude quantifie l’´ecart possible sur la valeur donn´ee. Le symbole utilis´e pour l’incertitude est la lettre grecque ∆ suivie du symbole de la grandeur mesur´ee.
Exemple 2.1
L’incertitude d’une mesure
Ex :«le poisson que j’ai pˆech´e mesurait (2,0±0,5) m»signifie que la longueur r´eelle se trouve entre 1,5 m et 2,5 m.
Comment ´evalue-t-on concr`etement l’incertitude lors de la prise d’une mesure ? Ceci est discut´e en d´etails au chapitre 3.
Trucs et astuces En situation pratique, l’incertitude d’une mesure est parfois n´egligeable. Votre profes- seur vous demandera donc parfois de n´egliger certaines incertitudes. Cela ne signifie par que ces valeurs n’ont pas d’incertitude.
2.4.1 L’incertitude absolue
L’incertitude absolue, utilis´ee dans l’exemple pr´ec´edent, indique directement de combien peut varier une valeur. L’incertitude absolue a les mˆemes unit´es que la valeur.
2.4.2 L’incertitude relative
L’incertitude relative exprime dans quelle proportion peut varier la valeur, en pourcentage.
Elle permet donc de quantifier la pr´ecisiond’une mesure. Elle correspond au rapport de l’incertitude absolue par la valeur exprim´ee, multipli´e par 100%. L’incertitude relative n’a pas d’unit´e.
Incertitude relative =incertitude absolue
|valeur| ×100% (2.1)
Exemple 2.2
Incertitude absolue et incertitude relative
Nous mesurons la valeur d’un courant ´electriqueIde 1,2 A avec une certaine incerti- tude de 0,1 A. Cela veut dire qu’on estime que la valeur du courant se trouve dans l’intervalle [1,1; 1,3] A.
L’incertitude absolue est ∆I= 0,1 A et l’incertitude relative est
∆I= 0,1 A
1,2 A ·100% = 8,3%.
On remarque que l’incertitude absolue a les mˆemes unit´es que la mesure alors que l’incertitude relative est un pourcentage sans unit´e.
2 • Les bases exp´erimentales
5
On peut donc ´ecrire la mesure de deux fa¸cons :I= (1,2±0,1) A (incertitude absolue) ouI= 1,2 A±8,3% (incertitude relative).
Trucs et astuces
Comment arrondir les nombres ? Dans vos cours de physique, vous aurez rarement
`
a faire la moyenne d’un grand nombre de valeurs. Ainsi, mˆeme s’il est vrai que cela peut introduire un l´eger biais `a la hausse, on peut se permettre d’arrondir les nombres de fa¸con standard : `a la hausse si le chiffre qui suit est de 5 ou plus et `a la baisse sinon. Il n’est pas utile de se demander si le chiffre est pair ou impair.
2.5 Les r` egles d’´ ecriture
Par rigueur et pour ´eviter de possibles confusions, il est standard en sciences de respecter certaines r`egles d’´ecriture des nombres. Dans les cours de physique, nous respecterons la convention simple consistant `a ´ecrire tous les chiffres dont on est certain, plus un chiffre incertain. On appelle ces chiffres leschiffres significatifs(c.s.). Par exemple pour une mesure de 12,2345212358±0,1 m, l’incertitude indique que le chiffre au dixi`eme est incertain. On est donc certain des chiffres aux unit´es et aux dizaines. Il y a donc trois chiffres significatifs (2 certains + 1 incertain). Tous les autres chiffres n’ont pas vraiment de signification r´eelle et il convient donc d’arrondir.
Voici un r´esum´e des r`egles d’´ecriture `a respecter :
Tableau 2.1:Les r`egles d’´ecriture
R`egle Exemple incorrect Exemple corrig´e
Une valeur doit ˆetre arrondie selon son incerti-
tude absolue. 160,85±0,1 m 160,9±0,1 m
Une valeur ne peut pas ˆetre moins pr´ecise que son incertitude. Il faut mesurer/calculer le chiffre manquant, pas juste ajouter un z´ero.
17,1±0,05 cm 17,12±0,05 cm
Une incertitude absolue comporte un seul chiffre significatif. On peut arrondir `a la hausse par prudence, ou non, au jugement de l’exp´eri- mentateur.
12,35±0,23 g 12,4±0,2 g
Une incertitude relative comporte deux chiffres significatifs. Les z´eros qui pr´ec`edent ne comptent pas.
∆I= 0,03333333% ∆I= 0,033%
Il convient d’´ecrire les unit´es une seule fois
`
a la fin de la mesure. On peut ajouter des parenth`eses (optionnel) au goˆut ou s’il y a la moindre confusion.
24,10 g±0,01 g (24,10±0,01) g
La valeur et son incertitude ont les mˆemes uni-
t´es. 82,3 cm±1 mm 82,3±0,1 cm
Quand on utilise la notation scientifique, le multiplicateur doit ˆetre le mˆeme pour la valeur et son incertitude.
5,4×10−3±2×10−4cm (5,4±0,2)×10−3cm
EXERCICES
E2.1 Al´eatoire ou syst´ematique ?Les sources d’erreur sui- vantes sont-elles al´eatoires ou syst´ematiques ?
a) On mesure des masses avec une balance non tar´ee.
b) On mesure des distances avec un ruban `a mesurer. Le ruban est un peu ´elastique et l’exp´erimentateur tire fort lors de la prise de mesure.
c) Une ´etudiante observe la chute libre d’une petite bille et mesure l’intervalle de temps de la chute.
d) On observe la chute libre d’une balle tombant du troi- si`eme ´etage du c´egep. On prend une mesure tr`es pr´ecise de l’intervalle de temps avec des appareils tr`es sophis- tiqu´es et tr`es pr´ecis.
E2.2 Intervalle VS incertitude.Une incertitude n’est qu’une fa¸con pratique d’exprimer un intervalle. Exprimer les inter- valles suivants sous forme d’incertitudes absolues.
a) [2,3; 2,7] m b) [16,1; 16,2] cm c) [0,0056; 0,0063] s d) [0,91; 1,25]×10−5kg
E2.3 Incertitude VS intervalle.Exprimer les incertitudes suivantes sous forme d’intervalles.
a) 9,8±0,1 m/s2 b) 4,6±0,3 N
c) 12,06±0,01 s d) 0,001±0,005 A
E2.4 Absolue VS relative.Exprimer les incertitudes abso- lues suivantes sous forme d’incertitudes relatives.
a) 16,3±0,6 m b) 0,023±0,002 m
c) 12±1◦
d) −0,230±0,005 s
E2.5 Relative VS absolue.Exprimer les incertitudes rela- tives suivantes sous forme d’incertitudes absolues.
a) 0,25 m±16%
b) 126,0 cm±0,71%
c) 10,6 s±4,7%
d) 1,3×10−6s±15%
E2.6 Trouver l’erreur.Corriger les erreurs dans les ´enonc´es suivants.
a) ∆t= 2,02±0,02 b) L= 1,243±0,05 m
c) M = 16,2±0,2 g d) ∆t= 17,23±0,11 s
e) θ= 6,4±0,05◦ f) ∆x= 6,76±0,01 cm
2 • Les bases exp´erimentales
7
3 La prise de mesures
On prend la lecture d’une mesure avec un instrument. Il faut toujours garder en tˆete la question«`a quel point suis-je certain de cette valeur ?». De fa¸con g´en´erale, on peut d´ecom- poser l’incertitude d’une mesure selon deux sources : l’instrument lui-mˆeme et le contexte exp´erimental.
∆mesure = ∆instrument+ ∆contexte (3.1)
L’incertitude de l’instrument (∆instrument) est li´ee `a la conception de l’instrument alors que l’incertitude de contexte (∆contexte) est li´ee aux limites de l’exp´erience ou au fait qu’un instrument peut ne pas ˆetre parfaitement adapt´e pour prendre une mesure en particulier. La premi`ere est une valeur fixe alors que la seconde est au cas par cas. L’exp´erimentateur doit donc constamment utiliser son jugement.
3.1 L’incertitude de l’instrument
On ´evalue l’incertitude d’une mesure selon le type d’instrument utilis´e.
ATTENTION Attention, tarer une balance avant la lec- ture est une lecture en soi.
Tableau 3.1:Incertitude d’une mesure selon le type d’instrument
Image Type Incertitude de l’instrument Bref
Instruments gradu´es
Chaque lecture sur un instrument gradu´e a une incertitude de la moiti´e de la plus petite graduation (PPG). Dans le cas d’une double lecture, alors l’incertitude est de deux fois la moiti´e de la plus petite graduation.
1 2PPG
Instruments num´eriques
L’incertitude d’un instrument num´erique est souvent sp´ecifi´ee par le manufacturier. Quand ce n’est pas le cas, on peut appliquer la r`egle simple et l’incertitude de l’instrument est d’une unit´e sur le dernier chiffre affich´e.
Dernier chiffre
Instruments
` a vernier
Un vernier est une pi`ece mobile qu’on ajoute `a une graduation fixe standard. L’utilisation ap- propri´ee du vernier permet alors de prendre une mesure de fa¸con pr´ecise entre les divisions de la graduation principale. Par exemple, un vernier comportant 50 divisions permet prendre une mesure 50 fois plus pr´ecise que la graduation fixe seule.
Valeurs nominales
Certaines valeurs fixes sont fournies par le fa- bricant sous forme d’incertitude relative.
Exemple 3.1
Mesure de position VS mesure de distance
Lors d’une exp´erience de m´ecanique, des points sont form´es le long d’un ruban. On s’int´eresse sp´ecifiquement `a deux points A et B.
Dans la figure de gauche, le z´ero de la r`egle n’a pas ´et´e ajust´e. Il n’y a donc pas de double lecture et l’incertitude de l’instrument est la moiti´e de la PPG, soit 0,05 cm. On peut donc tenter d’estimer approximativement o`u se trouve la POSITION de chaque point entre chaque division. L’erreur ainsi commise est couverte dans l’incertitude de l’instrument. Ainsi, l’exp´erimentateur pourrait mesurer les POSITIONS :xA = 1,04±0,05 cm etxB = 2,77±0,05 cm. (Cet exemple est un cas id´eal. Dans la r´ealit´e la mesure est rarement assez claire pour estimer entre les divisions.)
Dans la figure de droite, on a soigneusement ajust´e le z´ero de la r`egle au point A afin de mesurer la DISTANCE entre les points A et B. Ceci compte comme un premi`ere lecture. Il y a donc double lecture et l’incertitude de la mesure sera une fois la PPG, soit 0,1 cm. On trouve ainsi une mesure de, par exemple, 1,74±0,1 cm, qu’on arrondit
`
a 1,7±0,1 cm. Il est donc inutile d’essayer d’estimer entre les divisions puisqu’il faudra arrondir `a la fin de toute fa¸con.
Voici une liste non exhaustive contenant les caract´eristiques de quelques instruments utilis´es dans les laboratoires de physique.
3.2 L’incertitude contextuelle
Comme son nom l’indique, l’incertitude contextuelle d´epend du contexte dans lequel la mesure est effectu´ee. Il faut y aller au cas par cas et l’exp´erimentateur doit utiliser son jugement pour bien l’estimer et tenter de la minimiser. L’incertitude contextuelle peut avoir diff´erentes sources. Voir le tableau 3.2 pour des exemples.
Figure 3.1: Le parallaxe.
La mesure varie selon le point d’observation.
Tableau 3.2:Les sources d’incertitudes contextuelles
Source d’incertitude Explication Exemple simple
Quantit´e mal d´efinie
Si la quantit´e `a mesurer est mal d´e- finie, alors mˆeme un instrument de mesure parfait ne pourrait pas pro- duire une mesure sans incertitude.
En optique, on doit mesurer la position d’un
´
ecran sur lequel une image est «nette», on constate qu’on peut bouger l’´ecran sur pr`es de 1 cm et que l’image demeure plutˆot«nette».
Mˆeme si l’incertitude de l’instrument est de 0,5 mm, l’incertitude totale de la mesure est clairement plus grande que 1 mm.
Temps de r´eflexe
Pour un ´ev´enement attendu, on peut compter environ 0,1 s ; pour un ´ev´enement impr´evisible, 0,4 s.
On observe un ´ev´enement impr´evisible et on mesure un intervalle de temps avec un chrono- m`etre ayant une incertitude de 0,001 s. L’incer- titude de la mesure sera malgr´e tout d’environ 0,4 s `a cause du temps de r´eflexe humain.
Parallaxe
Il y a un parallaxe lorsque la va- leur d’une lecture d´epend du point d’observation.
Sur un montage, il y a une distance entre la r`egle et la position `a mesurer. L’observateur tente d’aligner son oeil le mieux possible pour prendre la lecture, mais la valeur de la lecture varie de±2 mm lorsqu’il tente de faire l’aligne- ment.
(continue `a la page suivante)
3 • La prise de mesures
9
(suite du tableau)
Source d’incertitude Explication Exemple simple
Mesure non repro- ductible
A cause d’une erreur al´` eatoire, une mesure peut ne pas ˆetre parfaite- ment reproductible ou ˆetre instable.
On mesure une diff´erence de potentiel avec un voltm`etre et la valeur varie rapidement entre 10,1 V et 10,3 V.
3.3 Comment ´ evaluer l’incertitude contextuelle ?
Peu importe la source de l’incertitude de contexte, on estime celle-ci `a partir des valeurs extrˆemes de la mesure. Si, compte tenu du contexte, la mesure se trouve dans l’intervalle [xmin;xmax], alors l’incertitude de contexte est simplement
∆contexte= xmax−xmin
2 (3.2)
De cette fa¸con, partant du centre de l’intervalle, on peut retrouver les valeurs extrˆemes en ajoutant ou en soustrayant l’incertitude ∆contexte. Tous les cas sont donc couverts.
Trucs et astuces Il n’est pas n´ecessaire de tout calculer sur la calculatrice, l’exp´e- rimentateur peut es- timer l’incertitude de contexte `a l’oeil. Si on fait une mesure de lon- gueur et que la valeur varie sur un intervalle de 4 mm, alors l’in- certitude de contexte est 2 mm, point final.
Il faut ˆetre rigoureux mais aussi efficace au laboratoire.
Exemple 3.2
Position sur un banc optique
Deux ´etudiantes doivent d´eterminer `a quelle position placer un ´ecran sur un banc optique (gradu´e en millim`etres) afin d’observer une image nette. Lorsqu’elles ´eloignent l’´ecran de sa position optimale, l’image devient de plus en plus floue, mais il est impossible de d´eterminer exactement `a partir de quand l’image n’est plus nette. Avec minutie, elles d´eterminent que l’image est bien nette dans l’intervalle allant de 29,8 cm et 31,4 cm (valeur moyenne de 30,6 cm). En dehors de cet intervalle, on commence `a voir des portions floues sur l’image.
Pour une mesure de position sur un instrument gradu´e en millim`etre, l’incertitude de l’instrument est de la moiti´e de la PPG : ∆instrument= 0,05 cm.
On utilise les valeurs extrˆemes pour ´evaluer l’incertitude de contexte.
∆contexte= 31,4 cm−29,8 cm
2 = 0,8 cm.
L’incertitude totale de la mesure est donc la somme 0,05 cm + 0,8 cm = 0,85 cm, qu’on peut arrondir `a 0,9 cm. La mesure est donc de 30,6±0,9 cm.
3.4 Utilisation du vernier
Pour accroˆıtre leur pr´ecision, certains instruments sont munis d’un vernier : pied `a coulisse, microm`etre, goniom`etre (mesure d’angle). Leur fonctionnement revient toujours au mˆeme ; il faut le comprendre une fois pour toutes.
Illustrons le principe par un exemple de mesure avec un pied `a coulisse.
Exemple 3.3 Pied `a coulisse
Voici une lecture prise sur un pied `a coulisse. La graduation principale est celle du haut (allant d’environ 80 mm `a 130 mm. Le vernier est la partie du bas avec des graduations allant de 0 `a 10 (ayant des valeurs entre 0 mm et 1 mm). Il y a 50 graduations sur le vernier, ceci permet en quelque sorte de diviser chaque millim`etre de la graduation
principale en 50. On peut donc lire avec une pr´ecision de 0,02 mm.
Premi`ere lecture :C’est la ligne de z´ero du vernier qui nous indique o`u prendre la lecture sur la graduation principale. On se trouve quelque part entre 81 mm et 82 mm.
Deuxi`eme lecture :Pour savoir o`u exactement on se trouve entre 81 mm et 82 mm, on cherche la ligne du vernier qui s’aligne le mieux avec une des lignes de la graduation principale. Ici c’est la ligne 96 (attention, on fait des bonds de 2 entre chaque ligne du vernier), qui a une valeur de 0,96 mm. Il y a une certaine interpr´etation dans le choix de la ligne, mais celle-ci est couverte par l’incertitude de l’instrument.
L’incertitude de l’instrument est indiqu´ee sur celui-ci (0,02 mm). Le pied `a coulisse permet de bien appuyer l’instrument sur l’objet `a mesurer et l’incertitude de contexte est donc g´en´eralement nulle. La lecture est donc 81,96±0,02 mm.
ATTENTION Remarquez bien la ligne indiquant le z´ero sur le vernier. Prenez garde de ne pas utili- ser le d´ebut de la par- tie m´etallique pour lire votre mesure. Ceci est une erreur fr´equente.
Figure 3.2: Le pied `a cou- lisse.
3 • La prise de mesures
11
EXERCICES
E3.1 Mesure avec une r`egle.On veut prendre des mesures sur un petit rectangle noir avec une r`egle standard gradu´ee au millim`etre. On a soigneusement ajust´e l’extr´emit´e gauche du rectangle au z´ero de la r`egle.
Quelle est la longueur du rectangle ?
E3.2 Mesures avec une r`egle.On veut prendre des mesures sur un autre petit rectangle noir avec une r`egle standard gradu´ee au millim`etre.
a) Quelle est la position de l’extr´emit´e gauche ? b) Quelle est la position de l’extr´emit´e droite ? c) Quelle est la longueur du rectangle ?
E3.3 Mesure avec une balance.On tare une balance num´e- rique et elle indique«0,00 g». On y d´epose une petite bille et la balance indique maintenant«42,24 g«. Quelle est la masse de la bille ?
E3.4 Mesure avec un chronom`etre manuel.Un chariot fix´e
`
a des ressorts oscille de gauche `a droite le long d’un rail.
Une ´etudiante observe minutieusement le mouvement du chariot et prend comme rep`ere le point le plus `a droite du mouvement. Elle d´eclenche le chronom`etre lorsque le chariot atteint le point de rep`ere, observe un certain nombre d’oscil- lations, puis elle arrˆete le chronom`etre alors que le chariot atteint de nouveau le rep`ere. Le chronom`etre indique alors
«12,05 s». Quelle est la mesure de l’intervalle de temps ? E3.5 La boˆıte `a surprise.Un bouton se trouve sur une pe- tite boˆıte. Quand on appuie sur le bouton, un certain temps s’´ecoule avant qu’un m´ecanisme ouvre la boˆıte, d´evoilant la surprise qu’elle contient. Arm´e d’un bon vieux chronom`etre manuel, un prof de physique ayant un peu de temps `a perdre mesure un temps de 19,06 s entre le moment d’appuyer sur le bouton et l’ouverture soudaine de la boˆıte. Quelle est la mesure de l’intervalle de temps ?
E3.6 Les contextes exp´erimentaux. Identifier le contexte exp´erimental selon les cat´egories :
i) Quantit´e mal d´efinie ; ii) Temps de r´eflexe ; iii) Parallaxe ;
iv) Mesure non reproductible ;
pour chacune des situation suivantes.
a) Trois ´etudiantes mesurent le mˆeme intervalle de temps avec chacune un chronom`etre. Elles n’arrivent toutefois pas `a s’entendre sur la valeur exacte.
b) Une ing´enieure prend une mesure avec un instrument gradu´e. Sans bouger la tˆete, elle constate que la mesure est diff´erente selon qu’elle utilise son oeil gauche ou son oeil droit.
c) On veut mesurer la largeur du fleuve Saint-Laurent.
d) Deux ´etudiants doivent mesurer la position d’une masse le long d’un m`etre plac´e verticalement. Ils ont cependant fait l’erreur de laisser une grande distance entre la masse et le m`etre, de telle sorte que, les deux observateurs ont des mesures diff´erentes.
e) On prend une mesure avec un amp`erem`etre et la me- sure varie de fa¸con chaotique entre 1,23 mA et 1,28 mA.
f) On veut mesurer au millim`etre pr`es la distance entre Montr´eal et Qu´ebec.
E3.7 Un angle impr´ecis ?On mesure l’angle d’un plan in- clin´e avec un clinom`etre (instrument qui mesure une incli- naison) que l’on appuie directement sur le montage. La plus petite graduation de l’instrument est de 1◦. Selon la fa¸con de prendre la mesure, on trouve des valeurs se situant entre 18,0◦ et 20,0◦.
a) Quelle est l’incertitude due `a l’instrument ? b) Quelle est la cause de l’incertitude de contexte ?
c) Quelle est l’incertitude de contexte ? d) Quelle est la mesure et son incertitude ?
E3.8 Distance entre deux points I. Sans aucune informa- tion suppl´ementaire, on consid`ere les deux points illustr´es ci-dessous.
Quelle est la distance entre les points ?
E3.9 Distance entre deux points II.On reprend l’image de l’exercice pr´ec´edent dans un contexte compl`etement diff´e- rent. Dans une exp´erience, on prend une mesure `a l’aide d’un pointeur laser qui est r´efl´echi vers un m`etre standard.
Des mouvements infimes du montage exp´erimental font bou- ger le point laser sur le m`etre. L’image repr´esente le mˆeme point laser `a deux instants diff´erents. On doit mesurer le d´eplacement du point laser, donc connaˆıtre la distance entre les deux points.
a) Pourquoi le fait de connaˆıtre pr´ecis´ement le contexte change tout ?
b) Quelle est la distance entre les points ?
4 Le calcul des incertitudes
Les mesures prises en laboratoire servent g´en´eralement `a calculer d’autres valeurs que l’on appelle les r´esultats. Calcul´es `a partir de mesures ayant une incertitude, ces r´esultats com- portent aussi une incertitude, que l’on devra ˆetre en mesure de calculer. On parle alors de
«propagation des incertitudes»dans les calculs. Il existe plusieurs m´ethodes pour estimer l’incertitude du r´esultat d’un calcul. Dans les cours de physique, nous utilisons principalement deux m´ethodes : les r`egles simples et la m´ethode des extrˆemes (min/max). Si vous poursuivez des ´etudes en sciences `a l’universit´e, vous apprendrez qu’il existe plusieurs autres m´ethodes plus ´elabor´ees.
4.1 Les r` egles simples
Les r`egles simples (aussi appel´ee la m´ethode lin´eaire) s’appliquent pour des calculs simples comportant des additions, des soustractions, des constantes, des multiplications, des divisions et des puissances. Pour les additions et soustractions, on obtient l’incertitude du r´esultat en additionnant les incertitudes absolues ; pour les multiplications et divisions, on additionne plutˆot les incertitudes relatives ; pour les constantes et les puissances, on applique les r`egles pr´ec´edentes plusieurs fois et un coefficient s’ajoute alors dans le calcul des incertitudes. Le tableau suivant r´esume les r`egles simples.
ATTENTION Si le calcul `a effec- tuer comporte des fonc- tions Sin, Tan, Log ou autre, alors on ne peut pas utiliser les r`egles simples ! Il faut avoir recours `a la m´e- thode des extrˆemes (min/max).
R´esum´e des r`egles simples
Op´eration Calcul de la valeur Calcul de l’incertitude
Addition R=A+B
∆R= ∆A+ ∆B
Soustraction R=A−B
Constante R=kA ∆R=k∆A
Multiplication R=AB ∆R
|R| =∆A|A| +∆B|B|
Division R=BA
Puissance R=An ∆R|R| =n∆A|A|
Lorsqu’un calcul m´elange additions/soustractions et multiplications/divisions, alors on proc`ede ´etape par ´etape en respectant la priorit´e des op´erations. Il est ´egalement d’usage de simplifier l’´equation autant que possible avant de calculer une incertitude.
Exemple 4.1
Multiplication par une constante
Equip´´ ee d’un chronom`etre manuel, une physicienne observe le mouvement d’oscillation d’un pendule et veut mesurer la p´eriode (T), c’est-`a-dire le temps que prend celui-ci pour faire un aller-retour complet. Elle observe ainsi 10 p´eriodes (10 allers-retours complets) et mesure un temps ∆t= 8,3±0,1 s, incluant le temps de r´eflexe. Quelle
4 • Le calcul des incertitudes
13
est la p´eriode du pendule ?
Solution :Il suffit bien ´evidemment de diviser par 10 la valeur et son incertitude (ce qui revient `a multiplier par une constante de 1/10).
T =∆t
10 = 8,3 s
10 = 0,83 s , et
∆T =∆∆t
10 =0,1 s
10 = 0,01 s. La p´eriode du pendule est donc de 0,83±0,01 s.
Ce calcul nous permet ´egalement de comprendre pourquoi l’exp´erimentatrice a fait le choix d’observer 10 allers-retours plutˆot qu’un seul. La valeur obtenue de la p´eriode est ainsi 10 fois plus pr´ecise.
Exemple 4.2
Plusieurs multiplications/divisions
Des ´etudiants de NYA font une exp´erience visant `a v´erifier le principe de conservation de l’´energie m´ecanique. Dans le calcul du bilan d’´energie, ils doivent calculer l’´energie potentielle gravitationnelle d’une massempositionn´ee `a une hauteurh(par rapport au z´ero). Les valeurs sont
m = 0,2510±0,0001 kg, h = 0,765±0,005 m , g = 9,8±0,1 m/s2 . L’´equation requise ici estE=mgh.
Solution :On calcule l’´energie potentielle gravitationnelle avec l’´equation donn´ee.
E=mgh= (0,2510 kg)·(9,8 m/s2)·(0,765 m) = 1,882 J.
Comme il n’y a que des multiplications/divisions, on peut faire tout le calcul d’incerti- tude d’un seul coup. Il n’est pas n´ecessaire de d´ecouper le calcul en deux ´etapes parce qu’il y a deux multiplications. On a donc
∆E
|E| =∆m
|m| +∆g
|g| +∆h
|h| , et donc
∆E = |E|
∆m
|m| +∆g
|g| +∆h
|h|
= (1,882 J)· 0,0001 kg
0,2510 kg+0,1 m/s2
9,8 m/s2 +0,005 m 0,765 m
!
= 0,032 J.
Le r´esultat est donc de 1,882±0,032 J, que l’on arrondit `a 1,88±0,03 J.
Bref, quand il n’y a pas de m´elange multiplications/divisions et additions/soustractions, le calcul des incertitudes peut se faire en une seule ´etape.
Exemple 4.3
Multiplication contenant des constantes (Erreur fr´equente)
Afin de concevoir la pi`ece la plus importante d’une machine `a mouvement non perp´etuel, un ing´enieur doit connaˆıtre pr´ecis´ement le moment d’inertie d’un cylindre plein. La masseM et le rayonRsont
M = 50,3±0,1 g, R = 1,3±0,1 cm, et l’´equation requise estI= 12M R2.
Solution :La valeur du moment d’inertie est I= 1
2M R2= 1
2(50,3 g)·(1,3 cm)2= 42,5 g·cm2.
Pour le calcul de l’incertitude, est-ce qu’il s’agit d’un cas de multiplication par une constante ou de multiplications/divisions ? Les ´etudiants ont souvent cette confusion, mais il s’agit tout simplement de multiplications/divisions. On peut toujours traiter la constante comme une valeur ayant une incertitude nulle et faire les multiplica- tions/divisions. On traite toutes les multiplications/divisions/puissances du mˆeme coup et on a ainsi
∆I
|I| = ∆M
|M| + 2∆R
|R| .
Comme le rayonR est `a la puissance 2 dans l’´equation, on n’oublie pas le facteur 2 dans le calcul de l’incertitude. On remarque ´egalement que l’on n’a pas ajout´e un facteur 1/2 pour tenir compte de la constante car celui-ci est d´ej`a inclus dans le terme
|I|. Compl´etons le calcul.
∆I=|I|
∆M
|M| + 2∆R
|R|
= (42,5 g/cm2)· 0,1 g
50,3 g+ 20,1 cm 1,3 cm
= 6,6 g·cm2 . La valeur du moment d’inertie est donc de 42,5±6,6 g·cm2, que l’on arrondit `a 43±7 g·cm2.
Bref, les r`egles simples de multiplications/divisions prennent implicitement en compte le traitement des constantes. Ce serait une erreur d’ajouter un autre facteur1/2!
Trucs et astuces Dans l’exemple ci- contre, nous aurions pu ´ecrire explicitement
∆I
|I| = ...+ 0
|constante|, puisque la constante a une incertitude nulle.
Exemple 4.4
M´elange d’op´erations
Dans une exp´erience d’optique avec une lentille, on veut pr´edire la distance-image (q) o`u nous pourrons en principe observer une image nette. On a mesur´e le distance focale (f) et la distance-objet (p) et les valeurs sont :
f = 18,1±0,2 cm, p = 40,4±0,2 cm.
L’´equation th´eorique requise est 1 f = 1
p+1 q .
Solution :On cherche `a calculer q. Commen¸cons donc par isoler cette variable dans l’´equation. Avec un peu d’alg`ebre, on obtient facilement
q= 1
f −1 p
−1
.
R´efl´echissons un peu. Cette ´equation contient clairement des divisions et une sous- traction. Donc, si on veut faire le calcul de l’incertitude avec les r`egles simples, il
4 • Le calcul des incertitudes
15
faudra proc´eder ´etape par ´etape en respectant la priorit´e des op´erations. C’est un calcul fastidieux comportant plusieurs ´etapes et il convient donc de tenter de simplifier l’´equation d’abord. En ramenant les termes sous un d´enominateur commun et en inversant la fraction, on obtient l’´equation simplifi´ee suivante :
q= pf
p−f =(40,4 cm)·(18,1 cm)
40,4 cm−18,1 cm = 32,8 cm.
Pour le calcul de l’incertitude, en respectant la priorit´e des op´erations, il n’y a maintenant que deux ´etapes `a faire : la soustraction ; les multiplications/divisions d’un seul coup. Pour ce qui est de la soustraction, il suffit d’additionner les incertitudes absolues.
p−f = 40,4 cm−18,1 cm = 22,3 cm,
∆(p−f) = ∆p+ ∆f = 0,4 cm. Il ne reste plus que le traitement des multiplications/divisions.
∆q
|q| =∆f
|f| +∆p
|p| +∆(p−f)
|p−f| . Donc
∆q = |q|
∆f
|f| +∆p
|p| +∆(p−f)
|p−f|
= (32,8 cm)·
0,2 cm
18,1 cm + 0,2 cm
40,4 cm + 0,4 cm 22,3 cm
= 1,1 cm.
Si la th´eorie est correcte, on devrait donc observer une image nette `a une distance-image de 32,8±1,1 cm, que l’on arrondit `a 33±1 cm.
Trucs et astuces Mˆeme si un calcul com- porte plusieurs ´etapes, il est g´en´eralement beaucoup plus simple de faire les calculs alg´e- briquement et de n’en- trer les valeurs num´e- riques qu’`a la toute fin. Il y a ´egalement moins de risque d’er- reur ainsi.
Trucs et astuces Simplifier l’´equa- tion avant d’essayer de trouver les va- leurs minimale et maximale !
4.2 La m´ ethode des extrˆ emes (min/max)
Quand les r`egles simples ne s’appliquent pas ou que le calcul est trop fastidieux, on peut estimer l’incertitude d’un r´esultat avec la m´ethode des extrˆemes (aussi appel´ee la m´ethode min/max). L’id´ee est tout simplement d’´etudier la forme de l’´equation afin de d´eterminer la valeur maximale (Rmax) et la valeur minimale (Rmin) que le r´esultat peut avoir en faisant varier les valeurs dans leur intervalle d’incertitude. Ainsi, on sait que le r´esultat final se trouve dans l’intervalle [Rmin;Rmax] et il ne reste qu’`a l’exprimer sous forme de valeur avec incertitude.
R´esum´e de la m´ethode des extrˆemes (min/max)
Si le r´esultat se trouve dans l’intervalle [Rmin;Rmax], alors R = Rmax+Rmin
2 ,
∆R = Rmax−Rmin
2 .
Attention, il n’est pas toujours simple de trouverRmax etRmin. Il faut bien analyser la forme de l’´equation (par exemple, il faut minimiser un terme au d´enominateur afin de maximiser le r´esultat).
La m´ethode des extrˆemes peut aussi ˆetre utile pour calculer une moyenne ou pour combiner des valeurs non reproductibles. L’exemple qui suit illustre ceci.
Exemple 4.5
Chute libre (partie 1) — Valeurs non reproductibles
Un ´etudiant cherche `a mesurer la constante d’acc´el´eration gravitationnelle avec une petite bille partant du repos faisant un mouvement de chute libre `a partir d’une certaine hauteur h = 2,40±0,02 m. Le laboratoire ´etant ´equip´e de chronom`etres activ´es par des d´etecteurs de mouvement, on peut ainsi obtenir une mesure du temps de chute pr´ecise au dix-milli`eme de seconde (±0,0001 s). Ceci est fantastique mais pose un autre probl`eme : les mesures de temps sont tellement pr´ecises qu’elles deviennent sensibles aux petites sources d’incertitudes al´eatoires. Ainsi, lorsque l’´etudiant r´ep`ete les manipulations, il obtient des valeurs non reproductibles du temps de chute. Voici les valeurs obtenues : 0,7024±0,0001 s, 0,7012±0,0001 s, 0,6996±0,0001 s, 0,7003±0,0001 s et 0,7076±0,0001 s. Quelle valeur de temps de chute allons-nous utiliser pour faire les calculs ?
Solution : N’oublions pas qu’une incertitude est une fa¸con d’exprimer un intervalle.
Partant de la valeur centrale, on peut calculer le min et le max de chacune de nos valeurs.
0,7024±0,0001 s −→ [0,7023; 0,7025] s , 0,7012±0,0001 s −→ [0,7011; 0,7013] s , 0,6996±0,0001 s −→ [0,6995; 0,6997] s , 0,7003±0,0001 s −→ [0,7002; 0,7004] s , 0,7076±0,0001 s −→ [0,7075; 0,7077] s .
Donc, consid´erant l’ensemble des valeurs, le temps de chute peut se trouver entre
∆tmin = 0,6995 s et ∆tmax = 0,7077 s. `A partir de ces valeurs extrˆemes, on peut construire une valeur avec incertitude qui tiendra compte de l’ensemble de nos mesures.
∆t= ∆tmax+ ∆tmin
2 = 0,7077 s + 0,6995 s
2 = 0,7036 s, et
∆∆t=∆tmax−∆tmin
2 = 0,7077 s−0,6995 s
2 = 0,0041 s.
Ainsi, en arrondissant, on a une mesure du temps de chute de 0,704±0,004 s qui tient compte des sources d’erreur al´eatoires de l’exp´erience. L’analyse se poursuit dans l’exemple suivant.
Bref, on peut utiliser les valeurs extrˆemes pour combiner des valeurs non reproduc- tibles.
ATTENTION Le Rmax ne se cal- cule pas n´ecessaire- ment avec le maxi- mum de chacune des valeurs ! Il faut r´efl´e- chir et bien analyser la forme de l’´equation.
Exemple 4.6
Chute libre (partie 2) — Le maximum ne se calcule pas toujours avec les maxima Poursuivons l’analyse de l’exemple pr´ec´edent. Les valeurs exp´erimentales sont :
h = 2,40±0,02 m −→ [2,38; 2,42] m,
∆t = 0,704±0,004 s −→ [0,700; 0,708] s, et l’´equation th´eorique de l’acc´el´eration gravitationnelle est :
g= 2h
∆t2 . Quelle est la valeur de l’acc´el´eration ?
Solution :Nous allons utiliser la m´ethode des extrˆemes, mais les r`egles simples seraient tout `a fait ad´equates pour ce calcul. L’id´ee est d’´etudier la forme de l’´equation afin de d´eterminer quelles sont les valeurs extrˆemes possibles de g. On remarque ici le fait que l’´equation prend la forme d’un quotient. Ainsi, pour obtenir la plus grande valeur possible de g, il faudra s’assurer d’avoir la plus grande valeur possible du num´erateur
4 • Le calcul des incertitudes
17
(2hmax) et la plus PETITE valeur possible du d´enominateur (∆t2min). On a ainsi gmax = 2hmax
∆t2min = 2·2,42 m
(0,700 s)2 = 9,878 m/s2 , gmin = 2hmin
∆t2max = 2·2,38 m
(0,708 s)2 = 9,496 m/s2 . On a donc
g = gmax+gmin
2 = 9,878 m/s2+ 9,496 m/s2
2 = 9,687 m/s2 ,
∆g = gmax−gmin
2 = 9,878 m/s2−9,496 m/s2
2 = 0,191 m/s2 .
En arrondissant, l’acc´el´eration gravitationnelle obtenue par cette exp´erience fascinante est donc de 9,7±0,2 m/s2.
Bref, le maximum ne se calcule pas n´ecessairement avec les maxima !
Exemple 4.7
Fonction logarithmique
Une ing´enieure de son fait un montage acoustique et doit calculer le niveau sonore (β), en d´ecibels, d’un haut-parleur de puissance (P) `a une distance (r). L’´equation
requise est
β = 10 log10 P
4πr2I0
, et les valeurs sont
P = 100±5 W −→ [95; 105] W, r = 46,5±0,5 m −→ [46,0; 47,0] m, I0 = 10−12W/m2.
Il n’y a pas d’erreur,I0 est une constante sans incertitude.
Solution :Pour appliquer la m´ethode des extrˆemes, il convient de r´efl´echir et analyser la forme de l’´equation. Le logarithme est une fonction croissante. Donc, pour maximiser le r´esultat, on doit maximiser l’argument ; pour maximiser l’argument du log il faut maximiser le num´erateur et minimiser le d´enominateur. Allons-y ! En appliquant cette logique, on a
βmax= 10 log10
Pmax 4πrmin2 I0
= 10 log10 105 W
4π(46,0 m)2·(10−12W/m2)
!
= 95,96 dB, et, inversement,
βmin= 10 log10
Pmin
4πr2maxI0
= 10 log10 95 W
4π(47,0 m)2·(10−12W/m2)
!
= 95,34 dB. Ainsi, on a
β = βmax+βmin
2 = 95,96 dB + 95,34 dB
2 = 95,65 dB ,
∆β = βmax−βmin
2 = 95,96 dB−95,34 dB
2 = 0,31 dB.
Apr`es avoir arrondi, l’ing´enieure de son s’attend donc `a mesurer un niveau sonore de 95,7±0,3 dB .
Exemple 4.8 Fonction sinus
On veut calculer la composante verticaleFy d’une force ayant un moduleF et faisant un angleθpar rapport `a l’horizontale. L’´equation `a utiliser est bien ´evidemment
Fy =Fsinθ , et les valeurs sont
F = 12,3±0,3 N −→ [12,0; 12,6] N, θ = 22±1◦ −→ [21; 23]◦ .
Solution :Puisque le calcul `a effectuer contient un sinus, on ne peut pas utiliser les r`egles simples. Il faut donc utiliser la m´ethode min/max. Comme la fonction sinus est croissante, il faudra tout simplement maximiser et minimiser son argument pour
´
evaluer les valeurs extrˆemes. On a donc
Fymax = Fmaxsinθmax= (12,6 N) sin 23◦= 4,92 N, Fymin = Fminsinθmin= (12,0 N) sin 21◦= 4,30. Ainsi, on a
Fy = Fymax+Fymin
2 = 4,61 N,
∆Fy = Fymax−Fymin
2 = 0,31 N. Correctement arrondi, on trouve comme r´esultatF = 4,6±0,3 N.
4.3 La construction d’un graphique lin´ eaire
Pourquoi voudrait-on repr´esenter une s´erie de valeurs respectant une loi quelconque sous la forme d’une droite ? Le but d’une exp´erience est souvent de v´erifier une loi ou de mesurer une constante importante. Par exemple, si on cherche `a v´erifier une loi exponentielle et qu’on repr´esente directement la courbe exponentielle sur un graphique, il est alors difficile de juger
`
a l’oeil si la courbe est bel et bien exponentielle (voir la figure 4.1). Il est donc difficile d’en tirer des conclusions probantes. Une strat´egie plus avis´ee est de faire quelques manipulations alg´ebriques aux valeurs afin de construire un graphique qui, si la loi est valide, devrait prendre la forme d’une droite. Illustrons ceci directement par un exemple.
Figure 4.1:Ces graphiques sont-ils exponentiels, qua- dratiques ou lin´eaires ?
Trucs et astuces Il arrive souvent qu’on doive faire des mani- pulations alg´ebriques pour identifier X et Y en comparant avec l’´equation d’une droite.
Exemple 4.9
Construction d’un graphique lin´eaire
Selon la loi de Kepler, les mouvements orbitaux des plan`etes du syst`eme solaire respectent l’´equation
T2=κa3 ,
o`u T est la p´eriode de r´evolution, aest le demi grand axe des orbites elliptique et κest la constante de Kepler. Voici les donn´ees pour quelques plan`etes (U A- unit´e astronomique) :
Tableau 1 : Donn´ees astronomiques Plan`ete T (ann´ee terrestre) a(UA)
Mercure 0,241 0,387
V´enus 0,615 0,723
Terre 1,00 1,00
Mars 1,88 1,52
Si on repr´esente cette s´erie de donn´ees sous la forme d’un graphique deaen fonction deT, il n’est pas facile de voir `a l’oeil si la puissance 2/3 est bien respect´ee (graphique
4 • Le calcul des incertitudes
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en bas de gauche). Cependant, en comparant l’´equation de Kepler avec l’´equation d’une droite,
T2=κa3 ⇐⇒ Y =mX+b ,
on peut facilement identifier : Y =T2, X =a3, b= 0 et la pente m=κ. Ainsi, si l’´equation de Kepler est correcte, on devrait obtenir une droite dont la pente est la constante de Kepler en construisant un graphique deT2 en fonction dea3 (graphique en bas de droite).
Calculons les valeurs requises. Si les valeurs avaient des incertitudes, on les calculerait pour chacune des valeurs.
Tableau 2 : Construction du graphique lin´eaire Plan`ete T2(a2) a3(UA3)
Mercure 0,0581 0,0579
V´enus 0,378 0,378
Terre 1,00 1,00
Mars 3,53 3,52
Sous forme de graphiques :
4.4 L’incertitude sur une pente
Une fois qu’on a ´etabli que nos valeurs exp´erimentales forment bel et bien une droite, on peut pousser l’analyse plus loin et calculer la valeur de la pente et son incertitude. On a ainsi un point de comparaison quantitatif avec la valeur th´eorique attendue de la pente. Il existe plusieurs m´ethodes.
4.4.1 A l’oeil`
L’id´ee est assez simple et consiste essentiellement `a appliquer la m´ethode des extrˆemes. On estime `a l’oeil les pentes maximale et minimale. On comprend donc que la proc´edure est un peu arbitraire. Consciemment ou non, on privil´egie toujours certains points par rapport `a d’autres.
On tente de trouver le meilleur compromis pour accommoder le plus de points possible, mais il est clair que deux exp´erimentateurs diff´erents trouveront des valeurs l´eg`erement diff´erentes.
C’est une estimation.
Figure 4.2:Voici un exemple d’ajustement `a l’oeil des pentes maximale et minimale. Il ne faut pas prendre cet exemple comme un absolu, un autre exp´erimentateur pourrait avoir une estimation diff´erente.
Une fois les valeurs extrˆemes trouv´ees, on applique la m´ethode des extrˆemes. La pentemet son incertitude ∆msont donn´ees par :
m= mmax+mmin
2 ∆m=mmax−mmin
2 (4.1)
4.4.2 Cas particulier : une droite presque parfaite
Il arrive parfois que les points s’alignent tr`es bien le long d’une droite. Dans ce cas en particulier, il n’y a pas vraiment d’interpr´etation possible pour ajuster les pentes maximale et minimale. Il suffit de faire l’analyse avec seulement le premier et le dernier point ; tous les autres points sont implicitement pris en compte. Un exemple est illustr´e `a la figure 4.3.
Figure 4.3:Voici un exemple o`u les points sont presque parfaitement align´es le long d’une droite. Les rectangles bleus repr´esentent l’espace couvert par les barres d’erreur horizontale et verticale.
Par exemple, dans le cas d’une pente positive, si on connaˆıt les coordonn´ees avec incertitudes du premier point (x1±∆x1;y1±∆y1) ainsi que celles du dernier point (x2±∆x2;y2±∆y2), alors on peut facilement calculer les pentes minimale et maximale qui passent par les coins des rectangles couvrant la zone d’incertitude.
4 • Le calcul des incertitudes
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Pour des points bien align´es et une pente positive :
mmax= (y2+ ∆y2)−(y1−∆y1) (x2−∆x2)−(x1+ ∆x1) , mmin= (y2−∆y2)−(y1+ ∆y1)
(x2+ ∆x2)−(x1−∆x1)
(4.2)
Le reste suit la logique de la m´ethode des extrˆemes. Si la pente est n´egative, on peut simplement inverser les donn´ees enY pour avoir une pente positive ou bien faire le calcul ´equivalent pour une pente n´egative.
4.4.3 Avec la fonctionDROITEREG
ATTENTION La fonction DROI- TREG d’Excel n’est qu’une approximation.
Elle ne fait que me- surer la distribution des points le long de la droite et elle ne prend pas du tout en compte les barres d’er- reur. Il est donc ad´e- quat de l’utiliser seule- ment lorsque les barres d’erreur sont effective- ment n´egligeables com- parativement `a la dis- tribution des points le long de la droite.
Cette fonction permet, pour la r´egression lin´eaire d’un ensemble de points (x,y), de d´eterminer la pente et l’ordonn´ee `a l’origine correspondant `a la courbe de tendance, mais surtout leurs incertitudes. La proc´edure `a suivre dansExcel est un peu particuli`ere (voir le chapitre 7).
Figure 4.4:Quelle m´ethode choisir ?GAUCHE :Si la distribution des points est n´egligeable comparativement aux barres d’erreur (les points s’alignent bien le long d’une droite), alors c’est une approximation correcte d’appliquer la m´ethode des extrˆemes avec le premier et le dernier point.DROITE :Si les incertitudes sont n´egligeables comparativement `a la distribution des points, alors la fonctionDROITEREG est une approximation correcte.
Exemple 4.10
Construire un graphique lin´eaire avec incertitude et calcul de la pente
Ceci est un exemple complet et non trivial combinant les r`egles simples, la construction d’un graphique lin´eaire ainsi que le calcul d’une pente avec incertitude. Assurez-vous de bien comprendre ces ´el´ements pr´ealablement.
Reprenons les valeurs de l’exemple 4.9 en ajoutant des incertitudes fictives (dans les faits, ces valeurs sont connues avec une tr`es grande pr´ecision). On a ainsi les valeurs suivantes.
Tableau 1 : Donn´ees astronomiques
Plan`ete T (±0,01ann´ee terrestre) a (±0,02UA)
Mercure 0,24 0,39
V´enus 0,62 0,72
Terre 1,00 1,00
Mars 1,88 1,52
On suit la mˆeme logique que dans l’exemple 4.9. On calcule les valeursX etY selon les ´equationsX =a3etY =T2. La diff´erence importante ici est que lesX et lesY comportent maintenant des incertitudes. En appliquant les r`egles simples, on trouve
