∫ D.S. DE MATHEMATIQUES

D.S. DE MATHEMATIQUES

05 – 04 – 2019 Term. ES rouge- ES Verte – L (spécialité) CALCULATRICE AUTORISEE

NOM :

EXERCICE 1 : (à faire sur cette feuille et à rendre avec la copie) (9 pts) 1) Soient les fonctions définies sur par f(x) = ℝ e^x

(e^x+1)² et g(x) = e^x e^x+1 .

a) Montrer que g est une primitive de f sur .ℝ

b) Calculer la valeur exacte de I =

∫

−1 2

f(x)d x puis en donner une valeur approchée à 10⁻² près .

I =

c) On donne ci-contre la représentation graphique de f.

Interpréter I sur ce graphique.

2) Déterminer la primitive F de la fonction f définie sur par ℝ fx=6 x²– 8 x1 qui vérifie F(1) = 3

1/3

2 3

-1 -2

-3 0 1

1

x y

3) Déterminer une primitive des fonctions définies par :

f(x)=−6 e^x F(x) =

g(x)=−2

x pour x > 0 G(x) =

h(x)=−3

√

i(x)= 7

x² pour x ≠ 0 I(x) =

j(x)=5 e^−2x+4 J(x) =

k(x)= 2 x+1

(3x²+3x+1)² K(x) =

n(x)=3 ln(x)

x =3×1

x×ln(x) N(x) =

4) On donne ci-dessous les représentations graphiques de la parabole P d'équation y=x² et de la droite D d'équation y = x + 2.

Déterminer l'aire en unité d'aire de la partie du plan délimitée par P, D et les droites d'équations x = 0 et x = 1.

2/3

2 -1

-2

2 3 4

0 1

1

x y

EXERCICE 2: (4 pts)

Les 275 passagers d’un vol long-courrier s’apprêtent à embarquer dans un avion possédant 55 sièges en classe confort et 220 sièges en classe économique. Les voyageurs partent soit pour un séjour court, soit pour un séjour long.

Parmi les passagers voyageant en classe économique, 35% partent pour un séjour long alors que parmi les passagers ayant choisi la classe confort, 70% ont opté pour un séjour long.

On choisit au hasard un passager du vol. On note les événements suivants :

• E : « Le passager voyage en classe économique. »

• L : « Le passager part pour un séjour long. » 1) Montrer que la probabilité de E est 0,8.

2) Représenter la situation par un arbre pondéré.

3) Déterminer la probabilité que le passager choisi parte en classe économique pour un séjour long.

4) Montrer que la probabilité de L est 0, 42.

5) On choisit au hasard un passager partant pour un long séjour. Quelle est la probabilité que ce passager voyage en classe économique ?

EXERCICE 3 : (7 pts)

Soit la fonction g définie sur I = [ 1 ; 45 ] par g(x)= -20 x + 5 x ln(x) +30.

1) a) Montrer, pour tout x de I, que g'(x) = -15 + 5ln(x).

b) Déterminer le signe de g'(x) sur I.

c) Dresser le tableau de variations de g (les valeurs seront arrondies au centième si besoin).

2) a) Montrer que l'équation g(x) = 0 admet une solution unique sur I. b) Donner un encadrement de  d'amplitude 0,01.

c) En déduire le signe de g(x) selon les valeurs de x dans I.

3) Soit la fonction G définie sur I par G(x)=−11,25 x²+2,5 x²ln(x)+30 x . On admet que G est une primitive de g sur I.

a) Donner les variations de G sur I.

b) Déterminer la valeur moyenne de g sur I (on arrondira le résultat à l'unité).

3/3