DEVOIR DE MATHEMATIQUES

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DEVOIR DE MATHEMATIQUES

03 – 05 – 2019 Term. S rouge

EXERCICE 1 : ( 3 pts )

On considère les complexes z1= 3 +



3 i ; z2 = −3−3 i et z³=z₁ z₂ 1) Calculer le module et un argument de ces trois complexes.

2) Calculer la forme algébrique de z3.

3) En déduire les valeurs exactes de cos



^11¹²



^{et sin}



¹¹¹²^



^.

EXERCICE 2: ( 4 pts )

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on donne les points A, B, C, G, H et I d'affixes respectives z_A=– 35 i , zB=46 i , zc=1 – 3 i , zG=28 i

3 , zH=4 i et zI=12 i . 1) a) Calculer la distance IA.

b) Montrer que I est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

2) Montrer que G est le centre de gravité du triangle ABC.

3) a) Calculer la forme algébrique de z_H– z_A

z_C– z_B et donner un de ses arguments.

b) En déduire que (AH) (BC) .⊥

c) On admet de même que (AB) (CH), que représente H pour le triangle ABC ?⊥ 4) a) Calculer la forme algébrique de ^zI– z_H et ^zG– z_H

b) En déduire que G, H et I sont alignés.

EXERCICE 3 : ( 5 pts)

Pour tout n on pose ∈ ℕ ^un =

∫

0

1 2 x²ⁿ⁺¹

1+x² d x (on ne cherchera pas à calculer ^un) 1) Pour tout n , démontrer que : ∈ ℕ u_n0 et u_n1u_n= 1

n1 . 2) Calculer ^u0 et en déduire ^u1 .

3) Démontrer que u_n est décroissante et convergente.

4) a) Montrer que pour tout x de [0;1], 1

2  1

1x² 1 b) En déduire que, pour tout n , ∈ ℕ 1

2 n2u_n 1 n1 . 5) Déterminer la limite de ^un .

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EXERCICE

4

: ( 4 pts)

1) Soit la fonction f définie sur par ℝ f(x)=4 x+3−e^{2 x} et C sa courbe représentative.

a) Déterminer les limites de f en –∞ et en +∞ . b) Déterminer la dérivée de f.

c) Dresser le tableau de variations de f.

2) a) Montrer que la droite D d'équation y = 4 x + 3 est asymptote à C en –∞ . b) Déterminer la position de C par rapport à D.

c) Calculer l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan délimitée par C, D et les droites d'équations x = 0 et x = 1.

EXERCICE 5 : ( 4 pts)

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Une boulangerie industrielle utilise une machine pour fabriquer des pains de campagne pesant en moyenne 400 grammes. Pour être vendus aux clients, ces pains doivent peser au moins 385 grammes. Un pain dont la masse est strictement inférieure à 385 grammes est un pain non-commercialisable, un pain dont la masse est

supérieure ou égale à 385 grammes est commercialisable.

La masse d’un pain fabriqué par la machine peut être modélisée par une variable aléatoire X suivant la loi normale d’espérance μ = 400 et d’écart-type σ = 11.

Les probabilités seront arrondies au millième le plus proche . Partie A

1. Calculer P ( 390  X  410 ).

2. Calculer la probabilité p qu’un pain choisi au hasard dans la production soit commercialisable.

3. Le fabricant trouve cette probabilité p trop faible. Il décide de modifier ses méthodes de production afin de faire varier la valeur de σ sans modifier celle de μ = 400.

Pour quelle valeur de σ la probabilité qu’un pain soit commercialisable est-elle égale à 96%? On arrondira le résultat au dixième.

Partie B

Le boulanger utilise une balance électronique. Le temps de fonctionnement sans dérèglement, en jours, de cette balance électronique est une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre λ.

1. On sait que la probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant 30 jours est de 0,913. En déduire la valeur de λ arrondie au millième.

Dans toute la suite

2. Dans cette question on prendra λ = 0,003.

Quelle est la probabilité que la balance électronique fonctionne encore sans dérèglement après 90 jours, sachant qu’elle a fonctionné sans dérèglement 60 jours ?

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