FICHE N ~ #6 DEVOIR MAISON

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FICHE N ^~ #6 DEVOIR MAISON

Terminale S

Autour de ζ (2p) =

_n ¹

15 Janvier 2020

P. S. WADE

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*@MATH_PSW*

***

LEARNING TO TEACH MACHINES TO LEARN MATHS FOR I.A

N

lim

N Y

i=1 N X

i=0 Z

insta : @Maths_PSWdx

Exercice I: Etude de la suite U

=

et determiner sa limite lorsque x tend vers l’infini

Q1)

On considère la fonction f_n définie par: pour tout x∈[0,^π₂] f_n(x) = ^Pn_k=1cos(kx).

Déterminerf(0), puis f_n(x) en fonction de sin(x) et sin(2n+ 1)x pour tout x∈]0,^π₂].

Q2)

Soient deux réels α etβ. On considère la fonction h définie sur [0, π] par:

( h(x) = ^αx+βx_sin(x)² h(0) =α

Montrer que la fonction hest dérivable sur [0,^π₂] et sa fonction dérivé h⁰ est continue sur [0,^π₂] Q3)

Pour tout n∈N∗ on définit

H(x) =

Z ^π

2

0

h(x)sin(nx)dx.

Montrer qu’il existe un K ne dépendant pas de n tel que|H(x)| ≤ ^K_n. Q4)

Soit

J(K, α, β) =

Z ^π

2

0

(αx+βx²)cos(2kx)dx.

Déterminer un couple de réels (α∗, β∗) tel que J(K, α∗, β∗) = _4k¹2.

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Q5) Soit

U_n=

Z ^π

2

0

(x²

π −x)f_n(x)dx.

Montrer que

Un=

n

X

k=1

1 k².

En déduire que (U_n) est convergente et déterminer sa limite U.

Exercice II: La famille Exponentielle Canonique

• Définition 1

On appelle famille exponentielle canonique associée au couple (T, h) à n-paramètres, la fonction dépendant de θ donnée par l’expression suivante:

f_θ(x) = h(x)exp

" _n X

i=1

η_i(θ)T_i(x)−A(θ)

#

.

oùη(.) A(.) sont des fonctions du paramètre (dépendant uniquement de) θ et T_i(.) des statistiques.

Exemples:

* Loi exponentielle:

f

(x) = 1

θ e

= exp

"

− 1

θ x − log(θ)

#

Ici n vaut 1, η(θ) =

, T

(x) = x, A(θ) = log(θ) et h(x) = 1

* Loi Bernoulli:

f

(x) = θ

(1 − θ)

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Considèreront maintenant la famille exponentielle à 1-paramètre, soient T : N −→ R et h : N−→R⁺ deux fonctions. :

f_θ(x) = h(x)exp[η(θ)T(x)−A(θ)].

Q1) Montrer que, dans le cas de la loi de Bernoulli, l’expression de la famille exponentielle peut s’écrit sous la forme :

f_θ(x) = exp

"

xlog θ 1−θ

!

+nlog(1−θ)

#

.

Préciser les paramètres n, η(.), T(.), A(.), et h(.) du modèle exponentiel associé.

Q2)

Soit la fonctionq_θ définie par:

qθ(x) =h(x)exp[η(θ)T(x)−A(θ)] (1)

Montrer que la loi Poisson définit un modèle exponentiel avec η(θ) = log(θ), A(θ) = θ, T(x) =x, h(x) = 1

x!.

Rappel: La fonction associé à la loi de Poisson est donnée par: fθ(x) = e^{−θ θ}_x!^x. Préciser les paramètres du modèle exponentiel canonique associé.

Q3)Montrer que la loi binomiale définit également un modèle exponentiel avec η(θ) = log( θ

1−θ), A(θ) =−nlog(1−θ), T(x) =x, h(x) = n x

!

.

Préciser le modèle exponentiel canonique associé.

• Définition 2: Maximum de vraisemblance

Soit X une variable aléatoire et θ un paramètre, pour n observations (x₁, x₂, x₃, ..., x_i, ..., x_n) avec X = (x₁, x₂, x₃, ..., x_i, ..., x_n), le nombre

L(x₁, x₂, x₃, ..., x_i, ..., x_n;θ) = f_θ(x₁)×f_θ(x₂)×f_θ(x₃)×...×f_θ(x_i)×...×f_θ(x_n) (2)

=

n

Y

i=1

f_θ(x_i) (3)

On cherche à trouver le maximum de cette vraisemblance pour que les probabilités des réal- isations observées soient aussi maximum. Ceci est un problème d’optimisation.

On utilise généralement le fait que si L est dérivable (ce qui n’est pas toujours le cas) et si L

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admet un maximum global en une valeur θ = ˆθ , alors la dérivée première s’annule en θ = ˆθ et la dérivée seconde est négative.

Réciproquement, si la dérivée première s’annule en θ = ˆθ et que la dérivée sec- onde est strictement négative en θ = ˆθ , alors θ = ˆθ est un maximum local de L(x₁, x₂, x₃, ..., x_i, ..., x_n;θ).

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Exemple: Loi exponentielle

On souhaite estimer le paramètreθd’une loi de Poisson à partir d’un n-échantillon (population) : f_θ(x) = P_θ(X =x) = e^−θθ^x

x!

L(x₁, ..., x_i, ..., x_n;θ) =

n

Y

i=1

e^−θθ^xi

xi! =e^−nθ

n

Y

i=1

θ^xi xi!. La vraisemblance étant positive, on considère son logarithme naturel :

L(x₁, x₂, x₃, ..., x_i, ..., x_n;θ) = lne^−θn+ ln

n

Y

i=1

θ^xi

xi! (4)

=−θn+

n

X

i=1

lnθ^xi

x_i! (5)

Q4) Soit la fonction g définie par :

g(θ) =−θn+

n

X

i=1

lnθ^xi xi! (a) Déterminer la fonction dérivé de g, on le notera G.

(b) Résoudre l’équation G= 0. On notera ˆθ la solution.

(c) Vérifier que la dérivé seconde de la fonction g est négatif.

(d) En déduire que la fonction g admet un maximum.

Q5) Déterminer le maximum de vraisemblance du paramètre θ de la fonction q_θ de l’équation (1).

Remarque:

Dans cet exercice (exercice 2) vous venez de résoudre un véritable problème de statistique liée à la science de données (ou data science en anglais). Ainsi La science des données et le machine learning (ou apprentissage automatique) sont deux mots très en vogue lorsque l’on parle de la révolution des masses de données, de prédiction des comportements ou tout simplement de la transformation numérique des entreprises avec l’essor du Big data.

Ceci est un très bon début pour ceux qui veulent s’orienter dans le domaine de la science des données dans l’avenir

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Problème***: Irrationalité de la limite U de l’exo I

Préparation de concours : L’objectif du problème, avec dépendances des parties, est d’établir une formule permettant de calculer les nombres ζ(2p), définis pour tout entier naturel p supérieur ou égal à 2 par:

ζ (p) = lim

n−→∞

n X

k=1

1 k

.

• Partie I: Étude de la convergence de la suite

n∈N^∗

Dans cette partie, on considère un entier naturel p supérieur ou égal à 2 et on définit la suite par:

∀n∈N^∗, S_n(p) =

n

X

k=1

1 k^p. Q1) Étudier la monotonie de suite (S_n(p))_n∈

N^∗. Q2)

(a) Montrer que pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 1, 1

(k+ 1)^p ≤

Z k+1 k

1

t^pdt≤ 1 k^p.

(b) En déduire que pour tout entier naturel n supérieur ou égale à 2, S_n(p)−1≤

Z n 1

1

t^pdt≤ 1 p−1. (c) Conclure que la suite (S_n(p))_n∈

N^∗ converge. On noteraζ(p) sa limite.

• Partie II: Polynômes de bernoulli et nombres de bernoulli

Q3) Soit f une fonction définie et continue sur [0,1], à valeurs réelles.

Montrer qu’il existe une unique fonction F : [0,1]−→R de fonction dérivée continue sur [0,1]

telle que:

F⁰ =f et

Z 1 0

F(t)dt = 0.

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On appelle suite de polynômes de Bernoulli une suite (Bn)n∈N de polynôme deR[X] définie par:

i) B₀ = 1

ii) ∀n∈N^∗ B_n⁰ =nBn−1

iii) ∀n∈N^∗, ^R₀¹Bn(t)dt= 0.

Q4) Montrer les conditions i), ii), et iii) définissent une unique suite (Bn)n∈N de polynômes de R[X]. On appellera alors la suite des polynômes de Bernoulli.

Pour tout n∈N, on note : bn =Bn(0).On dit que bnest le n−ème nombre de Bernoulli.

Q5) Calculer B₁ etB₂. En déduire b₁ etb₂. Q6)

(a) Pour tout entier naturel n supérieur ou égale à 2, calculer B_n(1)−B_n(0).

(b) Monter que : ∀n ∈N, B_n(X) = (−1)ⁿB_n(1−X).

(c) Montrer alors que pour tout p∈N^∗, b_2p+1 = 0.

Q7)

(a) Montrer que pour tout n∈N, B_n(X) = ⁿ_kbp−k

(b) En déduire que la suite des nombres de Bernoulli vérifie :

∀p∈N, p≥2,

p

X

k=1

p k

!

bp−k = 0.

(c) Montrer que pour tout p∈N, b_2p =^P2p_k=0^2p_kb_k. (d) En déduire que pour toutp∈N, p≥2 on a:

b_2p =− 1

(2p+ 2)(2p+ 1)

2p−2

X

k=0

2p+ 2 k

!

b_k.

Ces dernières relations permettant de calculer les nombres de Bernoulli par récurrence. Elles permettent également de prouver que les nombres de Bernoulli sont rationnels.

• Partie III: Calcul de ζ (2p)

Q8) Pour tout t∈]0, π], calculer ^Pn_k=1cos(2kt), puis déterminer une réelleλ telle que:

∀t∈]0, π],sin((2n+ 1)T) 2sin(t) =

n

X

k=1

cos(2kt) +λ.

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Q9) Montrer que pour toute fonctionf : [0, π]−→Rde fonction dérivée continue sur [0, π]

on a:

n−→∞lim

Z π 0

f(t)sin((2n+ 1)t)dt= 0.

Pour tout couple (p,k) d’entiers naturels, on définit J_p,k=^R_O^πB_2p(_π^t)cos(2kt)dt.

Q10)

(a) A l’aide de deux intégrations par parties, calculer J_1,k pour tout k ∈N. (b) Pour p∈N, p≥2, trouver une relation entreJ_p,k et Jp−1,k.

(c) En déduire l’expression de Jp,k en fonction de p et dek pour tout (p, k)∈N².

Dans la suite, on considère un entier p ∈ N^∗ fixé et on définit la fonction φ_p : [0, π] −→ R par:

φ_p(0) =φ_p(π) = 0 et∀t ∈]0, π[, φ_p(t) = B_2p(_π^t)−b_2p sint(t) .

Il est admis dans la suite du problème que la fonction de dérivé de φ_p est continue sur [0, π].

Q11)

(a) Donner une expression de:

Z π 0

φ_p(t)sin((2n+ 1)t)dt en f onction de n , p et b_2p.

(b) En déduire la valeur deζ(2p) en fonction de p etb₂p.

(c) Donner les valeurs de ζ(2) et ζ(4).

(d)*** Par une interprétation géométrique montrer queζ(2) <2 . (On pourra considérer un rectangle de longueur 2).

En 1882, Lindemann démontra que πest transcendant. C’est-à-dire que π n’est racine d’aucun polynôme (non nul) à coefficients rationnels. Ce résultat a permis de prouver que tous les nom- bresζ(2n) sont irrationnels. Le premier résultat concernant lesζ(2n+1) n’est arrivé qu’en 1978, lorsque Apéry démontra queζ(3) est irrationnel. Il aura fallu plus d’un siècle pour obtenir un résultat concernant l’irrationalité des ζ(2n+ 1). Ces nombres restent encore très mystérieux à l’heure actuelle. En 2001, Zuidilin a montré qu’au moins un nombre parmiζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) est irrationnel.

• Partie Iv: Irrationalité de ζ (2)

Dans cette partie, n désigne un entier naturel non nul et pour toutx réel, on pose f_n(x) = xⁿ(1−x)ⁿ

n! .

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Q12) Soit n ∈N^∗.

(a) Montrer qu’il existen+ 1 entierse_n, e_n+1, ..., e_2n tels que, pour tout x∈R, ψ_n(x) = 1

n!

2n

X

i=n

e_ixⁱ.

(b) Montrer que pour tout k∈N, ψ^(k)_n (0) est entier.

(c) En remarquant que pour tout x∈R,f_n(x) =f_n(1−x), montrer que f_n^(k)(0), est un entier.

On veut prouver que π² est irrationnel. On va raisonner par l’absurde : supposons qu’il existe deux entiers a et b tels que la fraction ^a_b soit irréductible (c’est-à-dire tels que pgcg(a,b)= 1) tels que π² = ^a_b.

Q13) Pour tout n∈N^∗, on définit la fonction F_n surR par:

∀x∈R, Fn(x) =bⁿπ²ⁿfn(x)−π²ⁿ⁻²f_n⁽²⁾+π²ⁿ⁻⁴f_n⁽⁴⁾(x) +...+ (−1)ⁿf_n⁽²ⁿ⁾(x). (a) Montrer que pour tout n∈N^∗, F_n(0) et F_n(1) sont des entiers.

(b) Pour tout n∈N^∗, on note gn la fonction définie sur Rpar:

∀x∈R, g_n(x) =F_n⁰(x)sin(x)−πF_n(x)cos(πx).

Montrer que : ∀x∈R, g⁰_n(x) =π²aⁿf_n(x)sin(πx).

(c) Établir que:

∀n ∈N^∗, An=πaⁿ

Z 1 0

fn(x)sin(πx)dx est un entier.

Dans la suite, on note (w_n)n∈N la suite définie par: ∀n∈N, w_n= ^a_n!ⁿ. Q14)

(a) Montrer qu’il existe un entier naturel n₀ tel que pour tout n∈N, n≥n₀, w_n < ¹₂. (b) Montrer que pour tout x∈[0,1], 0≤f_n(x)≤ _n!¹.

(c) En déduire que pour toutn∈N, n≥n₀, A_n∈]0,1[, puisqueπ²estirrationnel.Conclurequantàl⁰irrationalitédeζ(2).

(d) Peut-on déduire de ce que précède l’irrationalité de π.

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ @maths_psw ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

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Bon courage, vous pouvez y arriver !

********** FIN DU SUJET !

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