Seconde 1 Chapitre 17 : feuilles annexes. Page n ° 1 2007 2008
1 Moyenne .
Exemple 1 : Les notes de maths de Tom sont 15 ; 18 ; 16 ; 12 ; 8 et 9. x =
6
9 8 12 16 18
15+ + + + + = 78 6 = 13.
La moyenne de Tom est égale à 13.
Valeur du caractère 8 9 10 11 12 18
Effectif 7 5 8 9 4 1
Exemple 2 : x =
1 4 9 8 5 7
1 18 4 12 9 11 8 10 5 9 7
8× + × ++×+++ ×+ ++ × + × =
34
18 48 99 80 45
56+ + + + + = 346
34 ≈ 10,18.
2 Linéarité.
Si x désigne la moyenne des nombres x1 , x2 , … , xn Si y désigne la moyenne des nombres y1 , y2 , … , yn
Alors la moyenne m des nombres x1 + y1 , x2 + y2 , … , xn + yn est égale à x + y. Démonstration :
On a x = n
x ...
x
x1+ 2+ + n et y = n
y ...
y y1+ 2+ + n
Donc m =
n
y x ...
y x y
x1+ 1+ 2+ 2+ + n+ n
= n
x ...
x x1+ 2+ + n
+ n
y ...
y y1+ 2+ + n
= x + y .
Exemple : afin d'harmoniser des corrections de copies, le rectorat propose de remplacer les notes xi par les notes yi = 2 xi − 6. Un correcteur a une moyenne de 8 avec des notes comprises entre 5 et 13. En appliquant les consignes du rectorat, donner la nouvelle moyenne de ce correcteur ainsi que ses notes extrêmes.
On a x = 8 et y = a x + b = 2 × 8 − 6 = 16 − 6 = 10.
Donc la nouvelle moyenne est égale à 10.
xmin = 5 donc ymin = 2 × 5 − 6 = 10 − 6 = 4.
xmax = 13 donc ymax = 2 × 13 − 6 = 26 − 6 = 20.
Ses nouvelles notes extrêmes sont 4 et 20.
3 Les moyennes des sous-groupes.
Dans la classe de seconde 1 , il y a 35 élèves dont 17 filles et 18 garçons.
La moyenne de maths des filles du 2T est égale à 12,11.
La moyenne de maths des garçons du 2T est égale à 10,98.
Calculons la moyenne de la classe.
M = 17 18
18 98 , 10 17 11 , 12
+ ×
+
× = 40351
3500 ≈ 11,53.
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4 La distribution des fréquences.
Exemple 1 : dans la classe de seconde 1, il y a 26 élèves nés en 1992.
Quelle est la fréquence correspondant à l'année de naissance 1992 ? F = 26
35 ≈ 0,7429.
Il y a 74,29 % des élèves de seconde 1 qui sont nés en 1992.
Exemple 2 : calculons la moyenne des salaires de tous les employés d'une entreprise sachant que 57 % des ouvriers gagnent 1100 euros net par mois et 37 % des agents de maîtrise gagnent 1900 euros net par mois et 6 % des cadres gagnent 2600 euros net par mois.
M = 57 % × 1100 + 37 % × 1900 + 6 % × 2600 = 627 + 703 + 156 = 1486.
La moyenne des salaires est égale à 1486 € par mois.
5 Médiane.
Exemple 1 : considérons les cinq nombres : 6 ; 3 ; 4 ; 13 et 11.
Rangeons ces nombre dans l'ordre croissant 3 < 4 < 6 < 11 < 13.
Il y a 5 nombres. Donc la médiane est égal au troisième nombre c'est à dire 6.
Exemple 2 considérons les six nombres 11 ; 13 ; 4 ; 3 ; 4 ; 15.
Rangeons ces nombre dans l'ordre croissant 3 < 4 < ≤ 4 < 11 < 13 < 15.
Il y a 6 nombres. Donc la médiane est égale à la demi somme des troisième et quatrième nombres.
Med = 15 2 = 7,5.
Exemple 3 Une machine fabrique des écrous.
On a noté, sur une fabrication de 350 écrous, les résultats relatifs à leur diamètre intérieur sur le tableau ci dessous.
Diamètre en mm 5,8 5,85 5,9 5,95 6 6,05 6,1 6,15
Nombre d'écrous 8 27 81 114 75 31 12 2
Effectif cumulé croissant 8 35 116 230 305 336 348 350
350
2 = 175. Donc la médiane est la demi somme des 175è et 176è valeurs.
Et il y a 116 écrous de diamètres inférieurs à 5,9 mm et 230 écrous de diamètres inférieurs à 5,95 mm.
La médiane est donc égale à 5,95 mm.
