5. Les filtres antirepliement

(1)

Les filtres antirepliement 5.

5.1 I

NTRODUCTION

Les filtres décrits dans ce chapitre sont utilisés comme filtres antirepliement dans les chaînes de conditionnement du signal. Seuls les filtres passe-bas et passe-bande présentent un intérêt. Les filtres passe-bande à large bande sont réalisés en cascadant un filtre passe-haut avec un filtre passe-bas. Fort de cet état de fait, les filtres passe-haut présentent donc aussi un intérêt et seront abordés.

En pratique il est courant de se référer aux filtres de Butterworth et de Bessel car les fonctions de transferts ont les mêmes coefficients que les polynômes du même nom.

Parmi les multiples circuits possibles, les topologies Sallen & Key et Multiple FeedBack (MFB) sont les plus répandues. Ces topologies sont constituées de cellules du 2^ème ordre.

Le choix de la topologie dépend des performances demandées. Les cellules MFB sont généralement préférées car elles ont une sensibilité plus faible aux variations des paramètres des composants et un meilleur comportement pour les fréquences élevées. Par contre les cellules de Sallen & Key utilisées avec un gain unité dans la bande passante ont une meilleure précision car le gain est indépendant de la valeur des composants.

Un filtre idéal est un filtre qui ne laisse passer que les composantes de fréquence du signal comprises dans la bande passante. Dans la réalité, il est nécessaire d’optimiser les performances du filtre en fonction des exigences de l’application.

Les trois paragraphes suivants donnent une brève description des trois types de filtres qu’il est possible de réaliser avec des cellules Sallen & Key, MFB, Akerberg Mossberg et BiQuad

5.1.1 Butterworth

Les filtres de Butterworth présentent un gain uniforme (constant) dans la bande passante. A la fréquence de coupure, l’atténuation est de 3dB. Au-delà de la fréquence de coupure l’atténuation est de 20 dB/décade/ordre. La réponse à un saut unité présente un dépassement et une oscillation modérés.

5.1.2 Bessel

Les filtres de Bessel présentent un déphasage linéaire avec la fréquence ce qui se traduit par un retard constant (constant group delay). La réponse indicielle est excellente. Par contre le gain décroit en fonction de la fréquence dans la bande passante et la transition (rolloff rate) entre la bande passante et la bande bloquée est relativement faible. A la fréquence de coupure, l’atténuation est de 3dB.

5.1.3 Chebyshev

Les filtres de Chebyshev présentent une ondulation du gain dans la bande passante et une bande de transition entre la bande passante et la bande bloquée plus élevée que pour les filtres de Butterworth et de Bessel. La fréquence de coupure est définie comme la fréquence à laquelle le gain de la réponse tombe en dessous de l’ondulation dans la bande passante. Pour un ordre de filtre

(2)

donné, plus l’ondulation du gain dans la bande passante est élevée, plus la bande de transition est étroite. La réponse indicielle des filtres de Chebyshev présente un dépassement et des oscillations importantes.

5.1.4 Aspects théoriques

Les filtres étudiés dans ce chapitre sont basés sur des cellules du 2^ème ordre passe-bas et passe- haut. Le point commun de leur fonction de transfert est le polynôme du 2^ème ordre du dénominateur.

0 1

) 2

(s s as a

P = + + _5.1

Il existe également une seconde forme présentant aussi un intérêt certain

(

1

)(

2

)

(s s p s p

P = − − _5.2

où p1 et p2 représente les zéros du polynôme P(s) ou les pôles de la fonction de transfert du filtre.

Tous les polynômes de Butterworth, Bessel et Chebyshev contiennent des zéros complexes conjugués, ce qui signifie que

) ( )

(

) ( )

(

2 1

p m j p p

ℑ

− ℜ

=

ℑ + ℜ

= 5.3

avec ℜ(p) : partie réelle et ℑm(p) partie imaginaire de p.

Certains auteurs donnent des tables contenant les pôles caractéristiques des filtres selon leur nature et d’autres donnent des tables de coefficients. Ces deux façons de décrire un polynôme sont parfaitement identiques.

En observant la forme canonique, on peut voir que pour s<<a0, le polynôme est dominé par a0, alors que lorsque s>>0, le polynôme est dominé par la variable indépendante s.

Afin de mettre en évidence l’effet de chaque terme, le polynôme peut être modifié en divisant chaque terme par a0 et en normalisant la variable indépendante par rapport à la pulsation propre ωC.

1 )

(

0 1 2

0

+

⎟ +

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

=⎛

C a C

s a a

s s

P ω ω ^5.4

Cette mise à l’échelle et normalisation du polynôme montre que l’intersection entre les asymptotes se situe à

a C

s= ₀ω _5.5

En régime harmonique, on a s=j2πf. En remplaçant a₀ par kFS, a₁ a₀ par 1Q et ωC par 2πfC

le polynôme caractéristique du dénominateur de la fonction de transfert des filtres du 2^ème ordre devient :

1 1 )

(

2

+

⎟⎟ +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

−⎛

=

C FS n C

FS k f

jf Q f

k s f

P 5.6

C’est sous cette forme que les fonctions de transfert seront exprimées tout au long de ce chapitre.

(3)

5.2 C

ARACTÉRISTIQUES DES FILTRES PASSE

-

^{BAS DU}

2

^ÈME^ORDRE

5.2.1 Caractéristiques des filtres passe-bas du 2^ème ordre

Les filtres passe-bas du 2^ème ordre sont définis par la fonction de transfert ci-dessous.

2 2 2

2

1 1 2

1 1

1 1 ) 1 (

s s K

s Q s

K s H

n n n

n n PB

ω ω

ξ ω

ω ⁺ ⁺

= +

+

= 5.7

En régime harmonique (s=jω), la pulsation de coupure ωC, généralement donnée à -3dB correspond à H_PB(ω_C) =1 2, soit

n n n

C Q Q ω

ω

2 2 2

2 1 4 1 1 2 1

2

1 ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ − +

⎟⎟+

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

= 5.8

En écrivant

2 2 2

2 1 4 1 1 2 1

2 1

1

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ − +

⎟⎟+

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

=

n n

C n FS

Q Q

k ω

ω

5.9

la relation 5.7 peut être mise sous une forme standard. Pour des raisons pratiques, la pulsation ω est remplacée par la fréquence f.

1 2

1 ) (

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

−⎛ +

=

C FS C

FS n PB

f k

f f

k f jQ f K

H

5.10

Il existe un lien entre les pôles de la fonction de transfert HPB(f) et les termes kFS et Qn. En effet on peut écrire

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

=

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

−⎛ +

=

2 1

2 2

2

) (

f p j f f p

j f

K k f

f f

f Q jk k

K f k

H

C C

FS

C C n FS FS

FS

PB 5.11

Les pôles p1 et p2 sont complexes conjugués

) ( ) (

) ( 2 )

( )

(

) ( )

(

2 2

2 1

2 1 2

1

p p

j p p

p j p p

m e

e m

e

m e

ℑ + ℜ

= ℜ

= +

⎭⎬

⎫ ℑ

− ℜ

=

ℑ + ℜ

= 5.12

Par conséquent, les liens entre les pôles, le facteur d’échelle de fréquence kFS et le facteur de qualité Qn prend la forme suivante :

(4)

) ( 2

) ( ) (

2 2

p p Q p

p p

k

e m e

n

m e

FS

ℜ

− ℑ +

= ℜ

ℑ + ℜ

=

5.13

Un filtre passe-bas du 2^ème ordre possède trois régions distinctes. A partir de la relation 5.10, on peut mettre en évidence ces trois régions.

− La bande passante f<<fC

K f f

H_PB( << _C)= _5.14

− La bande de transition f=fC

n C

PB f f jKQ

H ( ≅ )= _5.15

− La bande bloquée f>>fC

2

)

( ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

=

>>

f f K k f

f

H_PB _C ^FS ^C 5.16

En base fréquence, la fonction de transfert correspond à un gain constant. A fréquence élevée le gain est inversement proportionnel au carré de la fréquence. Le facteur d’échelle de fréquence kFS

permet de définir la pente de la transition entre bande passante et bande bloquée.

Dans la littérature, la forme standard des filtres du 2^ème ordre est donnée soit par leurs pôles complexes conjugués p1 et p2, soit par le facteur d’échelle de fréquence kFS et le facteur de qualité Qn.

5.2.2 Filtre Butterworth du 2^ème ordre

Ce filtre est caractérisé par les paramètres suivants.

2 1 1

=

n FS

Q k

5.17

Les pôles valent respectivement

2 1 2 1

2 1

j p

−

=

+

−

= 5.18

(5)

5.2.3 Filtre de Bessel 2^ème ordre

5773 . 0

2736 . 1

=

n FS

Q

k 5.19

6368 . 0 103 . 1

2 1

j p

+

−

=

+

−

= 5.20

5.2.4 Filtre Chebyshev 2^ème ordre avec une ondulation de 1dB Ce filtre est caractérisé par les paramètres suivants.

9565 . 0

0500 . 1

=

n FS

Q

k 5.21

7772 . 0 3224 . 0

2 1

j p

−

=

+

−

= 5.22

5.2.5 Comparaison entre les différents types de filtres passe-bas du 2^ème ordre

Les deux figures suivantes montrent les différentes réponses (amplitude et phase) des trois types de filtres passe-bas définis dans cette section.

10¹ 10² 10³ 10⁴

-40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5

Cellule du 2^ème ordre

f [Hz]

|HPB(f)| [dB]

Bessel Butterworth

Chebyshev

Figure 5-1 : Cellules passe-bas du 2^ème ordre : amplitude

(6)

10¹ 10² 10³ 10⁴ -180

-160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0

f [Hz]

PhasePB(f) [deg]

Bessel Butterworth

Chebyshev

Figure 5-2 : Cellules passe-bas du 2^ème ordre : phase

(7)

5.3 C

ELLULES DU

2

^ÈME ORDRE PASSE BAS 5.3.1 Généralités

Cette section donne diverses topologies de filtres analogiques passe-bas. On se limite ici aux cellules Sallen & Key, MFB, Akerberg Mossberg et Biquad

5.3.2 Cellule passe-bas de Sallen & Key

La Figure 5-3 illustre la topologie d’une cellule Sallen & Key de type passe-bas.

Vin

R1

VEE

C1

VCC

C2

R2

R4

R3

V0

Figure 5-3 : Cellule de Sallen & Key (passe-bas) La fonction de transfert de ce filtre est donnée ci-dessous

(

1 2 1 2

)

²

3 4 2 1 1 2 1 1

3 4 3

1 )

](

&

[

s C C R R R s

C R R C R C R

R R R s

HPBS K

⎟⎟ +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + −

+

= _5.23

Le lien entre les composants constituant cette cellule et les paramètres du filtre résulte d’une identification des relations 5.10 et 5.23.

(

K

)

C R C R C R

C C R Q R

C C R R f

k

R R K R

n C FS

− +

= +

=

= +

1 2

1

2 1 1 2 2 2

2 1 2 1

2 1 2 1 3

4 3

π ^5.24

Les relations ci-dessus montrent qu’une variation du gain provoque une variation du facteur de qualité Qn. De plus il y a un lien important entre le facteur de qualité Qn et la fréquence propre kFSfC. Cette topologie de filtre est donc assez difficile à régler.

(8)

5.3.3 Cellule Multiple feedback

La Figure 5-4 illustre la topologie d’une cellule MFB de type passe-bas.

Figure 5-4 : Cellule MFB (passe-bas) La fonction de transfert de ce filtre est donnée ci-dessous

(

2 3 1 2

)

²

1 1 3 2 1 2 1 3

1 2

1 )

](

[

s C C R R R s

C R C R

R C R

R R s

HPHMFB

⎟⎟ +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

+

−

= _5.25

(

K

)

C R C R C R

C C R Q R

C C R f R

k

R K R

n C FS

− +

= +

=

−

=

1 2

1

2 3 1 2 1 3

2 1 3 2

2 1 3 2 1 2

π ^5.26

Plus encore que pour la cellule de Sallen & Key, la cellule MBF présente une forte dépendance entre le gain K, le facteur de qualité Qn et la fréquence propre KFSfC. Par exemple la variation de la résistance R1 provoque une modification de ces trois termes. Il est donc difficile de dimensionner ce filtre selon des caractéristiques précises.

5.3.4 Cellule de Akerberg Mossberg

Cette cellule permet de choisir de manière simple le type de filtre (passe-bas ou passe-haut) ainsi que les grandeurs caractéristiques que sont le gain K, la pulsation propre ωn, le facteur de qualité Qn.

(9)

Vin

C1

V0

VEE

VCC

VEE

VCC

VEE

VCC

C2

R2

R5

R3

R4

R6

R1

Figure 5-5 : Cellule de Akerberg Mossberg (passe-bas) La fonction de transfert de ce filtre est donnée ci-dessous

2 2 1 3

5 4 2 6

3 1 5 4 2

1 5

1 )

](

[

s C R C

R R s R R R

C R R R

R R s

HPBAM

+ +

−

= _5.27

1 2 5 4 2

3 6

2 1 5 4 2

3 1

5

1 2

1

C C R R R R R Q

C C R R R f R

k

R K R

n C FS

=

−

=

π ^5.28

En posant R2=R3=R4=R5=R et C1=C2=C, on obtient des relations intéressantes

R Q R

f RC k

R K R

n C FS

6 1

1 2

1

=

−

=

π ^5.29

Une fois la pulsation propre ωn définie, c'est-à-dire R et C choisis, le gain K et le facteur de qualité Qn peuvent être déterminés de manière indépendante. Le coût de ce découplage des grandeurs caractéristiques est le nombre d’amplificateurs opérationnels.

(10)

5.3.5 Cellule BiQuad

La cellule BiQuad présente une topologie bien connue. Ce filtre se décline en passe-bas et passe- bande. Il est en générale utilisé comme filtre passe-bas s’il est nécessaire de disposer de sorties inversée et non inversée.

Figure 5-6 : Cellule BiQuad

Les fonctions de transfert de ce filtre pour la sortie V0(+) respectivement V0(-) sont donnée ci-dessous

2 2 1 6

5 2 1 6

4 2 5 2 1

3 1

2 2 1 6

5 2 1 6

4 2 5 2 1

6 5 3 1

1 ) (

] [

s C R C

R R s R R R

C R R R

R R s

H

s C R C

R R s R R R

C R R R

R R R R s

H

BQ BQ

PB PB

+ +

−

=

+ +

=

− +

5.30

Le lien entre les composants constituant cette cellule et les paramètres du filtre résulte d’une identification des relations 5.10 et 5.30. On admet toutefois que le dernier étage est un simple inverseur et que par conséquent R5=R6.

2 1 2 1 4

2 1 2 1 3

1

1 1 2

1

C C R R R Q

C C R f R

k R K R

n C FS

=

±

=

π ^5.31

(11)

En posant R2=R3=R, R5=R6 et C1=C2=C, on obtient des relations intéressantes

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

>

<

=

±

=

2 2

2 1

4 4

3

R R si Chebyshev

R R si Bessel

R R si h Butterwort R

Q R f RC k

R K R

n C

FS π

5.32

Les remarques sont identiques à celles de la cellule Akerberg Mossberg.

(12)

5.4 D

IMENSIONNEMENT PRATIQUE D

’

UN FILTRE PASSE

-

^{BAS DU}

2

^ÈME^ORDRE

5.4.1 Exemple pratique de dimensionnement d’un filtre passe-bas du 2^ème ordre

Pour simplifier les calculs, on admet que les gains des filtres valent l’unité. On a donc K=1 pour la cellule Sallen & Key et -1 pour la cellule MFB. Une méthode consiste à définir un rapport entre les résistances et les condensateurs.

5.4.1.1 Cellule de Sallen & Key :

nC C

C C

R R

mR R

=

2 1 2 1

5.33

A partir de ces relations, on peut déterminer les paramètres des filtres

1 2

1

= +

=

m Q nm

nm RC f

k

n C

FS π

5.34

Un calcul itératif permet de déterminer R et C de manière à ce que n et m donne des valeurs de composants compris dans les séries E12, E24 ou E96. Pour une fréquence de coupure de 1kHz, les valeurs calculées sont résumées dans le Tableau 5-1.

Type de filtre n m R1 R2 C1 C2

Butterworth 3.3 0.229 4.22kΩ 18.2kΩ 10nF 33nF

Bessel 1.5 0.42 7.15kΩ 14.3kΩ 10nF 15nF

Chebyshev 6.8 1.0 7.32kΩ 7.32kΩ 10nF 68nF

Tableau 5-1 : Valeurs des composants pour une cellule de Sallen & Key 5.4.1.2 Cellule MFB :

nC C

C C

mR R

R R R

=

2 1 3

2 1

5.35

Le calcul est conduit de manière identique au cas de la cellule Sallen & Key vu précédemment. Les valeurs calculées sont résumées dans le Tableau 5-2,

(13)

Type de filtre n m R1, R2 R3 C1 C2

Butterworth 4.7 0.222 15.4kΩ 3.48kΩ 10nF 47nF

Bessel 3.3 0.195 15.4kΩ 3.01kΩ 10nF 33nF

Chebyshev 15 10.268 9.53kΩ 2.55kΩ 10nF 15nF

Tableau 5-2 : Valeurs des composants pour une cellule de MFB

5.4.2 Comportement théorique et comportement réel

Dans ce paragraphe, le comportement des filtres passe-bas dimensionnés au paragraphe précédent est étudié afin de s’assurer que la caractéristique non-idéale des amplificateurs opérationnels ne modifie pas de manière significative la réponse harmonique du filtre.

5.4.2.1 Cellule de Sallen & Key

La cellule élémentaire du 2^ème ordre, dont les éléments ont été calculés au paragraphe précédent a été simulée à l’aide de PSpice. L’amplificateur opérationnel choisi est un OP200 d’Analog Devices.

Le schéma de simulation est le suivant.

0 C1 10n R1

4.22k

VDD

R2 18.2k

C2 33n

OP-200/AD 3

2

84

1 +

-

V+V-

OUT

VEE

Figure 5-7 : Schéma de simulation PSpice

Dans le but de vérifier la concordance entre la caractéristique théorique de la réponse harmonique de la cellule et celle donnée par une simulation prenant en compte le comportement fréquentiel du l’amplificateur opérationnel (les composants passifs étant considérés comme parfaits).

10² 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶ 10⁷

10^-4 10^-3 10^-2 10^-1 10⁰

Cellule de Sallen & Key

f [Hz]

|Hr(f)|, |Hi(f)| [1]

Fonction de transfert idéale : |H i(f)|

Fonction de transfert réelle : |H r(f)|

Figure 5-8 : Réponse harmonique réelle de la cellule de Sallen & Key

(14)

Le résultat obtenu est surprenant. La Figure 5-8 montre les réponses théoriques (amplificateur opérationnel idéal) et réel. On peut raisonnablement dire que le résultat est insuffisant.

A ce stade il est important de comprendre l’origine de cette modification de la réponse indicielle.

L’amplificateur opérationnel est, du point de vue fréquentielle, une source de tension commandée en tension dont le gain correspond à passe-bas du 2^ème ordre et dont l’impédance de sortie peut être considérée comme purement résistive en première approximation. L’amplificateur opérationnel peut donc être décrit selon la Figure 5-9.

Figure 5-9 : Caractéristiques de l’amplificateur opérationnel

Avec les valeurs suivantes pour un OP200 :

− amplification DC : A0 = 135dB

− 1^ère fréquence de coupure : FC1 = 100mHz

− 2^ème fréquence de transition : FC2 = 1MHz

− Impédance de sortie en boucle ouverte : Z0 = 120Ω

Un amplificateur opérationnelle peut être représentée par un passe-bas du 2^ème ordre avec deux pôles réels.

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

=

2 1

0

1 1

) (

C

C f

j f f

j f f A

A 5.36

Pour des fréquences élevées (supérieures à 100kHz dans le cas de l’exemple choisi), les condensateurs C1 et C2 peuvent être considérés comme des courts-circuits). Dans ce cas, il est possible, en tenant compte de la caractéristique réelle de l’amplificateur, de modifier le schéma électrique du filtre selon la Figure 5-10

V0

Z0

A(f)Vi

R1

R2

Vin Vi

Figure 5-10 : Cellule de Sallen & Key pour des fréquences élevées

(15)

Une modification du schéma de la Figure 5-10, permet de se rapporter à un montage inverseur (configuration parallèle – série).

Z0

-A(f)V0 2

1 2

inR R

V R

+ V0

2 1

R R

+

Finalement, la fonction de transfert du filtre H’(f) pour les fréquences élevées prend la forme décrite par la relation 5.37

) 1 (

1 )

( ) ) (

( '

0 1 2

1 0

f Z

R R

f R V

f f V

H

F

in = + +

= 5.37

avec Z0(f), impédance de sortie en boucle fermée, soit pour une topologie série – parallèle (amplificateur de tension en tension)

) ( 1 ) ( ) ( ) 1

( ⁰ ⁰

0 A f

Z f

A f f Z

Z _F

= +

β ^5.38

La fonction de transfert β(f) représente la contre réaction de tension en tension, qui dans le cas présent vaut 1.

Le schéma équivalent du filtre est celui d’un diviseur d’impédance

La Figure 5-13 montre la pertinence de l’analyse faite ci-dessus. En effet on voit que la fonction de transfert réelle Hr(f) se rapproche de la fonction de transfert pour les fréquences élevées H’(f) pour des fréquences supérieures à 100kHz.

Cet exemple montre qu’il est des situations où l’analyse d’un circuit, en faisant l’hypothèse que l’amplificateur opérationnel est parfait, ne donne pas des résultats satisfaisants. Dans le cas présent, on peut dire que non seulement le choix de l’amplificateur opérationnel est crucial mais qu’il est nécessaire de rajouter un filtre passe-bas du 1^erordre à la sortie d’une cellule de Sallen & Key pour garantir une atténuation suffisante du signal d’entrée pour des fréquences élevées.

(16)

10² 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶ 10⁷ 10^-4

10^-3 10^-2 10^-1 10⁰

Cellule de Sallen & Key

f [Hz]

|Hr(f)|. |Hi(f)| [1]

Fonction de transfert idéale : H_i(f) Fonction de transfert réelle : H_r(f)

Fonction de transfert pour les fréquences élevées : H'(f)

Figure 5-13 : Réponse harmonique réelle de la cellule de Sallen & Key

5.4.2.2 Cellule MBF

Une analyse similaire peut être réalisée pour une cellule MFB. Toutefois, sans le démontrer, on peut affirmer que ce type de cellule est nettement plus favorable aux fréquences élevées.

(17)

5.5 C

ELLULES DU

2

^ÈME ORDRE PASSE

-

BAS DIFFÉRENTIELLE 5.5.1 Cellule Multiple feedback différentielle

La Figure 5-14 illustre le cas d’un filtre réalisé à partir d’amplificateur différentielle Les composants sont fixés par groupe. On voit que la topologie est identique à la cellule MFB. La fonction de transfert liant la sortie différentielle à l’entrée différentielle est, par conséquent, identique à celle de la cellule MFB du paragraphe 5.3.3.

Figure 5-14 : Cellule MFB différentielle (passe-bas)

5.5.2 Cellule Akerberg Mossberg différentielle

La cellule de Akerberg Mossberg est une cellule du 2^ème ordre illustrée à la Figure 5-15.

Figure 5-15 : Cellule Akerberg Mossberg différentielle (passe-bas)

Comme pour le cas de la cellule MFB différentielle, la cellule Akerberg Mossberg différentielle se déduit de la cellule Akerberg Mossberg du paragraphe 5.3.4

(18)

5.5.3 Cellule BiQuad

La cellule BiQuad peut également être déclinée en montage différentielle.

VDD

VEE

V0CM

Vin(+) Vin(-)

VDD

V0(+)

VEE

V0(-) V0CM

R3

R4

R3

R2

R1

R1 R2

C1

C2

Figure 5-16 : Cellule BiQuad différentielle (passe-bas)

Comme pour les cellules MBF et de Akerberg Mossberg, la fonction de transfert de la cellule BiQuad différentielle est identique à celle définie au paragraphe 5.3.5

(19)

5.6 C

ARACTÉRISTIQUES DES FILTRES PASSE

-

^{HAUT DU}

2

^ÈME^ORDRE

5.6.1 Caractéristiques des filtres passe-haut du 2^ème ordre

Les filtres passe-haut du 2^ème ordre sont définis à partir des filtres passe-bas (voir équation 5.7) en remplaçant s²/ωn par ωn/s².

2 2 2 2

1 1 2

1 1

1 )

(

s s

s K

s Q s

s K

s H

n n

n

n n n

n PH

ω ω

ξω ω

ω ω

+ +

= +

+

= _5.39

En régime harmonique (s=jω), la pulsation de coupure ωC, généralement donnée à -3dB correspond à H_PH(ω_C) =1 2, soit

C FS C n

n

n Q Q ω k ω

ω 1 2 ¹

4 1 1 1 2

2

1 ²

2

2 ⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

+

⎟⎟+

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

= 5.40

La définition de kFS est choisie de manière identique à celle des filtres passe-bas du 2^ème ordre.

Dans ce cas la forme standard devient :

2 2

1 1 ) (

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

−⎛ +

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

=

FS C FS C n

FS C PH

k f

f k

f f jQ

k f

f K

f

H _5.41

Il existe un lien entre les pôles de la fonction de transfert HPH(f) et le les termes kFS et Qn. En effet on peut écrire

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

=

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

−⎛ +

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

=

2 1

2

2 2

2

1 1

) (

f p j f f p

j f

f f K

f f f

f k jQ k

f f K

f H

C C

C

C C FS n FS

C

PH 5.42

Les pôles p1 et p2 sont complexes conjugués

) ( ) (

) ( 2 )

( )

(

) ( )

(

2 2

2 1

2 1 2

1

p p

j p p

p j p p

m e

e m

e

m e

ℑ + ℜ

= ℜ

= +

⎭⎬

⎫ ℑ

− ℜ

=

ℑ + ℜ

= 5.43

Par conséquent, les liens entre les pôles et le facteur d’échelle de fréquence kFS et le facteur de qualité Qn prend la forme suivante :

(20)

) ( 2

) ( ) (

1

2 2

p p Q p

p p

k

e m e

n

m e

FS

ℜ

− ℑ +

= ℜ

ℑ +

= ℜ

5.44

Un filtre passe-haut du 2^ème ordre possède trois régions distinctes. A partir de la relation 5.42, on peut mettre en évidence ces trois régions.

La bande bloquée f<<fC

2

)

( ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

=

<<

C FS C

PH f

f K k f

f

H 5.45

La bande de transition f=fC

n C

PH f f jKQ

H ( ≅ )= _5.46

La bande passante f>>fC

K f

f

H_PH( >> _C)=− _5.47

5.6.2 Filtre Butterworth du 2^ème ordre

2 1 1

=

n FS

Q k

5.48

2 1 2 1

2 1

j p

−

=

+

−

= 5.49

5.6.3 Filtre de Bessel 2^ème ordre

5773 . 0

2736 . 1

=

n FS

Q

k 5.50

3926 . 0 6800 . 0

3926 . 0 6800 .

1 0

j p

−

=

+

−

= 5.51

(21)

5.6.4 Filtre Chebyshev 2^ème ordre avec une ondulation de 1dB Ce filtre est caractérisé par les paramètres suivants.

9565 . 0

0500 . 1

=

n FS

Q

k 5.52

8119 . 0 4978 . 0

2 1

j p

−

=

+

−

= 5.53

5.6.5 Comparaison entre type de filtre passe-haut du 2^ème ordre

Les deux figures suivantes montrent les différentes réponses (amplitude et phase) des trois types de filtres passe-haut définis dans cette section.

10² 10³ 10⁴

-40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5

f [Hz]

|HPH(f)| [dB]

Chebyshev

Butterworth

Bessel

Figure 5-17 : Cellules passe-haut du 2^ème ordre : amplitude

(22)

10¹ 10² 10³ 10⁴ 0

20 40 60 80 100 120 140 160 180

f [Hz]

PhasePH(f) [deg]

Bessel Butterworth

Chebyshev

Figure 5-18 : Cellules passe-haut du 2^ème ordre : phase

(23)

5.7 C

^{ELLULE DU}

2

^ÈME ORDRE PASSE HAUT 5.7.1 Généralités

Dans cette section, les filtres analogiques passe-haut sont traités. Comme pour les filtres passe-bas, on se limite aux cellules Sallen & Key, MFB, Akerberg Mossberg et Biquad

5.7.2 Cellule passe-haut de Sallen & Key

La Figure 5-3 illustre la topologie d’une cellule Sallen & Key de type passe-haut.

Vin

R1

VEE

VCC

R2

R4

R3

V0

C2

C1

Figure 5-19 : Cellule de Sallen & Key (passe-haut) La fonction de transfert de ce filtre est donnée ci-dessous

( )

(

1 2 1 2

)

²

3 4 2 1 1 2 2 2

2 2 1 2 1 3

4 3

1 )

](

&

[

s C C R R R s

C R R C R C R

s C C R R R

R R s

HPHS K

⎟⎟ +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + −

+

= _5.54

(

K

)

C R C R C R

C C R Q R

C C R f R

k

R R K R

n C FS

− +

= +

=

= +

1 2

1

2 1 1 2 1 1

2 1 2 1

2 1 2 1 3

4 3

π ^5.55

(24)

5.7.3 Cellule Multiple feedback

La Figure 5-4 illustre la topologie d’une cellule Sallen & Key de type passe-bas.

Figure 5-20 : Cellule MFB (passe-haut) La fonction de transfert de ce filtre est donnée ci-dessous

(

1 2 3

)

2 1 2 2 3 ²

2 3 2 2 1 2 1

) 1

](

[ C C C R s RRC C s

s C C R C R C s

HPHMFB + + + +

−

= ^5.56

(

2 3

)

1

3 2 2 1

3 2 2 1 2 1

) 1 ( 2

1

R C K C

C C R Q R

C C R f R

k C K C

n C FS

+

= −

=

−

=

π ^5.57

5.7.4 Cellule de Akerberg Mossberg

Cette cellule permet de choisir de manière simple le type de filtre (passe-bas ou passe-haut) ainsi que les grandeurs caractéristiques que sont le gain K, la pulsation propre ωn, le facteur de qualité Qn.

La fonction de transfert de ce filtre est donnée ci-dessous

2 3 2 5 4 2 1 6 3

5 4 2 1

2 3 2 5 4 2 1

2 3

1 )

](

[

R s R R R C C R s R

R R R C

R s R R R C C C

s C HPBAM

+ +

−

= _5.58

(25)

Vin

C1

V0

VEE

VCC

VEE

VCC

VEE

VCC

C2

R2

R5

R3

R4

R6

C3

Figure 5-21 : Cellule de Akerberg Mossberg (passe-haut)

1 2 5 4 2

3 6

2 1 5 4 2

3 2

3

1 2

1

C C R R R R R Q

C C R R R f R

k C K C

n C FS

=

−

=

π ^5.59

En posant R2=R3=R4=R5=R et C1=C2=C, on obtient des relations intéressantes

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

>

<

=

−

=

2 2

2 1

6 6

3

R R si Chebyshev

R R si Bessel

R R si h Butterwort R

Q R f RC k

C K C

n C

FS π

5.60

Une fois la pulsation propre ωn définie, c'est-à-dire R et C choisis, le gain K et le facteur de qualité Qn peuvent être déterminés de manière indépendante. Le coût de ce découplage des grandeurs caractéristiques est le nombre d’amplificateurs opérationnels.

5.7.5 Cellule Multiple feedback différentielle

La Figure 5-14 illustre le cas d’un filtre réalisé à partir d’amplificateur différentielle Les composants sont fixés par groupe. On voit que la topologie est identique à la cellule MFB. La fonction de transfert

(26)

liant la sortie différentielle à l’entrée différentielle est, par conséquent, identique à celle de la cellule MFB.

Figure 5-22 : Cellule MFB différentielle (passe-haut)

5.7.6 Cellule Akerberg Mossberg

La Cellule de Akerberg Mossberg est une cellule du 2^ème ordre illustrée à la Figure 5-23.

VDD

VEE

V0CM

Vin(-)

VDD

V0(+)

VEE

V0(-) V0CM

Vin(+)

C3

R3

C1

R2

R1

C2

C1 C3

R3

R2

R1

Figure 5-23 : Cellule Akerberg Mossberg (passe-haut)

(27)

5.8 F

ILTRES EN CASCADE 5.8.1 Introduction

La réalisation de filtres anti repliement (passe-bas) d’ordre supérieur à deux ou de filtres passe- bande ayant une grande largeur de bande sont réalisés par la mise en série (cascade) de cellule du 2^ème ordre de type passe.bas et passe-haut.

Figure 5-24 : Cascade de filtre

Pour un filtre du n^ème ordre où n est paire, le nombre de cellule est de n/2. Pour un ordre impair, un filtre du premier ordre (pôle réel) est placé en entrée. Afin d’éviter la saturation sur les amplificateurs opérationnels, il est judicieux de placer les cellules par ordre croissant des facteurs de qualité (le facteur de qualité le plus faible proche de l’entrée et le facteur de qualité le plus grand proche de la sortie).

5.8.2 Type de filtre et définition des caractéristiques de chaque étage

5.8.2.1 Description

Pour caractériser un filtre d’ordre quelconque, il suffit de donner les fréquences de coupure fC et le facteur de qualité Qn de chaque cellule. Le polynôme du dénominateur est ensuite identifié avec les polynômes de Butterworth, de Bessel ou de Chebyshev au moyen de tables contenant soit leurs zéros, soit leurs coefficients. Il ne reste ensuite plus qu’à effectuer un calcul itératif pour déterminer les valeurs des composants constituant chaque cellule.

En principe le type de filtre est choisi en fonction des besoins de l’application. Pour les filtres de Butterworth et de Bessel, la fréquence de coupure du filtre, quelque soit sont ordres est définie pour une atténuation du signal de 3dB par rapport à la bande passante. Pour les filtres de Chebyshev, c’est l’ondulation du gain dans la bande passante qui est utilisé.

Les tableaux ci-dessous donnent les valeurs du polynôme caractéristique sous une forme permettant de déterminer facilement soit les pôles soit les coefficients.

(28)

5.8.2.2 Filtre de Butterworth

1^ère étage 2^ème étage 3^ème étage 4^ème étage 5^ème étage Ordre

kFS Qn kFS Qn kFS Qn kFS Qn kFS Qn

2 1.000 0.7071

3 1.000 1.0000 1.000

4 1.000 0.5412 1.000 1.3065

5 1.000 0.6180 1.000 1.6181 1.000

6 1.000 0.5177 1.000 0.7071 1.000 1.9320

7 1.000 0.5549 1.000 0.8019 1.000 2.2472 1.000

8 1.000 0.5098 1.000 0.6013 1.000 0.8999 1.000 2.5628 9 1.000 0.5321 1.000 0.6527 1.000 1.0000 1.000 2.8802 1.000 10 1.000 0.5062 1.000 0.5612 1.000 0.7071 1.000 1.1013 1.000 3.1969

Tableau 5-3 : Butterworth

5.8.2.3 Filtre de Bessel

2 1.2736 05773

3 1.4524 0.6910 1.3270

4 1.4192 0.5219 1.5912 0.8055

5 1.5611 0.5635 1.7607 0.9165 1.5069

6 1.6060 0.5103 1.6913 0.6112 1.9071 1.0234

7 1.7174 0.5324 1.8235 0.6608 2.0507 1.1262 1.6853

8 1.7837 0.5060 2.1953 1.2258 1.9591 0.7109 1.8376 0.5596 9 1.8794 0.5197 1.9488 0.5894 2.0815 1.7606 2.3235 1.3220 1.8575

10 1.9490 0.5040 1.9870 0.5380 2.0680 0.6200 2.2110 0.8100 2.4850 1.4150 Tableau 5-4 : Bessel

5.8.2.4 Filtre de Chebyshev (1dB)

2 1.0500 0.9565

3 0.9971 2.0176 0.4942

4 0.5286 0.7845 0.9932 3.5600

5 0.6552 1.3988 0.9941 5.5538 0.2895

6 0.3532 0.7608 0.7468 2.1977 0.9953 8.0012

7 0.4800 1.2967 0.8084 3.1554 0.9963 10.901 0.2054

8 0.2651 0.7530 0.5838 1.9564 0.5538 2.7776 0.9971 14.2445 9 0.3812 1.1964 0.6623 2.7119 0.8805 5.5239 0.9976 18.0069 0.1593

10 0.2121 0.7495 0.4760 1.8639 0.7214 3.5609 0.9024 6.9419 0.9981 22.2779 Tableau 5-5 : Chebyshev 1dB