Exercice 1 : Modèles d’atmosphère
L’air de la troposphère (partie de l’atmosphère dans laquelle nous vivons) est considéré comme un gaz parfait de masse molaire M. On suppose le champ de pesanteur uniforme. Au niveau du sol (z = 0), la pression est P0 et la température T0.
a) On suppose que la température de l’atmosphère est uniforme. Etablir la loi de variation de la pression en fonction de l’altitude z. On introduira une hauteur caractéristique H du phénomène.
b) On suppose maintenant que la température de l’air décroit linéairement avec l’altitude z selon la loi (λ > 0) : T z( )T0z
-Montrer que la pression à l’altitude z est de la forme :
0
0 0
( ) 1
T H
P z P z
T
-Calculer, dans ce modèle, la pression au sommet de l’Everest (8850 m).
c) Pour z << H, montrer que les résultats obtenus à l’aide des deux modèles précédents conduisent à une même fonction affine P(z) donnant la pression en fonction de l’altitude.
Données : M = 29 g.mol-1 ; g=9,8 m.s-2 ; P0 = 1,0 bar ; T0 = 310 K ; λ = 5,0.10-3 K.m-1 Exercice 2 : Résultante des forces de pression sur un barrage plan
Un barrage est constitué d’une paroi verticale de largeur L. De l’eau, assimilée à un fluide incompressible de masse volumique ρ0 s’appuie sur une hauteur H sur une des faces du barrage. La pression atmosphérique P0 s’exerce sur l’autre face du barrage et sur la surface libre de l’eau. L’axe vertical (Oz) est descendant et le champ de pesanteur est uniforme. Exprimer la résultante des forces de pression qui s’exercent sur le barrage.
Exercice 3 : La partie émergée de l’iceberg
Considérons un iceberg de volume total V flottant sur l’eau. Soit Ve le volume de la partie émergée.
Déterminer le rapport Ve/V.
Données : - masse volumique de l’eau : ρ0 = 1.103 kg.m-3 - masse volumique de la glace : ρg = 0,9.103 kg.m-3 - masse volumique de l’air: ρa = 1 kg.m-3
Exercice 4 : Compression d’un volume d’eau
On fait subir à un volume d’eau liquide V1, de coefficient de compressibilité isotherme χT = 4,4.10-10 Pa-1 (supposé constant), une compression isotherme pour laquelle la pression varie de ΔP = P2-P1 = 1,0.102 bar.
a) En utilisant l’expression du coefficient de compressibilité isotherme, exprimer la relation générale entre le volume d’eau V, la pression P, ainsi que V1 et P1.
b) En déduire la variation relative de volume ΔV/V1 d’eau liquide. La calculer Exercice 5 : Transformations d’un gaz parfait
On fait passer une certaine quantité de gaz parfait d’un état d’équilibre A (PA, VA, TA) à un autre état d’équilibre B (PB = 3PA, VB, TB) par deux chemins distincts :
- α : isochore AC puis isobare CB - β : isotherme réversible AB
Déterminer TB et VB ainsi que les travaux et transferts thermiques reçus par le gaz au cours des transformations α et β. Commenter les résultats obtenus.
Exercice 6 : Enceinte verticale à deux compartiments
Un cylindre vertical, de section S = 1 cm², fermé aux deux bouts, est séparé en deux compartiments égaux étanches par un piston sans frottements, de forme cylindrique, et homogène (masse surfacique σ = 136 g.cm-2). Chaque compartiment, de hauteur h = 0,50 m, contient un gaz parfait à T0
= 273 K ; la pression dans le compartiment inférieur est P1 = 1,33 bar. L’intensité de la pesanteur est g = 9,8 m.s-2.
a) Déterminer la pression P2 dans le compartiment supérieur.
b) On chauffe l’ensemble du système à T = 373 K. Déterminer le déplacement x du piston.
c) A partir de la situation initiale, on retourne maintenant le cylindre de bas en haut, la température restant égale à T0. Déterminer le déplacement du piston.
Exercice 7 : Transformation monobare
Un récipient, muni d’un piston mobile de masse négligeable pouvant se déplacer sans frottement, contient un gaz parfait occupant initialement un volume V1 = 10,0 L à la température T1 = 373 K. Les parois du récipient ainsi que le piston sont calorifugés. La pression qui s’exerce sur ce piston vaut initialement P1 = 1,00.106 Pa. On donne R = 8,31 J.K-1.mol-1.
a) Calculer la quantité de matière n de gaz contenu dans le récipient.
b) La contrainte qui maintient le piston en équilibre est supprimée, de sorte que la pression que s’exerce sur lui tombe brutalement à la valeur P2 = 1,00.105 Pa correspondant à la pression atmosphérique du lieu. Le gaz évolue vers un nouvel état d’équilibre caractérisé par les valeurs respectives T2 et V2 de la température et du volume.
-Calculer T2 et V2 pour une capacité thermique à volume constant CV = 5nR/2.
-Calculer la variation d’entropie ΔS du gaz.
-Calculer l’entropie crée Sc au cours de la transformation. Quelle est la cause de l’irréversibilité ?
Exercice 8 : Contact thermique entre deux solides
Deux solides S1 et S2 de capacités thermiques respectives C1 et C2 et de températures initiales T01 et T02 sont mis en contact. Des parois rigides et athermanes isolent l’ensemble de l’extérieur.
a) Déterminer l’expression de la température finale Tf du système Σ constitué par la réunion des deux solides.
b) Pour simplifier, on suppose que C1 = C2 = C. Exprimer la variation d’entropie ΔSΣ du système global, ainsi que l’entropie crée Sc au cours de la transformation. Commenter.
Exercice 9 : Entropie de mélange de deux liquides :
On mélange, à pression constante, une masse m1 = 0,50 kg de pétrole (de chaleur massique c = 2,1 J.K−1.g−1), à la température θ1 = 77°C, avec une masse m2 = 2,0 kg de pétrole à la température θ2 = 17°C.
a) Déterminer littéralement, puis numériquement, la température d'équilibre T en fonction de m1, m2, T1 et T2.
b) Puis faire un bilan d'entropie pour le système que constituent les deux corps en fonction de m1, m2, T1 et T2, c et T. On fera aussi l'application numérique, pour : l'entropie échangée Sech ; la variation d'entropie ΔS ; l'entropie créée Screee.
Exercice 10 : Moteur de Stirling
Un moteur fonctionne entre une source chaude de température TC = 450 K et une source froide de température TF = 300 K. L’agent thermique, constitué de n moles de gaz parfait de coefficient ϒ = CP/CV = 1,40 décrit de manière quasi-statique le cycle suivant :
- AB : compression à la température TF de la source froide - CD : détente à la température TC de la source chaude - BC et DA : isochores respectivement à V1 e tV2.
On donne : R = 8,31 J.K-1.mol-1 et α = V2/V1 = 2,00 (taux de compression) a) Représenter le cycle de ce moteur dans le diagramme de Clapeyron.
b) Identifier les étapes non réversibles.
c) Calculer les différents transferts thermiques reçus par le gaz au cours du cycle.
d) Définir puis exprimer le rendement η du moteur. Le calculer.
e) Afin d’améliorer le rendement du moteur, on utilise un dispositif qui permet d’éviter les échanges thermiques avec l’extérieur en dehors des deux phases isothermes. Calculer le nouveau rendement η’ du moteur. Commentaires.
Exercice 11 : Moteur 4 temps
On considère un gaz parfait dans les conditions initiales P0, V0, T0.
- 1er temps : On effectue une compression adiabatique portant le volume de V0 à V1. - 2ème temps : Le volume étant toujours de V1, on fournit une quantité de chaleur Q1. - 3ème temps : On revient de façon adiabatique au volume initial V0.
- 4ème temps : On fournit une quantité de chaleur Q0 de façon à revenir à l’état initial.
a) Tracer le cycle dans le diagramme de Clapeyron.
b) Montrer que le rendement ρ n’est fonction que de V0/V1. Exercice 12 : Cycle moteur : rendement
On considère le cycle suivant :
En A, la pression est minimale égale à PA. On comprime de façon adiabatique réversible jusqu’au point B. On réalise ensuite une transformation isobare BC, puis une détente adiabatique réversible CD, puis une transformation isochore pour revenir en A.
On connait VA/VB, VC/VB, PA et TA.
Calculer le rendement r ainsi que PB, TB, PC, TC, TD et PD. Exercice 13 : Vaporisation sur une cuve à mercure
Un tube barométrique cylindrique vertical de section S = 1cm² plonge dans une cuve à mercure en contact avec l'atmosphère à la pression p0. L'ensemble est maintenu à la température T0 = 293 K. La longueur utile (c’est-à-dire émergée) du tube est l = 100 cm. La pression atmosphérique est H = 76 cm Hg.
a) On introduit 74 mg d’éther, de masse molaire M = 74 g.mol-1. La pression de vapeur saturante de l’éther à 20 °C est PS= 44 cm Hg. On pourra utiliser la masse volumique du mercure liquide (ρ = 13,6 kg.L-1) ou le volume molaire des gaz parfaits (Vm = 22,4 L.mol-1).
Déterminer l’état physique de l’éther.
Préciser la hauteur h0 de mercure dans le tube.
b) On incline le tube, la longueur utile restant l = 1 m. Déterminer l’angle entre l’horizontale et l’axe du tube pour lequel apparaît la première goutte de liquide.
Exercice 14 : Passage glace-eau
On prend un récipient isole thermiquement, sous une pression de 1 atmosphère, on y met m1 = 10 g de glace à T1 = -8°C et m2 = 100 g d’eau liquide à T2 = 15°C.
A 0°C et sous une atmosphère, la chaleur latente de fusion de l’eau vaut L = 340 J.g-1, la chaleur massique de l’eau liquide est cl = 4,2 J.g-1.K-1 et la chaleur massique de la glace est cs = 2,1 J.g-1.K-1. a) Calculer la température finale dans le récipient.
b) Calculer la variation d’entropie de la glace, de l’eau liquide et de l’ensemble Exercice 15 : Vaporisation réversible ou irréversible : bilan entropique
a) Une masse de 1 kg d’eau liquide est contenue dans un récipient fermé par un piston, à 100 °C sous 1 atm. Par déplacement infiniment lent du piston, l’ensemble étant dans un thermostat à 100 °C, on réalise la vaporisation totale de l’eau. A l’état final, le volume Vfest égal à 1,67 m3.
Données : - Chaleur latente massique de vaporisation Lv= 2,25.106J.kg-1; - 1 atm = 1,013.105Pa.
Calculer la chaleur fournie par le thermostat, le travail échangé, les variations d’énergie interne, d’enthalpie et d’entropie de l’eau.
b) On place directement 1 kg d’eau liquide, prise à 100 °C, dans un récipient thermostaté à 100 °C, initialement vide, et de volume Vf = 1,67 m3. L’eau s’y vaporise instantanément. Déterminer les mêmes grandeurs qu’au a) ainsi que la création d’entropie.
Exercice 16 : Détente de Joule-Kelvin du fréon dans une machine frigorifique
Dans une machine frigorifique, du fréon subit une détente de Joule-Kelvin de l’état A à l’état B. x désignant le titre en vapeur, on donne TA = 303K, PA = 7,5 bar, xA = 0 et TB = 263K, PB = 2,2 bar, l’enthalpie de vaporisation à T = 263K notée lv = 159 kJ.kg−1et la capacité thermique massique du fréon liquide c = 0,96 kJ.kg−1.K−1 supposée indépendante de la température. Calculer le titre massique en vapeur xB dans l’état final et la variation d’entropie massique du fluide ΔsAB.
Exercice 17 : Liquéfaction du dioxyde de carbone
Un cylindre à parois diathermanes contient du dioxyde de carbone CO2et est maintenu par un thermostat à la température Tµ = 0°C. Il est initialement sous une pression P0 = 1 bar et occupe alors un volume V0 = 100 L. On réduit réversiblement le volume du fluide au centième. Pour simplifier, on assimilera la vapeur de CO2 à un gaz parfait.
a) Représenter la transformation subie par le dioxyde de carbone dans le diagramme de Clapeyron.
b) À quelle pression s’attend-on à observer la condensation de la première goutte de liquide ? Comparer à la pression de vapeur saturante expérimentale Ps = 34,6 bar à µ = 0°C.
c) Quel est le titre en vapeur à la fin de l’expérience ?
d) Calculer la variation d’énergie interne ΔU, la variation d’enthalpie ΔH et la variation d’entropie.
e) Calculer le travail de compression ainsi que le transfert thermique reçu du thermostat.
Données: - Masse molaire M = 44 g.mol−1,
- Coordonnées du point C Pc = 74 105 Pa et Vmc = 0,095 10−3m3.mol−1 et Tc = 304 K, - Coordonnées du point triple Tt = 216 K et Pt = 5,1 105 Pa,
- Volume massique de la vapeur saturante à µ = 0°C vv = 0,010 m3.kg−1, - Masse volumique du liquide à saturation ρl = 912 kg.m−3,
- Chaleur latente de vaporisation à µ = 0°C lv = 232 kJ.kg−1.
Exercice 18 : Transformation isotherme
On fait subir a un kilogramme de gaz, contenu dans un cylindre muni d’un piston, une transformation isotherme réversible qui le fait passer de l’état P1 = 0,68 atm, T1 = 422 K à l’état P2 = 4,56 atm.
Préciser les échanges d’énergie nécessaires à la réalisation de cette transformation : Δu, Δh, w, q, Δs.
Les tables donnent :
P1 = 0,68 atm, T1 = 422 K P2 = 4,56 atm, T2 = 422 K
h (en kJ.kg-1) 2777 2743
s (en kJ.kg-1.K-1) 7,785 6,846
v (en m3.kg-1) 2,809 0,4035
Avec : h : enthalpie massique, s : entropie massique, v : volume massique, 1 atm = 1,013 105 Pa.
Exercice 19 : Machine frigorifique.
Une machine frigorifique à absorption est basée sur la variation avec la température de la solubilité des gaz dans les liquides et fonctionne avec trois sources de chaleur : on vaporise une solution d’ammoniac dans un générateur à la température T3 ; après avoir été liquéfié, l’ammoniac est envoyé dans l’évaporateur à la température T1 où il se vaporise en enlevant de la chaleur à la source froide ; les vapeurs vont ensuite se dissoudre dans l’eau au niveau d’un absorbeur à T2 en restituant de la chaleur au milieu extérieur. On a T1 < T2 < T3.
Exprimer le coefficient d’efficacité en fonction de T1, T2 et T3. A.N. : T1 = 265 K, T2 = 293 K, T3 = 373 K.
Exercice 20 : Centrale 2011
On considère une masse m de vapeur d’eau (assimilable à un gaz parfait de masse molaire M = 18 g.mol-1) à la température T1 et à la pression P1. On lui fait subir une compression isotherme réversible qu’on arrête dès que toute l’eau est liquide.
a) Calculer la chaleur et le travail échangés entre l’eau et le milieu extérieur.
b) Calculer les variations d’énergie, d’enthalpie, d’entropie de l’eau durant cette transformation.
Faire les applications numériques pour m = 4 kg, T1 = 470 K et P1 = 1 atm.
On donne, à la température T1 = 470 K :
- Pression de vapeur saturante pv = 14,6 atm
- Enthalpie massique de vaporisation lv = 1,95 × 106 J.kg−1 - Volume massique de l’eau liquide ul = 1,16 × 10−3 m3.kg−1 - Constante des gaz parfaits R = 8,32 J.K-1.mol−1
- 1 atm = 1,013 × 105 Pa
Exercice 21 : Turbomachine avec changement d’état
On considère une installation comportant une chaudière C, une turbine T, un condenseur C’, et une pompe A.
Le fluide utilisé est l’eau, il décrit les cycles suivants :
- La pompe alimentaire amène le fluide saturant, pris à la sortie du condenseur (état F), jusqu’à la pression P1 de la chaudière. Cette opération est pratiquement adiabatique et on peut considérer qu’à la sortie de la pompe le fluide est liquide (état G) pratiquement à la température T2
du condenseur.
- L’eau est alors injectée dans la chaudière où elle se vaporise de façon isobare (P1). A la sortie de la chaudière, la vapeur est saturante sèche à T1 (état D).
- Elle subit ensuite une détente adiabatique et réversible dans une turbine T (partie active du cycle). A la sortie de la turbine, le fluide est à la température T2 et à la pression P2 du condenseur (point E), où il achève de se liquéfier de façon isobare (point F).
Données :
- T1 = 523 K - T2 = 293 K
- Enthalpie de vaporisation à 523 K : l1 = 1714 kJ.kg-1 - Pression de vapeur saturante à 523 K : P1 = 39,7.105 Pa - Pression de vapeur saturante à 293 K : P2 = 2300 Pa
- Enthalpie massique du liquide saturant à 293 K : hl = 84 kJ.kg-1
- Enthalpie massique de la vapeur saturante sèche à 293 K : hv = 2538 kj.kg-1 - Chaleur massique du liquide : cliq = 4180 J.kg-1.K-1
- Volume massique du liquide : vliq = 10-3 m3.kg-1
a) Quelle est l’enthalpie massique de vaporisation du fluide à 293 K ? b) Déterminer le titre en vapeur du fluide à la sortie de la turbine.
c) Déterminer l’enthalpie massique au point E.
d) Au point D, l’enthalpie massique vaut 2800 kJ.kg-1, quelle est le travail massique fourni par la turbine à l’alternateur ?
e) Justifier que le travail massique mis en jeu dans la pompe est négligeable devant celui fourni par la turbine.
f) Déterminer le rendement de l’installation et le comparer à celui du cycle réversible fonctionnant entre les mêmes températures extrêmes. D’où provient cet écart ?
g) Quel débit massique de fluide est nécessaire pour obtenir une puissance convertie par l’alternateur de 100kW ?
