Fonctions circulaires. Développemens, en séries, des sinus et cosinus suivant l'arc, et de l'arc suivant sa tangente

(1)

G ^ERGONNE

Fonctions circulaires. Développemens, en séries, des sinus et cosinus suivant l’arc, et de l’arc suivant sa tangente

Annales de Mathématiques pures et appliquées, tome 3 (1812-1813), p. 344-346

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(2)

344

SINUS

^ET^COSINUS

seront

l’objet

du mémoire

suivant,

^et_que^nous

espérons

d’en donner

une solution satisfaisante ^et

complète.

FONCTIONS CIRCULAIRES.

Développemens ,

^en

^{séries ,} ^{des sinus}

^et

^cosinus ^suivant l’arc,

^et

^de ^l’arc ^suivant

^sa

langente ;

Par M. G E R G O N N E.

J.

LE

^sinus ^d’un^arc^variant^de

_signe

^avec^cetarc ,

sans varier

de

grandeur absolue;

ônêstâutorisé^àsupposer

et

conséquemment

Si l’on substitue ces valeurs dans

l’équation

les deux membres de

l’équation

résultante seront divisibles

par(x-y),

et, ^en^exécutantla

division,

^il ^viendra

SI,

^dans^cette^dernière

équation,

^onfait y=x, elle ^seréduira à

on aura donc aussi

substituant les valeurs de Cos.x ^et

Cosy ,

^donnéespar ^ces ^deux

équations,

^ainsique celle de

Sin.I 2(x-y),

donnée par

l’équation (3),

dans l’éauation

les deux

membres

de

l’équation

^résumante^seront

divisibles par(x-y),

et, ^enexécutant la

division y

^il

^viendra

(3)

EN SÉRIES: 345

Si ,

^dans^cette^dernière

équation,

^on^faity=x, elle

deviendra

mais

l’équation (i)

^donne

en aura donc

et par

conséquent

donc

enfin

(i

^et

4)

Il est d’ailleurs facile de prouver que ^la^constanteA doit être

égale

à l’unité.

(*)

II. La

tangente

^d’un^arcvariant aussi de

signe

^avec^cet^arc,^sans

varier de

grandeur ^{absolue ;}

^on^estautorisé à supposer -

on aura donc aussi

Si l’on égale

^la

^valeur

de x-y donnée

par

^les

équations (6

^et

y)

a celle que ^donne

l’équation ^(8),

^en^mettant^en^évidence^le^facteur

Tang.x2013Tang.y, qui ^affecte

^{l’un des}

^membres

^de

l’équation

^résul-

tante il

viendra

mais ^on^a

0 Voyez

^la^Théorie

des fonctions analitiques.

(4)

346 ^LETTRE

substituant

donc,

^et

supprimant

le facteur commun

Tang.(x-y),

on aura

posant alors , ^cette

équation

^deviendra

simplement

ou , ^en

développant ,

donc

d’où

donc enfin

(6)

on

parviendra

d’ailleurs facilement à s’assurer que la ^constanteA doit être

égale

à l’unité.

GÉOMÉTRIE.

Recherche ^{de la} ^distance

^entre

^les

^centres

^des cercles inscrit

^et

circonscrit

à un

même triangle;

Par M. GARNIER , docteur ès sciences, ^ancien professeur

a l’école polytechnique.

AU RÉDACTEUR DES

ANNALES, MONSIEUR ,

LA

^lecture^de^vos^Annales^melaisse le

regret

de n’avoir _pas

connu

plutôt

^cetintéressant

recueil ;

il m’aurait

servi

^àaméliorer

Fonctions circulaires. Développemens, en séries, des sinus et cosinus suivant l'arc, et de l'arc suivant sa tangente

G ERGONNE

Fonctions circulaires. Développemens, en séries, des sinus et cosinus suivant l’arc, et de l’arc suivant sa tangente

Annales de Mathématiques pures et appliquées, tome 3 (1812-1813), p. 344-346

SINUS

l’objet

suivant,

espérons

complète.

FONCTIONS CIRCULAIRES.

Développemens ,

séries , des sinus

cosinus suivant l’arc,

de l’arc suivant

langente ;

Par M. G E R G O N N E.

LE

signe

sans varier

grandeur absolue;

conséquemment

l’équation

l’équation

par(x-y),

division,

SI,

équation,

Cosy ,

équations,

Sin.I 2(x-y),

l’équation (3),

membres

l’équation

divisibles par(x-y),

division y

viendra

EN SÉRIES: 345

Si ,

équation,

deviendra

l’équation (i)

conséquent

donc

(i

4)

égale

(*)

tangente

signe

grandeur absolue ;

Si l’on égale

valeur

par

équations (6

y)

l’équation (8),

Tang.x2013Tang.y, qui affecte

membres

l’équation

viendra

0 Voyez

des fonctions analitiques.

346 LETTRE

donc,

supprimant

Tang.(x-y),

équation

simplement

développant ,

(6)

parviendra

égale

GÉOMÉTRIE.

Recherche de la distance

les

des cercles inscrit

circonscrit

même triangle;

Par M. GARNIER , docteur ès sciences, ancien professeur

a l’école polytechnique.

G ^ERGONNE

^{séries ,} ^{des sinus}

^cosinus ^suivant l’arc,

^de ^l’arc ^suivant

_signe

^viendra

grandeur ^{absolue ;}

^valeur

l’équation ^(8),

Tang.x2013Tang.y, qui ^affecte

^membres

346 ^LETTRE

Recherche ^{de la} ^distance

^les

^des cercles inscrit

Par M. GARNIER , docteur ès sciences, ^ancien professeur