ENFA - Bulletin du GRES n°4 – décembre 1996 page 4
A PROPOS DU TEST F
Deuxième partie
Dans le bulletin N°3 nous avons présenté la problématique du test F, test d'égalité des variances respectives σ12 et σ22 de deux populations P1 et P2 supposées distribuées normalement.
Rappelons les hypothèses de ce test :
H0 : "σ12 = σ22" et H1 : "σ12 ≠ σ22"
Ces hypothèses sont respectivement équivalentes aux hypothèses suivantes : H'0 : "σ
σ
1 2
2
2 =1" et H'1 : σ σ
1 2
2
2 ≠1"
La formulation de l’hypothèse alternative implique que ce test est un test bilatéral.
La règle de décision, présentée dans la première des remarques complémentaires, s'énonce ainsi : si Fobs ≥F
− 1 2
α alors on rejette l'hypothèse H0 au risque α. Il convient ici d'être très attentif car cet énoncé peut faire penser à une situation unilatérale alors qu'il n'en est rien.
Quelques rappels ...
1. Situation expérimentale :
On prélève respectivement des deux populations P1 et P2 deux échantillons aléatoires simples et indépendants (EASI) de tailles respectives n1 et n2.
Soit s12 et s22 les variances respectives de ces deux échantillons.
L'hypothèse H0 traduit le fait que les différences observées sur les échantillons prélevés sont explicables uniquement par les fluctuations d'échantillonnage.
2. Variables aléatoires d'échantillonnage :
Notons S12 (respectivement S22) la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire simple de taille n1 (respectivement n2), issu de la population P1 (respectivement P2), associe sa variance s12 (respectivement s22).
( ) ( )
n S X i X et n S X X
i i n
i i
i n 1 1
2
1 1
1
2
2 2 2
2 2
1
1 2 2
= − = −
=
=
=
∑ ∑
=D'après le théorème de Fisher1, la variable aléatoire n S1 12 (respectivement n S2 22) est distribuée selon un σ χ12 2 à n1-1 (respectivement σ χ22 2 à n2-1) degrés de liberté.
En conséquence, la variable aléatoire F
n S n
n S n
= −
−
1 1 2
1 1
2
2 2 2
2 2
2
1 1
( )
( )
σ σ
est distribuée selon la loi de Fisher-
Snédecor à n1-1 et n2-1 degrés de liberté.
3. Statistique du test (ou variable de décision) :
Sous l'hypothèse H0 : "σ12 = σ22", la variable aléatoire F
n
n S
n
n S
= −
−
1 1
1 2
2 2
2 2
1 1
, encore notée
S S
1 2
2
2 , est donc distribuée selon la loi de Fisher-Snédecor à
ν1 = n1-1 et ν2 = n2-1 degrés de liberté.
Le rapport S S
1 2
2
2 peut être interprété comme le rapport des deux estimateurs sans biais des variances respectives σ12 et σ22 des deux populations P1 et P2.
On dit que "F suit la loi F(ν1 ; ν2) ".
4. Choix et représentation graphique du risque de première espèce :
Pour un risque de première espèce α donné, on définit (voir figure ci-dessous) les deux nombres notés respectivement F et F
ν ν α ν ν α
1; 2 2; 1; 2 1;− 2 par les relations suivantes :
prob F( F ) et prob F( F )
; ; ; ;
≤ = ≥ =
−
ν ν α α ν ν α α
1 2 2 2 1 2 1 2 2
ENFA - Bulletin du GRES n°4 – décembre 1996 page 6 F Densité de probabilité d’une loi de Fisher-Snédecor
On dit que les intervalles [ ; ] [ ; [
; ; ; ;
0
1 2 2 1 2 1 2
F et F
ν ν α ν ν −α + ∞ sont symétriques en probabilité. Ils correspondent au rejet de l'hypothèse H0 au risque α.
Il résulte de la définition des deux nombres F et F
ν ν α ν ν α
1; 2 2; 1; 2 1; − 2 que
prob F( F F )
; ; ; ;
ν ν α ν ν α α
1 2 2 1 2 1 2
< < = −1
− .
] ; [
; ; ; ;
F F
ν ν α ν ν α
1 2 2 1 2 1− 2 est l’intervalle d’acceptation de l'hypothèse H0. Lorsque α < 0,2 alors F F
ν ν α ν ν α
1 2 2 1 2 1 2
1
; ; < < ; ;
−
Fν ν α
1; 2 2; F
ν ν α 1; 2 1; − 2
α/2 α/2
5. Règle de décision :
On calcule, à partir des deux échantillons indépendants prélevés, le rapport
F
n
n s
n
n s
obs = −
−
1 1
1 2
2 2
2 2
1 1
.
On définit alors la règle de décision suivante : Si Fobs ≤F ou Fobs ≥ F
−
ν ν α ν ν α
1; 2 2; 1; 2 1; 2
alors on rejette l'hypothèse H0 au risque α, sinon on accepte l'hypothèse H0.
Or "F suit la loi F(ν1 ; ν2)" est équivalent à "1
F suit la loi F(ν2 ; ν1)"
En particulier, prob F F et prob
F F
( ) ( )
; ; ; ;
≤ = ≥ =
−
ν ν α α ν ν α α
1 2 2 2 2 1 1 2
1
2 Or, F≤F
ν ν α 1; 2 2;
est équivalent à 1 1
1 2 2
F≥ F
ν ν α
; ;
Donc, 1
1 2 2
2 1 1 2
F F
ν ν α ν ν α
; ;
; ;
= −
Par suite, F≤F
ν ν α 1; 2 2;
est équivalent à 1
2 1 1 2
F ≥F
− ν ν α
; ;
La règle de décision s'énonce alors :
Si F F ou
F F
obs
obs
≥ ≥
− −
ν ν α ν ν α
1 2 1 2 2 1 1 2
1
; ; ; ;
alors on rejette l'hypothèse H0 au risque α, sinon on accepte l'hypothèse H0.
Pour α < 0,2 les deux nombres F et F
ν ν α ν ν α
1; 2 1; − 2 2; 1 1;− 2 sont supérieurs à 1.
Il en résulte qu’il suffit de calculer le quotient Fobs en prenant pour numérateur la plus grande des deux quantités n
n s et n
n s
1 1
1
2 2
2
2 2
1 1
− − , encore notées respectivement s12 et s22, et l'autre au dénominateur.
Dès lors, Fobs ≥ 1 et, pour α < 0,2, la règle de décision s'énonce :
ENFA - Bulletin du GRES n°4 – décembre 1996 page 8 Si Fobs ≥F
− 1 2
α alors on rejette l'hypothèse H0 au risque α, sinon on accepte l'hypothèse H0.
L'énoncé de cette règle de décision peut laisser penser que l'on a affaire à un test unilatéral alors qu'il s'agit ici d'un test bilatéral.
Par ailleurs, il faut être très attentif et ne pas retenir F1−α pour valeur critique associée au risque α.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Exercice 1
On considère une variable aléatoire F dont la loi de probabilité est la loi de Fisher-Snédecor F(10 ; 8).
1°) Déterminer un intervalle ]a ; b[ tel que la probabilité prob(a < F < b) = 0,95 et tel que les intervalles [0 ; a] et [b ; +∞[ soient symétriques en probabilité.
2°) Répondre à la même question pour la variable aléatoire 1 F.
Eléments de correction :
1°) On a prob F( F F )
; ; ; ;
ν ν α ν ν α α
1 2 1 2
2 1
2
< < = −1
− avec α = 0,05 Donc, prob F( 10;8; ,0 025 < <F F10;8; ,0 975) = 0 95, On obtient
F
F F
10 0 975
10 0 025
8 10 0 975
4 30 1
;8; ,
;8; ,
; ; ,
= ,
=
⎧
⎨⎪
⎩⎪ soit
F F
10 0 975
10 0 025
4 30 1 3 85
;8; ,
;8; ,
, ,
=
=
⎧
⎨⎪
⎩⎪
Or, 1
3 85 0 26
, ≈ , . Par suite, prob(0,26 < F < 4,30) = 0,95 L'intervalle ]a ; b[ cherché est donc ]0,26 ; 4,30[.
2°) On a prob F
F F
( )
; ; ; ;
ν ν α ν ν α α
2 1 2 1
2 1
2
1 1
< < = −
− avec α = 0,05
Donc, prob F
F F
( 8 10 0 025; ; , 1 8 10 0 975; ; , ) ,
< < = 0 95
on obtient
F
F F
8 10 0 975
8 10 0 025
10 0 975
3 85 1
; ; ,
; ; ,
;8; ,
, )
=
=
⎧
⎨⎪
⎩⎪ soit
F F
8 10 0 975
8 10 0 025
3 85 1 4 30
; ; ,
; ; ,
, ) ,
=
=
⎧
⎨⎪
⎩⎪
Or, 1
4 30 0 23
, ≈ , . Par suite, prob
( ,0 23 F1 , ) , 3 85 0 95
< < = . L'intervalle ]a ; b[ cherché est donc ]0,23 ; 3,85[.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Exercice 2
On considère deux populations P1 et P2, distribuées normalement, de variances respectives σ12 et σ22.
On prélève un échantillon E1 de taille 16 de la population P1 et un échantillon E2 de taille 21 de la population P2, les deux échantillons sont considérés comme étant des échantillons aléatoires simples et indépendants (EASI).
Leurs variances respectives sont :
pour l'échantillon E1 : s12 =3861 et pour l'échantillon E2 : s22 =1705.
Peut-on considérer au risque 0,05 que les variances des deux populations sont différentes ou non ?
Eléments de correction :
* Hypothèses du test :
H0 : "σ12 = σ22" et H1 : "σ12 ≠ σ22" (test bilatéral)
* Statistique du test (variable de décision) :
, ,
s n
n s et s n
n s
1
2 1
1 1
2
2
2 2
2
2 2
1 4118 4
1 1790 25
= − = =
− =
s12 > s22, donc la variable de décision est F S
= S 1
2
2
2 . Elle est distribuée selon la loi de Fisher-Snédecor à 15 et 20 degrés de liberté.
* Choix du risque de première espèce : α = 0,05 (précisé dans l'énoncé).
* Détermination de la valeur critique :
F F
15 20 1 2
15 20 0 975 2 57
; ; ; ; , ,
−α = =
* Règle de décision :
Si Fobs ≥ 2,57 alors on rejette l'hypothèse H0 au risque 0,05 sinon on accepte l'hypothèse H0.
ENFA - Bulletin du GRES n°4 – décembre 1996 page 10
* Calcul de la valeur Fobs :
F
n
n s
n
n s
obs = −
−
1 1
1 2
2 2
2 2
1 1
c'est-à-dire Fobs = 4118 4 1790 25
,
, soit environ 2,30
* Décision :
Fobs < 2,57 donc on accepte l'hypothèse H0.
Remarque : une erreur consisterait à retenir pour valeur critique F F
15 20 1; ; − = 15 20 0 95; ; ,
α , soit
F15 20 1 2 20
; ; ,
−α = , et à conclure dans ce cas au rejet de l'hypothèse H0 au risque 0,05.
* Conclusion :
Au vu des observations effectuées et compte tenu du risque choisi, on ne peut pas affirmer que les variances des deux populations sont différentes.
