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sujet B Décembre 2017
Correction détaillée du DS commun
Exercice 1 :9 points Partie A
1) /0,75 On complète la dernière ligne en cumulant les effectifs des nombres de paniers, on arrivera à la fin de la ligne à l’effectif total qui est 74.
nombre de paniers 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
nombre de matchs 5 14 7 5 6 10 7 2 0 10 5 1 2
effectifs cumulés croissants 5 19 26 31 37 47 54 56 56 66 71 72 74
2) a) /0,75 Dans la ligne nombre de paniers, il y a 6 cases avec au moins 10 paniers. Nous devons donc faire la somme de 6 termes obtenus dans les cases correspondantes de la ligne nombre de matchs, ce qui donne2 + 0 + 10 + 5 + 1 + 2 = 20matchs avec au moins 10 paniers.
Il y a 74 matchs au total. On a20/74 = 0,2702...soit un pourcentage d’environ27,0%(arrondi à0,1%) de matchs avec au moins 10 paniers.
b)/0,75L’effectif cumulés croissant correspond à 6 matchs donne le nombre de matchs où Eric a mis moins de 6 paniers, ce qui fait 31 matchs.
On a31/74 = 0,4189...soit environ41,9%(arrondi à0,1%) de matchs avec moins de 6 paniers.
3) a)/1On doit compter 5 fois le cas de 3 panier en un match, plus 14 fois le cas de 4 panier en un match, plus 7 fois le cas de 5 paniers en un match et ainsi de suite. En faisant cette somme et en divisant par le total de matchs qui est 74, on obtient un nombre moyen de paniers par match de 5×3 + 14×4 + 7×5 + 5×6 + 6×7 + 10×8 + 7×9 + 2×10 + 0×11 + 10×12 + 5×13 + 1×14 + 2×15
74
ce qui fait570/74 = 7,702...et qui s’arrondit au dixième à7,7.
b)/1Imaginons les 74 valeurs des nombres de points rangées dans l’ordre croissant. Nous devons trouvons un nombre qui aura 37 de ces valeurs inférieures à lui et 37 valeurs supérieures à lui. On prend donc un nombre entre la 37-ème valeur et la 38-ème valeur.
Dans le tableau qui est déjà rangés dans l’ordre, la ligne des effectifs cumulés indique que le 37-ème de ces matchs correspond à 7 paniers et le 38-ième à 8 paniers. Donc la médiane est entre 7 et 8, on prend 7,5.
1
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sujet B Décembre 2017
c)/1,5L’effectif total est de 74, le rang dupremierquartile est donné par le plus petit entier n> 1
4 ×74 = 18,5c’est-à-dire 19. Par la ligne des effectifs cumulés, le 19-ième matchs correspond à 4 paniers, le premier quartile est donc 4.
De même, le rang dutroisième quartile est donné par le plus petit entier n> 3
4 ×74 = 55,5 c’est-à-dire 56. Par la ligne des effectifs cumulés le 56-ième matchs correspond à 10 paniers, le troisième quartile est donc 10.
Partie B
1)/1,25On complète en trouvant le centre de chaque intervalle et pour les fréquences, on divise les effectifs par l’effectif total qui est de 74.
nombre de paniers [3; 6[ [6; 9[ [9; 12[ [12; 15[
centre de classe 4,5 7,5 10,5 13,5
nombres de matchs 25 25 10 14
fréquence (à0,01près) 0,34 0,34 0,14 0,19
2)/1En prenant les centres de classe, on considère qu’il y a eu 25 matchs avec4,5paniers plus 25 matchs avec7,5 paniers et ainsi de suite. Pour la moyenne, on divise la somme des ces valeurs par l’effectif total qui est 74, on obtient :
25×4,5 + 25×7,5 + 10×10,5 + 14×13,5 74
ce qui fait8,027...qui s’arrondit au dixième à8,0.
Partie C /1
Eric Florian
moyenne 7,7 8,0
médiane 7,5 7,5
1-er quartile 4 4,5
3-ième quartile 10 10,5
étendue 12 11
Florian met plus de but en moyenne qu’Eric, ce qui fait qu’il est un meilleur joueur. Et Florian a une étendue de nombre de paniers inférieure à Eric, ce qui traduit plus de la régularité dans son jeu.
2
Exercice•2•(•6•points)•
1) L'ensemble de définition de la fonction ! est ["3; 5]. 0,5 (-0,25 si pb de crochets)
2) !("2) = 1,5. 0,5+0,5(graph)
3) # = {"3; "0,55; 0,4; 5}. Le -3 et le 5 doivent être justes, on accepte les erreurs pour les autres (pas plus de 0,1) 1+0,5(graph)
4) # = ["3; 0,6] $ [4; 5] (on accepte entre 0,55 et 0,7) 0,5(bornes)+0,5(crochets)+0,5(graph)
5) Dresser le tableau de variations complet de la fonction ! sur son ensemble de définition.
(-0,25 par valeur fausse)
Exercice 3 ( 8 points)
ABCD est un rectangle tel que AB = 6 cm et BC = 10 cm (voir figure). M est un point du segment [AB]. AMOQ est un carré.
On pose = AM = AQ (en cm). On note ! la fonction qui, à , associe l'aire correspondante (en cm²) du domaine coloré (c'est à dire le carré AMOQ et le rectangle ONCP).
1) Lorsque = 2 :
"#$%& = 2 × 2 = 4 et "%'() = 4 × 8 = 32 0,5 + 0, 5
!*2+ = 4 , 32 = 36 0,5
2) appartient-à-l’intervalle-[0; 6]. On accepte aussi ]0; 6[ 1
3) a) ./ = 10 5 et /7 = 6 5 0,5+0,5
b) "#$%& = × = 90,5 et "%'() = *10 5 + × *6 5 +0,5= 60 5 10 5 6 , 9 = ² 5 16 , 60 0,5
!* + = 9, ² 5 16 , 60 = 2 ² 5 16 , 60 0,5 pour la somme + 0,5 résultat
4) 1,5 (-0,25 par mauvaise réponse)
: 2 2<> 3 3<> 4 4<> > ><> 6
?*:+ 36 32<> 30 28<> 28 28<> 30 32<> 36 5) L’aire-minimale-semble-être-28 cm², atteinte pour = 4. 0,5+0,5
Exercice 4 ( 6 points)
On considère les deux algorithmes ci-dessous :
1. Compléter les tableaux suivants :
1. Complétez les tableaux ci-dessous. 0,25 par colonne + 0,25 affichage
ALGORITHME 1 ! ALGORITHME 2 " # $
Saisir 2 Saisir 2
! prend la valeur % 2 2 0 " prend la valeur & 2 4
!'prend la valeur !& 2 0 #'prend la valeur 4 × 2 4 8
! prend la valeur ! % 2 2 %3 $ prend la valeur " % # + 1 2 4 8 %3 Résultat affiché en sortie : %3 Résultat affiché en sortie :%3
0,75 1,25
ALGORITHME 1 ! ALGORITHME 2 " # $
Saisir %3 Saisir %3
! prend la valeur % 2 %3 %5 " prend la valeur & %3 9
!'prend la valeur !& %3 25 #'prend la valeur 4 × %3 9 %12
! prend la valeur ! % 3 %3 22 $ prend la valeur " % # + 1 %3 9 %12 22 Résultat affiché en sortie :'22 Résultat affiché en sortie :'22
0,75 1,25
2. On'remarque'que'l’on'obtient'les'mêmes'résultats'avec'les'deux'algorithmes. 0,5
3. a. Avec'l’algorithme'1,'la'valeur'en'sortie'est : ( % 2)² % 3 0,5
b. Avec'l’algorithme'2,'la'valeur'en'sortie'est : ² % 4 + 1 0,5
c. ( % 2)² % 3 = & % 4 + 4 % 3 = &% 4 + 1 donc la conjecture est vraie. 0,5
Exercice 5 ( 11 points)
ALGORITHME 2 Entrée : Saisir
Traitement : ! prend la valeur "
#$prend la valeur 4 ×
% prend la valeur ! & # + 1 Sortie : Afficher %
ALGORITHME 1 Entrée : Saisir
Traitement : ' prend la valeur & 2 '$prend la valeur '"
' prend la valeur ' & 3 Sortie : Afficher '
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sujet B Décembre 2017
Exercice 5 :10 points 1)/1
1
×A
×B
×C
×D 1
2) a)/1En appliquant le cours, on obtient que le milieu des pointsA(−3; 1)etC(4; 2)est un point qui a pour coordonnées!−3+4
2 ;1+22 "
, donc on aE(1/2; 3/2).
b)/1Le milieu des pointsB(−2; 4)etD(3;−1)est un point qui a pour coordonnées!−2+3
2 ;4+(−1)2 "
, donc on aF(1/2; 3/2).
c)/1,5Les coordonnées des points E et F sont identiques donc ces deux points sont confondus.
Ainsi les diagonales du quadrilatère ABCD se coupent en leur milieu ce qui montre que c’est un parallélogramme.
3) a) /1,5 En appliquant le formule du cours, on obtient que la distance entre B(−2; 4) et D(3;−1)vérifieBD2= (−2−3)2+ (4−(−1))2. Ce qui donneBD2= (−5)2+ 52= 25 + 25 = 50 et doncBD=√
50.
b)/2On va utiliser les carrés des longueurs des côtés pour vérifier si le triangle est rectangle.
On vient de trouver BD2 = 50et on nous donne BC2 = 40, CD2 = 10. On a 50 = 40 + 10et doncBD2=BC2+CD2, par la réciproque du théorème de Pythagore le triangle BCD est rectangle.
L’angle droit est celui qui est opposé au plus grand côté, ici c’est [BD] donc le triangle est droit en C.
c)/1Le quadrilatère ABCD est donc un parallélogramme avec un angle droit, on en déduit que c’est un rectangle.
4)/1PuisqueBC =√
40etCD =√
10, les côtés [BC] et [CD] n’ont pas la même longueur et le rectangle ABCD n’est pas un carré.
3
