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Collision de deux particules de même masse 1)P1 P2= P'₁ P'₂ ⇒ p₁0= p'₁p '₂ et E₁E₂=E '₁E '₂.

Projection sur Oy : 0=p '₁sinθ−p '₂sinθ ⇒ p '₁=p '₂ d'où E '₁=E '₂=E₁E₂ 2

Projection sur Ox : p₁=2 p'₁cosθ or E '₁²−p '₁²c²=m²c⁴ ⇒



^E¹^E² ²



²⁻



^{2 cos}^p¹ θ



²^c²⁼^m²^c⁴

avec E₂=m c² et p₁²c²=E₁²−m²c⁴ ⇒ m²c⁴1r²−r²−1

cos²θm²c⁴=4 m²c⁴ ;1r²−r²−1 cos²θ=4.

cos²θ= r²−1

1r²−4 = r²−1

3rr−1 =1r

3r ; cosθ=



^1^3^r^r^.

2) a .Basses énergies: T₁≪ mc² or E₁=T₁m c²=m c²1ε avec ε= T₁ m c² ≪1.

r= E₁

m c²=1ε ; cos²θ= 2ε 4ε≈ 1

2



^1^ε4



^.

Si ε 0 cos²θ 1

2 ; cosθ



²

2 ; θ 45° ; p '₁,p '₂ 90 °.

b . Hautes énergies: T₁≫m c² ; r= T₁

m c²1≫1.

cos²θ=1r

3r ≈11 r−3

r =1−2

r ; cosθ≈1−1

r donc θ≈0 ; cosθ≈1−θ² 2 . D'où θ²

2 =1

r θ=



²^r ^α⁼

^

^{2 .}

3)A partir de u^*= p²c²

E = p₁c²

E₁E₂=c



^E1 2−m²c⁴

E₁m c² =c



^r−1^r1 on déduit 1−u^{* 2} c² = 2

1r . D' où γ^*=



¹⁻^u^c^¿2²



⁻¹²⁼



^1²^r ^{et aussi E}^*⁼^γ^*^E−^u^*^{p ⇒} ^E^*⁼²^γ^*^{m c}²^.

___________________________________________________________________________________________

Canon à électrons

1)Classique: 1

2mv_c²=e U ⇒ v_c=



^{2e U}^m ⁼^c

^

^{2r avec r}⁼ ^{m c}^{e U}²^.

Relativiste : T= γ−1m c²=e U ⇒ γ=r1 ; 1

γ²=1−v_r² c²= 1

r1² ; v_r=c



^r^^r^2

1r . D'où v_r=v_c



^1²^r

1r . Si r≪1, v_r≈v_c



¹⁻^{3 r}⁴



^^v^c^.

Il faut v_c−v_r0,01 v_r ; v_c1,01 v_r ; 1−3 r 4  1

1,01 ; r 4

303 ; U 4 303

m c²

e =6 750 V.

2) U=10⁴ V : r=0,01956 v_r=0,9856 v_c U=10⁶ V : r=0,956 v_r=0,4758 v_c

3) v_c=



^2e^m

^

^U⁼^593,3

^

^U^≈⁶⁰⁰

^

^{U km s}⁻¹^.

U=10⁴ V ⇒ v_c≈ 60 000≈0,2 c U=10⁵ V ⇒ v_c≈190 000≈0,63 c U=10⁶ V ⇒ v_c≈600 000≈2 c !

La mesure de la vitesse des électrons est une vérification directe de la relativité restreinte (expérience de Bertozzi, 1964).

log₁₀U

0 1 2 3 4 5 6

c 2c

v_r v_c