Plan LOIDUMOMENTCINÉTIQUE

LOI DU MOMENT CINÉTIQUE

Plan

I. Moment cinétique 3

1. Moment cinétique d’un point matériel par rapport à un point. . . 3

a) Définition . . . 3

b) Propriété . . . 3

2. Moment cinétique d’un point matériel par rapport à un axe orienté . . . 4

3. Moment cinétique d’un système de points par rapport à un axe orienté . . . . 6

4. Cas du solide en rotation autour d’un axe fixe . . . 6

II. Moment d’une force 9 1. Moment d’une force par rapport à un point. . . 9

2. Moment d’une force par rapport à un axe orienté . . . 10

a) Définition . . . 10

b) Bras de levier . . . 11

3. Moment résultant. Couple de force . . . 14

a) Moment résultant . . . 14

b) Couple de force . . . 14

4. Liaison pivot . . . 15

III.Loi du moment cinétique 16 1. Forces intérieures - forces extérieures . . . 16

2. Loi du moment cinétique . . . 16

3. Solide en rotation autour d’un axe fixe : loi scalaire du moment cinétique . . . 18

4. Retour sur la liaison pivot . . . 18

IV.Pendule pesant 20 1. Description . . . 20

2. Équation du mouvement . . . 20

3. Intégrale première . . . 22

4. Portrait de phase . . . 22

V. Pendule de torsion 23 1. Couple de torsion . . . 23

2. Équation du mouvement . . . 23

3. Intégrale première du mouvement . . . 24

VI.Approche énergétique du solide en rotation 25 1. Énergie cinétique d’un solide en rotation autour d’un axe fixe. . . 25

2. Puissance d’une force s’exerçant sur un point d’un solide en rotation . . . 25

3. Théorème de l’énergie cinétique pour un solide en rotation . . . 26

4. Action mécaniques conservatives - Énergie potentielle . . . 27

5. Énergie mécanique . . . 28

VII.Bilan énergétique pour un système déformable 30

1. Première constatation . . . 30

2. Travail des forces intérieures . . . 30

3. Théorème de l’énergie cinétique pour un système déformable . . . 31

4. Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie . . . 31

Quand on tourne le volant d’une voiture, on exerce deux forces opposées en deux points dia- métralement opposés. D’après la loi de la quantité de mouvement on vérifie que le centre de masse du système ne se déplace pas. Pourtant, le fait d’exercer ce "couple" de force permet de mettre en mouvement le volant. Le mouvement va donc être décrit par une nouvelle loi, bien adaptée à l’étude des mouvements de rotation : la loi du moment cinétique.

I. Moment cinétique

1. Moment cinétique d’un point matériel par rapport à un point

a) Définition

Soit M un point matériel se déplaçant à la vitesse~v dans un référentiel R. Soit A un point quelconque. On définit ~σ_A(M)_/R le moment cinétique du point M en A par rapport au réfé- rentiel R

~

σ_A(M)_/R =−−→

AM ∧~p(M)_/R =−−→

AM ∧m~v(M)_/R

b) Propriété

~

σ_B(M)_/R =−−→

BM ∧p(M~ )_/R

= (−→

BA+−−→

AM)∧~p(M)_/R

=−→

BA∧~p(M)_R +~σ_A(M)_/R

~

σ_B(M)_/R =~σ_A(M)_/R+−→

BA∧~p(M)_R

Dimensionnellement [k~σk] = M.L².T⁻¹ ( kg.m².s⁻¹ en unité SI). On peut remarquer que ces dimensions sont les mêmes que celles de la constante de Planck h¹.

Autre écriture courante : le moment cinétique~σ_A(M)_/R est fréquemment noté ~L_A(M)_/R.

Pour alléger l’écriture on ne précisera plus par la suite le référentiel d’étudeR dans la notation.

1. p=^h_λ, avecλla longueur d’onde de de Broglie

2. Moment cinétique d’un point matériel par rapport à un axe orien- té

Soit un axe ∆.

Soit O un point quelconque de ∆.

Soit ~u_∆ un vecteur unitaire colinéaire à l’axe ∆. Le sens de ~u_∆ définit l’orientation de l’axe ∆.

On définit σ_∆(M)le moment cinétique deM par rap- port à l’axe orienté ∆, dans un référentiel R donné par

σ∆(M) =~σO(M).~u∆

Quelques remarques :

. Le signe de σ_∆ dépend du sens d’orientation choisi.

. La définition est indépendante de la position du point O choisi sur l’axe.

Soit O⁰ ∈∆ tel que OO~ ⁰ 6=~0.

D’après la propriété établie précédemment ~σ_O⁰(M) =~σ_O(M) +−−→

O⁰O∧~p(M), d’où

~

σ_O⁰(M).~u_∆ =~σ_O(M).~u_∆+ (−−→

O⁰O∧p(M~ )).~u_∆

| {z }

=0car−−→

O⁰Ok~u_∆

=~σ_O(M).~u_∆ =σ_∆

. Seule la composante orthoradialev_θ de la vitesse contribue au moment cinétique par rapport à l’axe.

Plaçons nous en coordonnées cylindriques : l’axe Oz est confondu avec l’axe ∆,~u_z =~u_∆. ( −−→

OM =r~u_r+z~u_z

~

v = ˙r~u_r+rθ~˙u_θ+ ˙z~u_z =v_r~u_r+v_θ~u_θ+v_z~u_z

−−→OM ∧m~v =m

r 0 z

∧

v_r v_θ v_z

=m

−z v_θ z v_r−rv_z r v_θ

ainsi par projection σ_∆ = ~σ_O(M).~u_∆ = ~σ_O(M).~u_z = mr v_θ = rp_θ = mr²θ˙ avec p_θ = ~p.~u_θ composante orthoradiale de la quantité de mouvement.

σ_∆=r p_θ =rmv_θ =mr²θ˙

On a tracé sur les figures ci-dessous uniquement la composante orthoradiale de la vitesse

Pour θ >˙ 0,vθ =rθ >˙ 0, le point M tourne autour de l’axe ∆dans le sens direct σ∆>0.

Pour θ <˙ 0,v_θ =rθ <˙ 0, le point M tourne autour de l’axe ∆dans le sens indirect σ_∆<0.

Le sens direct (sens positif) est lié à l’orientation de l’axe ∆par la règle du tire-bouchon.

Le moment cinétique sera nul si v_θ = 0. Dans ce cas le vecteur vitesse ~v est contenu dans le plan défini par M et l’axe ∆.

3. Moment cinétique d’un système de points par rapport à un axe orienté

On considère un systèmeS de points matérielsM_i de masse dem_i aveci= 1. . . n. Le moment cinétique en O du système, par rapport à un référentiel R donné est la somme des moments cinétiques de chacun des points.

~σ_O=

n

X

i=1

~σ_O(M_i) =

n

X

i=1

−−→OM_i∧m_i~v(M_i)

Par projection, le moment cinétique du systèmeS par rapport à un axe ∆ orienté sera

σ_∆=~σ_O.~u_∆=

n

X

i=1

~

σ_O(M_i).~u_∆=

n

X

i=1

σ_∆(M_i)

En se plaçant en coordonnées cylindriques de telle sorte que l’axe∆soit confondu avecOz, on aura :

σ_∆=

n

X

i=1

m_ir²_i θ˙_i

oùr_i représente la distance du point M_i à l’axe ∆.

4. Cas du solide en rotation autour d’un axe fixe

On considère un solide Σ en rotation à la vitesse angulaire ω = ˙θ dans le sens direct autour d’un axe ∆ fixe dans le référentiel d’étudeR. Chaque point deΣdécrit dansR une trajectoire circulaire d’axe ∆à la même vitesse angulaire ω.

∀i θ˙_i = ˙θ =ω

D’après le résultat précédent, si on décompose le solide en un grand nombre de points, le moment cinétique de Σpar rapport à l’axe ∆ vaudra σ_∆= X

i

m_ir_i²

!

θ˙ = X

i

m_ir²_i

! ω.

En réalité, chaque "point" correspond à un volume élémentaire de masse dm et la sommation n’est pas discrète mais continue, ce qui revient à poser une intégrale.

J_∆= Z Z Z

Σ

dm r²

ω= Z Z Z

Σ

ρdV r²

ω

Le moment cinétique par rapport à l’axe ∆ est donc proportionnel à la vitesse angulaire de rotation du solide autour de l’axe. On exprimeraσ_∆ sous la forme

σ_∆=J_∆ω avec J_∆ = X

i

m_ir²_i

!

J∆ est appelé moment d’inertie du solide par rapport à l’axe ∆.

Dimensionnellement [J_∆] = M.L² (kg.m² en unité SI).

Le moment d’inertie dépend de la répartition spatiale de la masse autour de l’axe de rotation.

Exemples :

•Système de massem, constitué de deux points matériels de masses ^m₂ rigidement liés par une tige de masse négligeable :

J_∆= 2× m 2

` 2

2

=m`² 4

• Tige de masse m, homogène, de longueur ` en rotation autour d’un axe ∆ perpendiculaire passant par son milieu :

J_∆=m`² 12

Dans ce deuxième cas, la même massem est répartie uniformément sur toute la longueur de la tige : le moment d’inertie est plus faible que celui trouvé dans le premier cas où la toute masse m se trouvait aux points les plus éloignés de l’axe ∆.

De manière générale plus la masse est répartie loin de l’axe, plus le moment d’iner- tie augmente (exemple : suivant que l’on place les bras perpendiculairement au corps ou le long du corps, on modifie son moment d’inertie par rapport à un axe vertical passant par G, voir cas du patineur).

• Tige de masse m, homogène, de longueur ` en rotation autour d’un axe ∆ perpendiculaire passant par une de ses extrémités :

Tige homogène de masse massem, de longueur` J<sub>∆</sub>=m`²

3

Si toute la massemétait concentrée à l’autre extrémité de la tige, le moment d’inertie vaudrait J∆=m`². Il est donc normal ici de trouver une valeur inférieure.

Justification :

On découpe la tige en petits éléments, de longueur dr, de masse dm = ^m_`dr car la tige est homogène. Chaque élément de longueur possède un moment d’inertie dm r². On additionne

ensuite tous ces moments d’inertie en posant l’intégrale : J_∆=

Z `

0

dm r² = Z `

0

m

` dr r² = m

` Z `

0

r²dr= m

`

`³

3 =m`² 3

Moment d’inertie de solides homogènes autour de leur axe de symétrie

• Cylindre creux homogène de rayonR de masse totale m :

J∆=mR²

• Cylindre plein homogène de rayon R de masse totale m :

J_∆= 1 2mR²

• Sphère pleine de rayon R de masse m :

J_∆= 2 5mR²

II. Moment d’une force

1. Moment d’une force par rapport à un point

Soit M le point d’application d’une force F~. Soit O un point quelconque.

On définit M~O(F~)le moment en O de la force F~ par M~O(F~) = −−→

OM∧F~

Dimensionnellement kM~O(F~)k est homogène à une force multipliée par une longueur. Cela correspond également aux dimensions d’une énergie mais en unité SI, le moment d’une force s’exprime généralement en N.m.

Le moment en O de la force sera nul si

– la force s’applique au point O lui-même (M =O) – F~ est colinéaire à −−→

OM : la droite définie par M et F~ passe par O (force centrale).

Propriété :

M~O⁰(F~) =−−→

O⁰M∧F~

= (−−→

O⁰O+−−→

OM)∧F~

=−−→

O⁰O∧F~ +M~O(F~)

M~O⁰(F~) =M~O(F~) +−−→

O⁰O∧F~

2. Moment d’une force par rapport à un axe orienté

a) Définition

Soit un axe ∆.

Soit O un point quelconque de ∆.

Soit ~u_∆ un vecteur unitaire colinéaire à l’axe

∆. Le sens de ~u_∆ définit l’orientation de l’axe ∆.

On définit M∆(F~)le moment de la force F~ s’exer- çant en M par rapport à l’axe orienté ∆ par

M∆(F~) = M~O(F~).~u_∆

. Le signe de M∆ dépend du sens d’orientation choisi.

. On peut vérifier que, de la même manière que pour le moment cinétique par rapport à un axe, la définition de M∆ est indépendante de la position du point O choisi sur l’axe.

Soit O⁰ ∈∆ tel que OO~ ⁰ 6=~0.

D’après la propriété établie précédemment M~O⁰(F~) =M~O(F~) +−−→

O⁰O∧F~, d’où M~O⁰(F~).~u_∆=M~O(F~).~u_∆+ (−−→

O⁰O∧F~).~u_∆

| {z }

=0car−−→

O⁰Ok~u∆

=M~O(F~).~u_∆=M∆(F~)

. Par analogie avec le calcul du moment cinétique par rapport à un axe, on peut affirmer que seule la composante orthoradiale de la force contribue au moment par rapport à l’axe ∆.

On note F~ =F_r~u_r+F_θ~u_θ+F_z~u_z.

On avaitσ_∆=mrv_θ =rp_θavecp_θla composante orthoradiale de~p. On aura M∆(F~) = rF_θ . On peut bien sûr refaire le calcul.

Plaçons nous en coordonnées cylindriques : l’axe Oz est confondu avec l’axe ∆,~uz =~u∆. ( −−→

OM =r~u_r+z~u_z

F~ =F_r~u_r+F_θ~u_θ+F_z~u_z

−−→OM ∧F~ =

r 0 z

∧

F_r F_θ F_z

=

−z F_θ z F_r−rF_z r F_θ ainsi par projection M~∆ =M~O(F~).~u_∆=M~O(F~).~u_z =r F_θ

Il existe une méthode alternative pour calculer le moment d’une force par rapport à un axe.

Plutôt que de projeter cette force sur~uθ pour calculer ensuite rFθ on utilise plutôt le"bras de levier".

b) Bras de levier

On peut décomposer la force F~ en une composante F~k parallèle à l’axe ∆et une composante F~_⊥ située dans le plan perpendiculaire à ∆.

Soit H le projeté orthogonal deM sur∆. Par définition H∈∆. On peut exprimer le moment de la force F~ par rapport à l’axe ∆

M∆(F~) =

−−→

HM∧F~

.~u∆= −−→

HM ∧F~k

.~u∆

| {z }

=0car−→ Fkk~u∆

+ −−→

HM ∧F~⊥

.~u∆=

−−→

HM ∧F~⊥

.~u∆

Rappel : on définit le sens positif de rotation à l’aide la règle du tire-bouchon.

1^er cas : F~ tend à faire tournerM dans le sens positif

−−→HM ∧F~_⊥ = (−−→

HH⁰+−−−→

H⁰M)∧F~_⊥

=−−→

HH⁰∧F~⊥+ −−−→

H⁰M∧F~⊥

| {z }

=~0car−−−→

H⁰MkF~⊥

=−−→

HH⁰∧F~_⊥

=dkF~⊥k~u_∆

M∆(F~) = +dkF~⊥k>0

2^eme cas : F~ tend à faire tourner M dans le sens négatif

−−→HM ∧F~⊥ = (−−→

HH⁰+−−−→

H⁰M)∧F~⊥

=−−→

HH⁰∧F~⊥+ −−−→

H⁰M∧F~⊥

| {z }

=~0car−−−→

H⁰MkF~⊥

=−−→

HH⁰∧F~⊥

=−dkF~⊥k~u_∆

M∆(F~) =−dkF~⊥k<0

Bilan :

Soit ∆ un axe orienté etF~ une force. SoitF~⊥ la composante de F~ orthogonale à ∆.

Le moment de la force F~ par rapport à l’axe ∆s’exprime sous la forme : M∆(F~) =

+dkF~⊥k si F~ tend à faire tourner autour de∆ dans le sens positif

−dkF~_⊥k si F~ tend à faire tourner autour de∆ dans le sens négatif le sens positif étant relié à l’orientation de l’axe∆ par la règle du tire-bouchon.

La distance d=HH⁰ est appelée bras de levier.

Remarque :

Reprenons le premier cas ( F~ tend à faire tourner M dans le sens direct, dans ce cas sa composante orthoradiale F_θ est positive).

F~_⊥ =F_r~u_r+F_θ~u_θ

M∆(F~) = dkF~⊥k=rsinαkF~⊥k or kF~⊥ksinα=F_θ, on retrouve bien

M∆(F~) =rF_θ

On peut reprendre le même raisonnement pour F_θ <0.

En général, on utilise plutôt la formule du bras de levier pour calculer M∆.

Illustrations :

– Forces exercées sur une porte. Moment par rapport à l’axe de rotation de la porte dans différents cas.

– Principe du levier

3. Moment résultant. Couple de force

a) Moment résultant

On considère un système soumis à n forces F~_i, i = 1· · ·n s’appliquant respectivement aux points M_i. Le moment résultant en O sera :

M~0 =

n

X

i=1

M~O(F~_i) =

n

X

i=1

−−→OM_i∧F~_i

Le moment résultant par rapport à un axe orienté ∆vaudra M∆=

n

X

i=1

M∆(F~_i)

b) Couple de force

On nomme couple un système de forces dont la résultante est nulle mais dont le moment résultant en un point O quelconque est non nul.

On peut vérifier sur un exemple que le moment d’un couple est indépendant du point où on le calcule.

SoientF~₁ etF~₂, deux forces s’appliquant respectivement en deux pointsM₁ etM₂ et telles que F~1+F~2 =~0.

Supposons qu’il existe un point O où le moment résultant, noté ~Γ₀, est non nul :

~Γ0 =−−−→

OM1∧F~1+−−−→ OM2∧F~2

Soit O⁰ un point quelconque :

~Γ₀⁰ =−−−→

O⁰M₁∧F~₁+−−−→

O⁰M₂∧F~₂ = (−−→

O⁰O+−−−→

OM₁)∧F~₁ + (−−→

O⁰O+−−−→ OM₂)∧F~₂

=−−→

O⁰O∧(F~₁+F~₂)

| {z }

=~0

+−−−→

OM₁∧F~₁+−−−→

OM₂∧F~₂ =~Γ₀

La démonstration peut se généraliser à tout système de force de résultante nulle.

Le moment résultant d’un couple est indépendant du point considéré. On le notera donc simplement ~Γ.

Exemple :

– Rotation d’un volant automobile

– Action d’un champ électrique sur une molécule polaire

4. Liaison pivot

Une liaison pivot est un dispositif mécanique permettant la rotation d’un objet autour d’un axe fixe, tout en empêchant la translation suivant cet axe.

Exemple :charnière de porte de placard

sur un vélo : beaucoup de liaisons pivot au niveau des roues, du pédalier et des pédales, du guidon...

Au niveau d’une liaison pivot, les actions mécaniques peuvent être modélisées par un couple (couple moteur, couple résistant, cf chapitre suivant).

III. Loi du moment cinétique

1. Forces intérieures - forces extérieures

On considère un systèmeS denpointsM_ii= 1· · ·n.

Chaque point M_i subit des forces de résultante f~_i qui se décompose en

f~_i =f~_i^int+f~_i^ext

avecf~_i^intla résultante des forces intérieures qu’exercent les autres points du système sur M_i (f~_i^int=X

j6=i

f~j→i) et f~_i^ext la résultante des forces qu’exerce l’extérieur du système sur M_i.

2. Loi du moment cinétique

On considère un système S (point matériel, système de points, solide) de masse totale m fixée (système fermé).

On considère un point O fixe dans R galiléen.

Soit ~σ_O/R le moment cinétique de S enO par rapport au référentiel R. On a d~σ_O/R

dt

R

=M~O^ext

avecM~_O^ext moment résultant en O des forces extérieures au système.

Seul le moment des forces extérieures peut contribuer à la rotation d’un système.

Si M~O^ext =~0 alors le moment cinétique est conservé : le moment cinétique d’un système isolé se conserve.

Si un système est à l’équilibre, son moment cinétique est nul et doncM~O^ext =~0.

Remarque :

On a montré que on peut déduire de la loi de la quantité de mouvement que la résultante des forces intérieures à un système est nulle.

On peut déduire de la loi du moment cinétique que le moment résultant des forces intérieures est nul.

Prenons l’exemple d’un système de deux points M₁ et M₂ qui subissent respectivement les forces :

f~₁ =f~2→1+f~₁^ext f~2 =f~1→2+f~₂^ext Appliquons la loi du moment cinétique au système M1

d~σ_O(M₁)

dt =−−−→

OM₁∧(f~_2→1+f~₁^ext)

puis au système M₂

d~σ_O(M₂)

dt =−−−→

OM2∧(f~1→2+f~₂^ext) et enfin au système {M1, M2}

d~σ_O

dt = d~σ_O(M₁)

dt + d~σ_O(M₂)

dt =M~O^ext =−−−→

OM₁∧f~₁^ext+−−−→ OM₂∧f~₂^ext On en déduit

M~O^int =−−−→

OM₁∧f~_2→1+−−−→

OM₂∧f~_1→2 =~0 Le moment des forces intérieures est nul.

La résultante des forces intérieures étant nulle f~2→1 = −f~1→2, on peut alors déduire de la relation précédente

(−−−→

OM2−−−−→

OM1)∧f~1→2 =−−−−→

M1M2∧f~1→2 =~0

Ainsi, la loi de la quantité de mouvement et la loi du moment cinétique "contiennent" le principe des actions réciproques.

3. Solide en rotation autour d’un axe fixe : loi scalaire du moment cinétique

On considère un solide en rotation autour d’un axe ∆orienté fixe dans R galiléen.

Soit O un point quelconque de ∆. Le point O est donc fixe dans R.

La loi du moment cinétique en O fixe dans R galiléen donne_d~σ

O/R

dt

R =M~O^ext. On projette cette loi sur l’axe ∆ :

d~σ_O/R dt

R

.~u∆ =M~O^ext.~u∆ =M∆^ext

~

u∆ étant fixe dans R,

d~u∆

dt

R

=~0.

On peut écrire

d~σ_O/R dt

R

.~u_∆=

d(~σ_O/R.~u∆) dt

R

= dσ_∆ dt

On en déduit la loi scalaire du moment cinétique par rapport à l’axe ∆orienté dσ_∆

dt =M∆^ext

On a montré que, pour un solide,σ_∆=J_∆ωoùω = ˙θreprésente la vitesse angulaire de rotation dans le sens positif associé à l’orientation de ∆. La loi scalaire du moment cinétique devient :

J∆

dω

dt =M∆^ext

4. Retour sur la liaison pivot

On considère un solide en rotation autour d’un axe fixe via une liaison pivot. Les actions mécaniques subies au niveau de l’axe se traduisent par un coupleΓ_∆. D’après la loi scalaire du moment cinétique

J_∆dω dt = Γ_∆

Supposons que la rotation s’effectue dans le sens direct (ω >0).

si Γ∆>0alors ^dω_dt >0, ω% , le couple est moteur si Γ_∆<0alors ^dω_dt <0, ω& , le couple est résistant

Supposons que l’on mette le solide en rotation puis qu’on le laisse tourner librement. S’il n’y a pas de frottement au niveau de l’axe, sa vitesse angulaire restera constante au cours du temps.

Dans le cas d’une liaison pivot idéale le moment des forces de liaison est nul : Pour une liaison pivot idéale : Γ_∆,liaison = 0

En général, pour les machines tournantes on fait intervenir la notion destator et derotor. Le rotor est la partie mobile en rotation par rapport au stator qui est fixe et en général lié au bâti. C’est le stator qui, via l’axe de rotation exerce un couple moteur ou résistant (freinage) sur lerotor.

Nous reverrons également ces notions en fin d’année, lors de l’étude des moteurs électriques.

IV. Pendule pesant

1. Description

Un pendule pesant est un solide en rotation autour d’un axe fixe horizontal.

∆ : axe fixe horizontal

Σ : solide en rotation autour de ∆, de masse m, de centre de masse G. On notera J_∆ le moment d’inertie du solide par rapport à l’axe ∆.

On suppose la liaison pivot idéale Γ_∆,liaison = 0 Système : {Σ}

Référentiel : labo galiléen

Bilan des actions mécaniques : – Poids m~g qui s’exerce en G

– Réaction de l’axe R~ qui s’exerce sur l’axe donc M∆(R) = 0~

– Liaison idéale : Γ_∆,liaison = 0

On peut vérifier que le point d’application du poids correspond au centre de masse du système.

Pour cela considérons un système de deux points M1 et M2 de masses respectives m1 et m2. Le poids de l’ensemble vaut m₁~g(M₁) +m₂~g(M₂) = (m₁+m₂)~g si l’on suppose que le champ de pesanteur ~g est uniforme à l’échelle du système (~g(M₁) = ~g(M₂) = ~g). Soit O un point quelconque. Soit M le point d’application de la résultante (m1+m2)~g. On aura

−−→OM ∧(m₁+m₂)~g =−−−→

OM₁∧m₁~g+−−−→

OM₂∧m₂~g

= (m₁−−−→

OM₁+m₂−−−→ OM₂)∧~g

= (m₁+m₂)−→

OG∧~g

On en déduit que M =G. Ce résultat est généralisable à tout sytème placé dans un champ de pesanteur uniforme.

2. Équation du mouvement

L’axe∆étant fixe dans le référentiel du labo supposé galiléen, on peut appliquer la loi scalaire du moment cinétique.

dσ_∆ dt =J∆

dω

dt =M∆(m~g) =−mglsinθ On a utilisé ici le bras de levier pour calculer directement M∆(~g).

Pour les accros au calcul de produit vectoriel on peut aussi écrire :

M~O(m~g) = −→

OG∧m~g =l ~u_r∧mg(cosθ~u_r−sinθ~u_θ)

=−mglsinθ~u_r∧~u_θ

=−mglsinθ ~u∆

M∆(m~g) = M~O(m~g).~u_∆=−mglsinθ

Enfin, on peut aussi calculer M∆(m~g) à partir de la formule M∆ = rF_θ. Ici r = l et F_θ = m~g.~u_θ =−mgsinθ.

La vitesse angulaire ω vaut ω= ˙θ d’où

J_∆θ¨=−mglsinθ

θ¨+mgl J∆

sinθ = 0

On peut vérifier que cette équation est en accord avec l’équation du pendule rigide simple consti- tué d’une massemaccrochée à l’extrémité de la tige rigide de longueurlet de masse négligeable.

Dans ce cas J_∆ = ml² et ^mgl_J

∆ = ^mgl_ml2 = ^g_l. On retrouve alors l’équation du pendule simple θ¨+^g_l sinθ = 0.

L’équation du pendule pesant n’est pas linéaire. On peut, pour des petites oscillationsθ 1rad linéariser le sinus : sinθ'θ.

θ¨+ mgl J_∆ θ= 0 En posant ω₀² = ^mgl_J

∆ on retrouve alors l’équation de l’oscillateur harmonique : θ¨+ω₀²θ = 0 avecω₀ =

rmgl J_∆

Les oscillations de faibles amplitudes sont harmoniques et donc isochrones. Si on augmente l’amplitude, les oscillations ne sont plus harmoniques et la période des oscillations dépendra de l’amplitude (elle augmente quant l’amplitude augmente). La résolution de l’équation non linéaire ne peut se faire que numériquement.

3. Intégrale première

D’après la loi scalaire du moment cinétique

J∆θ¨=−mglsinθ On multiplie chaque membre de l’égalité par θ.˙

J_∆θ¨θ˙=−mglsinθθ˙ ce qui permet de faire apparaître les dérivées temporelles :

d dt

1 2J_∆θ˙²

= d

dt(mglcosθ) d

dt 1

2J_∆θ˙²−mglcosθ

= 0 1

2J_∆θ˙²−mglcosθ= Cte

Cette constante est homogène à une énergie. On reconnaît dans−mglcosθ l’énergie potentielle de pesanteur.

Le premier terme représente, comme on le vérifiera par la suite, l’énergie cinétique du solide en rotation autour d’un axe fixe.

4. Portrait de phase

Voir chapitre sur l’énergie et le polycopié sur le portrait de phase.

V. Pendule de torsion

1. Couple de torsion

Lorsqu’on accroche le milieu d’une tige homogène à l’extrémité d’un fil métallique, celle-ci se stabilise à une position d’équilibre où la tension du fil compense son poids (les deux forces s’exerçant en O) et où aucun couple ne s’exerce par rapport à l’axe ∆.

Si on écarte la tige de cette position d’équilibre, on tord le fil qui exerce alors un couple de rappel qui tend à ramener la tige vers sa position de repos. Le couple de rappel a pour expression

Γ∆=−K θ

Dimensionnellement K a les mêmes dimensions que Γ∆ et se mesure en N.m (Newton.mètre) en unités SI.

2. Équation du mouvement

Système : {T ige}

Référentiel : labo galiléen

Bilan des actions mécaniques : – Poids m~g qui s’exerce en O donc M∆(m~g) = 0 – Tension du fil T~ qui s’exerce en O donc M∆(T~) = 0 – Couple de torsion Γ_∆=−Kθ

On noteJ_∆le moment d’inertie de la tige par rapport à∆. La loi scalaire du moment cinétique donne :

dσ_∆

dt =J_∆dω

dt = Γ_∆=−Kθ J_∆θ¨=−Kθ

θ¨+ K J∆

θ= 0 On pose ω²₀ = _J^K

∆. On reconnaît l’équation de l’oscillateur harmonique : θ¨+ω₀²θ= 0 avec ω₀ =

rK J_∆ qui admet des solutions de la forme

θ=θ₀cos(ω₀t+ϕ)

3. Intégrale première du mouvement

On procède comme précédemment : on exprime la loi scalaire du moment cinétique que l’on multiplie ensuite parθ.˙

J_∆θ¨=−Kθ J_∆θ¨θ˙=−Kθθ˙ ce qui permet de faire apparaître les dérivées temporelles :

d dt

1 2J_∆θ˙²

=−d dt

1 2Kθ²

d dt

1

2J_∆θ˙²+1 2Kθ²

= 0 1

2J_∆θ˙²+ 1

2Kθ² = Cte

Cette constante est homogène à une énergie. Le premier terme est le même que celui obtenu pour le pendule pesant et correspond à l’énergie cinétique de la barre. Le second est un terme d’énergie potentielle dont nous établirons l’expression dans le chapitre suivant.

Le premier terme représente, comme on le vérifiera par la suite, l’énergie cinétique du solide en rotation autour d’un axe fixe.

VI. Approche énergétique du solide en rotation

1. Énergie cinétique d’un solide en rotation autour d’un axe fixe

On considère un solideΣen rotation autour d’un axe

∆fixe dans un référentiel R.

On peut assimiler le solide à un système indéformable de points.

Tous les points constituant le solide décrivent un mouvement circulaire d’axe∆avec lamême vitesse angulaire θ˙=ω.

L’énergie cinétique du pointM_i auquel on attribue la masse Mi vaudra

E_Ci = 1

2m_iv_i² = 1

2m_ir_i²ω² L’énergie cinétique totale vaudra donc

E_c =X

i

E_Ci = 1 2

X

i

m_ir_i²

! ω² On reconnaît l’expression du moment d’inertieJ_∆=X

i

m_ir_i² qui permet d’aboutir à l’expres- sion

Ec= 1 2J∆ω²

Remarque : en réalité, le "point" M_i est un petit volume élémentaire et le calcul de J_∆ se construit à partir d’une intégration continue sur tout le volume du solide et non pas par une sommation discrète.

2. Puissance d’une force s’exerçant sur un point d’un solide en ro- tation

La puissance de la force F~ s’exerçant au niveau du point M vaut, dans le référentielR considéré,

P =F .~~ v =F . rω ~~ u_θ =F_θrω

avec Fθ = F .~~ uθ la composante orthoradiale de la vi- tesse. On reconnaît M∆(F~) = rF_θ, le moment de la forceF~ par rapport à l’axe ∆. Ainsi

P =M∆(F~)ω

Cette expression est également applicable à la puissance d’un couple de momentΓ_∆par rapport à l’axe ∆ :

P = Γ_∆ω

La puissance associée à une action mécanique dont le moment par rapport à l’axe ∆ orienté estM∆ vaut, pour une vitesse angulaire de rotation ω,

P =M∆ω

On en déduit l’expression du travail élémentaire δW =Pdt=M∆ωdt=M∆θdt˙ =M∆dθ δW =M∆dθ

Le travail total effectué entre un état initial où θ =θ_A et un état final où θ =θ_B s’exprimera sous la forme

WA→B = Z B

A

δW = Z θB

θA

M∆dθ

3. Théorème de l’énergie cinétique pour un solide en rotation

On considère un solide en rotation à la vitesse angulaire ω autour d’un axe ∆ fixe dans un référentiel R galiléen.

La loi scalaire du moment cinétique donne J∆

dω

dt =M∆^ext

En multipliant chaque membre de l’égalité par ω on obtient J_∆dω

dtω=M∆^extω d

dt 1

2J_∆ω²

=M∆^extω dE_c

dt =M∆^extω =P^ext

La dérivée de l’énergie cinétique Ec par rapport au temps (puissance cinétique) est égale à la puissance des actions mécaniques extérieures.

On a les formes équivalentes

dE_c =M∆^extωdt =M^extdθ =δW^ext

∆E_c = Z θB

θA

M_∆^extdθ

Il y a équivalence entre le théorème de l’énergie cinétique et la loi scalaire du moment cinétique.

4. Action mécaniques conservatives - Énergie potentielle

Une action mécanique de momentM∆ par rapport à un axe∆orienté sera conservative si son travail élémentaire peut s’écrire sous la forme

δW =M∆dθ =−dE_p

avecE_p énergie potentielle associée à l’action mécanique considérée. E_p est une fonction deθ.

Dans ce cas

WA→B = Z B

A

δW = Z θ_B

θA

M∆dθ = Z θ_B

θA

−dE_p =E_p(θ_A)−E_p(θ_B)

le travail ne dépend que de l’angle initial θ_A et de l’angle final θ_B et ne dépend pas de la manière dont on est passé de l’un à l’autre.

Exemple 1 : couple de torsion

Le travail élémentaire du couple de torsion pour une variation dθ de l’angle vaut δW = Γ_∆dθ =−Kθdθ =−dE_p

dE_p =Kθdθ

E_p = 1

2Kθ²+ Cte Si on choisit E_p = 0 pour θ = 0 alors Cte=0 et

E_p = 1 2Kθ² Exemple 2 : pendule pesant

Le travail élémentaire du poids pour une variationdθ de l’angle vaut δW =M∆dθ =−mglsinθdθ =−dE_p

dE_p =mglsinθdθ Ep =−mglcosθ+ Cte Si on choisit E_p = 0 pour θ = ^π₂ alors Cte=0 et

Ep =−mglcosθ

Remarque : On a établi dans le cours que E_p = mgz, avec l’axeOz orienté vers le haut etE_p = 0 pourz = 0.

Ici z correspondra à la coordonnée verticale du centre de masse G du système.

z_G=−lcosθ

On retrouve bien E_p =mgz_G=−mglcosθ

5. Énergie mécanique

On considère toujours un solide en rotation autour d’un axe fixe dans un référentielR galiléen.

Le théorème de l’énergie cinétique donne

dE_c=δW_cons^ext +δW_n.c.^ext

δW_cons^ext travail élémentaire des actions mécaniques extérieures conserva- tives δW_cons^ext = −dE_p^ext

δW_n.c.^ext travail élémentaire des actions extérieures non conservatives (ex : couple de frotte- ment ou couple moteur).

Ainsi

dE_c=−dE_p^ext+δW_n.c.^ext d(E_c+E_p^ext) = δW_n.c.^ext L’énergie mécanique E_m =E_c+E_p^ext vérifie donc

dE_m =δW_n.c.^ext ce qui peut s’exprimer de manière équivalente

dE_m

dt =Pn.c.^ext

avec Pn.c.^ext la puissance des forces non conservatives.

Si au cours du mouvement seules les actions mécaniques conservatives travaillent alors l’énergie mécanique est conservée : le mouvement est conservatif.

Exemple :

On peut retrouver l’équation du mouvement du pendule de torsion à partir de la conservation de l’énergie mécanique.

Au cours du mouvement, la seule action mécanique qui travaille est le couple de rappel qui dérive de l’énergie potentielle ¹₂Kθ². Le mouvement est conservatif.

E_m =E_c+E_p = 1

2J_∆θ˙² +1

2Kθ² =Cte dEm

dt = 1

2J∆2 ˙θθ¨+1

2K2θθ˙= ˙θ(J∆θ¨+Kθ) = 0 La solution θ˙ = 0 étant sans intérêt, on conserve

J_∆θ¨+Kθ = 0 On retrouve bien ainsi l’équation du mouvement.

VII. Bilan énergétique pour un système déformable

1. Première constatation

Considérons deux patineurs initialement immobiles sur la glace. S’ils se repoussent mutuelle- ment ils vont alors s’éloigner dans deux directions opposées. Le système constitué des deux patineurs n’aura acquis aucune quantité de mouvement (le c.d.m. Gdu système reste fixe) et aucun moment cinétique. Pourtant le système a acquis de l’énergie cinétique : cette énergie cinétique provient du travail des forces intérieures au systèmes qui est intervenu lorsque les deux patineurs se sont repoussés mutuellement.

2. Travail des forces intérieures

Soit deux points M_i et M_j d’un système. On note f~i→j la force qu’exerce M_i surM_j. D’après le prin- cipe des actions réciproques :

f~_i→j =−f~_j→i =f_i→j~u_i→j f_i→j >0 interaction répulsive f_i→j <0interaction attractive

On note δW^int le travail élémentaire des forces intérieures pour des déplacements élémentaires d−−→

OM_i deM_i etd−−→

OM_j de M_j.

δW^int =f~_i→j.d−−→

OM_j +f~_j→i.d−−→

OM_i

=f~i→j.d−−→

OM_j −f~i→j.d−−→

OM_i

=f~i→j.(d−−→

OM_j−d−−→

OM_i)

=f~_i→j.d−−−→

M_iM_j

Or −−−→

M_iM_j =r_ij~u_i→j, d’où d−−−→

M_iM_j = dr_ij~u_i→j +r_ijd~u_i→j.

~

ui→j étant un vecteur unitaire k~ui→jk= 1,~u²_i→j = 1,d(~u²_i→j) = 0. On en déduit 2~u_i→j.d~u_i→j = 0

δW^int =fi→j~ui→j.(drij~ui→j+rijd~ui→j)

=fi→jdr_ij+fi→j~ui→j.d~ui→j

| {z }

=0

=fi→jdrij

Ainsi, pour qu’une force intérieure travaille il faut que la distance r_ij entre deux points du système varie et donc que le système soit déformable.

Pour un système indéformable (comme un solide), le travail des forces intérieures est nul.

Remarque : la puissance des forces intérieures est indépendante du référentiel d’étude.

3. Théorème de l’énergie cinétique pour un système déformable

On se place dans un référentiel R galiléen. La dérivée par rapport au temps de l’énergie cinétique d’un système mécanique est égale à la somme des puissances des forces intérieures et extérieures.

dE_c

dt =P^int+P^ext Autres formulations :

dE_c=P^intdt+P^extdt

dE_c =δW^int+δW^ext

oùδW^int représente le travail élémentaire des forces intérieures et δW^ext le travail élémentaire des forces extérieures,

ainsi que

∆E_c =W^int+W^ext

oùW^int représente le travail des forces intérieures et W^ext les travail des forces extérieures.

Remarque :

On peut écrireδW^int =−dE_p^int+δW_n.c.^int où −dE_p^int représente le travail élémentaire des forces intérieures conservatives (dérivant de l’énergie potentielleE_p^int) et où W_n.c.^int représente le travail des forces intérieures non conservatives.

De même δW^ext = −dE_p^ext + δW_n.c.^ext où −dE_p^ext représente le travail élémentaire des forces extérieures conservatives (dérivant de l’énergie potentielleE_p^ext) et oùδW_n.c.^extreprésente le travail des forces intérieures non conservatives. Ainsi

dE_c=−dE_p^int+δW_n.c.^int −dE_p^ext+δW_n.c.^ext

d(E_c+E_p^int+E_p^ext) = δW_n.c.^int +δW_n.c.^ext On peut définir une énergie mécanique Em =Ec+E_p^int+E_p^ext telle que

dE_m=δW_n.c.^int +δW_n.c.^ext

4. Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie

On peut visualiser l’expérience sur le site :

http://alain.lerille.free.fr/VideosPhysique/ConservationMomentCinetique.html On constate qu’un rapprochement des haltères de l’axe de rotation augmente notablement la vitesse de rotation : c’est une conséquence de la conservation du moment cinétique. Qu’en est-il de l’énergie cinétique ?

Système : {tabouret tournant+homme+haltères}

• Position 1 : bras tendus, haltères loin de l’axe de rotation.

• Position 2 : bras repliés, haltères près de l’axe de rotation.

J₂ < J₁ Loi scalaire du moment cinétique :

dσ_∆

dt =M_∆^ext

Le moment du poids par rapport à l’axe ∆ est nul (le poids est parallèle à l’axe). Le moment de la réaction du support de l’axe est nulle (puisqu’elle s’exerce sur l’axe) et enfin on a supposé la liaison pivot idéale (Γ_∆,liaison = 0). On a donc M∆^ext = 0.

dσ_∆ dt = 0

→ le moment cinétique par rapport à l’axe se conserve.

σ_∆=J₂ω₂ =J₁ω₁ ω₂ = J₁

J₂ω₁

J₁ > J₂ donc ω₂ > ω₁ la vitesse angulaire de rotation augmente.

On peut alors calculer la variation d’énergie cinétique

∆E_c= 1

2J₂ω₂²− 1

2J₁ω₁² =W^ext

| {z }

=0

+W^int

W^ext = 0 car la liaison pivot au niveau de l’axe de rotation du tabouret est supposée idéale et que les autres forces extérieures (poids, réaction) ne travaillent pas au cours du mouvement.

E_c2 = 1

2J₂ω₂² = 1 2J₂

J₁ J₂ω₁

2

= J₁ J₂

1 2J₁ω₁²

= J₁ J₂E_c1 J₂ < J₁ d’où E_c2 > E_c1.

passage de 1→2 ∆E_c>0 W^int>0 passage de 2→1 ∆E_c<0 W^int<0

Seule la prise en compte du travail des forces intérieures permet d’expliquer la variation de l’énergie cinétique du système.