1 Devoir 1S STATISTIQUES P100 – Devoir Statistiques

Devoir 1S 1

STATISTIQUES

(2 heures)

Exercice 1

On a testé les durées de vie (en heures) de deux ampoules différentes : 1000 ampoules de type A et 701 de type B

Durée de vie 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 Effectifs A 90 97 100 110 130 107 105 100 72 28 33 17 9 2

Effectifs B 72 70 68 70 69 62 57 53 50 46 40 23 13 8

1. Calculer la durée de vie moyenne et l’écart type pour chaque type d’ampoule, arrondis à l’heure près. Commenter ces résultats.

2. Pour chacune des deux séries, déterminer le pourcentage d’ampoules dont la durée de vie a un écart à la moyenne inférieur à l’écart type.

3. Déterminer la médiane et les quartiles en justifiant les résultats : donner la signification du 3

quartile

4. Le constructeur des ampoules de type A affirme que « plus de 75% des ampoules durent 700 heures ou plus » ; cette affirmation est-elle vraie ? Justifier.

Exercice 2

On donne dans le tableau suivant les salaires annuels en milliers d’euros en Ile de France sur un groupe de 1000 personnes :

Salaire [9;10[ [10;11[ [11;15[ [15;20[ [20;25[ [25;30[ [30;40[ [40;50[

Effectif 50 50 50 256 244 125 125 100

Effectifs cumulés croissants

1. Calculer le salaire annuel moyen en Ile de France en indiquant les calculs effectués (arrondir au millier d’euros)

2. Compléter la troisième ligne du tableau (effectifs cumuls croissants)

3. Dresser le diagramme des effectifs cumulés croissants dans le repère donné en annexe (ne pas oublier la légende sur chacun des axes)

4. A l’aide du graphique, déterminer le premier et le neuvième décile, le premier et le troisième quartile. On laissera les tracés apparents sur le graphique et on notera les réponses sur la copie

5. Déterminer la valeur de la médiane (arrondie aux dixièmes si nécessaire) 6. Le diagramme en boite ci-dessous correspond aux salaires annuels en milliers

d’euros en province (pour les régions françaises hors Ile de France)

7. Compléter avec le diagramme en boîte pour les salaires de la région Ile de France.

8. Donner l’écart inter-quartile pour chacune des séries de données. En observant ces deux diagrammes, que peut-on dire des salaires en Ile de France et en province ?

Exercice 3

Calculer les sommes suivantes

) + 2) ) − 2)²

2

Exercice 1

1. Calcul de la durée de vie moyenne des ampoules

= 1

1000 × 500 × 90 + 600 × 97 + ⋯ + 1800 × 2) ≈ 949

La durée de vie moyenne des ampoules de type A est d’environ 949 heures

= 1

701 × 500 × 72 + 600 × 70 + ⋯ + 1800 × 8) =694 700 701 ≈ 991 La durée de vie moyenne des ampoules de type B est d’environ 991 heures Calcul de l’écart type des ampoules

Tout d’abord, calcul de la variance

= 1

1000 × 500 × 90 + 600 × 97 + ⋯ + 1800 × 2) =

!= " ≈ 294

= 1

1000 × 500 × 90 + 600 × 97 + ⋯ + 1800 × 2) =

!= " ≈ 344

Commentaires :

La durée de vie moyenne des ampoules de type B est supérieure de 46 heures à celles du groupe A mais on peut aussi dire que la durée de vie des ampoules de type B est plus dispersée par rapport à la moyenne.

2. Calcul du pourcentage d’ampoules dont la durée de vie a un écart à la moyenne inférieur à l’écart type.

Cela revient à chercher le nombre d’ampoules de type A dont la durée de vie est comprise entre [ − ! ; + ! ] soit [655 ; 1 243]

− != 949 − 294 = 655 + ! = 949 + 294 = 1 243

Il y a 652 100 + 110 + 130 + 107 + 105 + 100) ampoules répondant à ce critère soit 65,2%des ampoules de type A.

652

Durée de vie 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800

Effectifs A 90 97 100 110 130 107 105 100 72 28 33 17 9 2

Effectifs cumulés

croissants A 90 187 287 397 527 634 739 839 911 939 972 989 998 1000

Effectifs B 72 70 68 70 69 62 57 53 50 46 40 23 13 8

Effectifs cumulés

croissants B 72 142 210 280 349 411 468 521 571 617 657 680 693 701

Durée de vie 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800

Effectifs A 90 97 100 110 130 107 105 100 72 28 33 17 9 2

3

Cela revient à chercher le nombre d’ampoules de type B dont la durée de vie est comprise entre [ − ! ; + ! ] soit [647 ; 1 335]

− != 991 − 344 = 647 + ! = 991 + 344 = 1 335

Il y a 429 68 + 70 + 69 + 62 + 57 + 53 + 50) ampoules répondant à ce critère soit 61,2% des ampoules de type A.

429

701× 100 = 61,2

3. Calcul la médiane et les quartiles

Pour les ampoules de type A )

2 =1000 2 = 500

La médiane correspond à la 500^ème valeur des effectifs cumulés croissants soit 900 heures.

*₊= 900

)

4 =1000 4 = 250

Le 1^er quartile correspond à la 250^ème valeur des effectifs cumulés croissants soit 700 heures.

,= 700

3)

4 =3 × 1000 4 = 750

Le 3^e quartile correspond à la 750^ème valeur des effectifs cumulés croissants soit 1200 heures.

,_-= 1200

Le 3^ème quartile correspond

Pour les ampoules de type B )

2 =701

2 = 350,5

La médiane correspond à la 351^ème valeur des effectifs cumulés croissants soit 1000 heures.

*₊= 1000

) 4 =701

4 = 175,25

Le 1^er quartile correspond à la 176^ème valeur des effectifs cumulés croissants soit 700 heures.

,= 700

3)

4 =3 × 701

4 = 525,75

Le 3^e quartile correspond à la 526^ème valeur des effectifs cumulés croissants soit 1300 heures.

,_-= 1300

Le 3^ème quartile correspond 4. Le constructeur des ampoules de type A affirme que « plus de 75% des ampoules durent 700

heures ou plus » ; cette affirmation est-elle vraie ? Justifier.

La somme des effectifs correspondant à une durée de vie supérieure ou égale à 700 heures est de : 813 heures (100 + 110 + 130 + 107 + 105 + 100 + 72 + 28 + 33 + 17 + 9 + 2)

Soit 81,3% des ampoules donc l’affirmation est vraie.

813

1000× 100 = 81,3

Durée de vie 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800

Effectifs B 72 70 68 70 69 62 57 53 50 46 40 23 13 8

4

1. Calcul du salaire annuel moyen

̅ = 1

1000× (9,5 × 50 + 10,5 × 50 + ⋯ + 45 × 100) ≈ 24 Le salaire annuel moyen est d’environ 24 milliers d’euros.

2.

Salaire [9;10[ [10;11[ [11;15[ [15;20[ [20;25[ [25;30[ [30;40[ [40;50[

Centre 9,5 10,5 13 17,5 22,5 27,5 35 45

Effectif 50 50 50 256 244 125 125 100

Effectifs cumulés croissants 50 100 150 406 650 775 900 1000

3. Diagramme des effectifs cumulés

5

4.

Le premier décile correspond au salaire au-dessous duquel se situent 10% des salaires

Sur le graphique, les tracés sont en rouge.

/1 = 11 ,1 = 17 ,3 = 29 01 /9 = 40

5. Calcul de la médiane )

2 =1000 2 = 500

La médiane correspond à la 500^ème valeur des effectifs cumulés croissants soit la classe [20; 25[

*₊= [20; 25[

D’après le graphique, *₊= 21,9 milliers d′euros

(faire un produit en croix avec l’échelle de votre graphique) 6. Le diagramme en boîte

7. Calcul de l’écart inter-quartile (Ile de France) ,_-− , = 29 − 17 = 12 milliers d′euros

Calcul de l’écart inter-quartile (Province) Par lecture graphique

,_-= 20 ,= 12,5

,_-− ,= 20 − 12,5 = 7,5 milliers d^<euros)

On observe que les salaires sont beaucoup plus élevés en Ile-de-France mais aussi qu’ils sont beaucoup moins homogènes dans leur répartition.

En effet, l’écart inter-quartile (longueur de la boıte sur le diagramme) est beaucoup plus important pour l’Ile-de-France.

Exercice 3

) + 2)

= 1 + 2) + 2 + 2) + 3 + 2) + 4 + 2) = 3 + 4 + 5 + 6 = 18

) − 2)⁼= 1 − 2)⁼+ 2 − 2)⁼+ 3 − 2)⁼+ 4 − 2)⁼= −1)⁼+ 0⁼+ 1⁼+ 2⁼= 1 + 1 + 2 = 4