Quelques remarques sur les surfaces lagrangiennes de Givental

JGP-VoL 7,n. 4,1990

Quelques remarques sur

les surfaces lagrangiennes

de Givental

MICHELE AUDIN

Université Lous Pasteur Institut de Recherche Mathematique Avancée

7, Rue René Descartes F-67084 Strasbourg, Cedex

Résumé. Nous donnons tine nouvelle démonsLration d ‘une formule dnumérative de Givental stir leg singularités de certaines surfaces lagrangiennes. Laméthode est de comparer ces surfaces lagrangiennes singulières

a

des courbes complexes qui se désingulansent par éclatement. On obtient aussi unc formule analogue modulo 4 pour des surfaces non-orientableset on montre comment obtenir bus les exemples de plongements lagrangiens de Giventaipar chirurgie lagrangienne.

Abstract.

We give a new proof of an enumerative formula of Givental about the singularities of certain lagrangian surfaces. The methodis to compare these lagrangian surfaces to complex curves which may bedesingularised by blowing up. A modulo 4 formula for non-onent.able surfaces is also obtainedand it is shown how to construct all the Givental lagrangian embeddings by lagrangian surgery.

L’essentiel de ces notes vise

a

reprendre, un

pcu

différemment, les constructions de

Givental dans le trèsjoli article [4]. 11 y montre des plongements lagrangiens (dans 1R4)

dc prcsque toutes les surfaces susceptibles d’en posséder, c’est

a

dire le tore et les

surfa-ces non-orientables de caracténstique d’Eulcr divisible par 4 (le seul cas de Ia bouteiUe

de Klein restant en suspens). Dc plus ii considère des plongements lagrangiens..

.

qui

ne sont pas des immcrsions (mais sont des plongcments topologiqucs), le modèle

lo-cal en est une variante lagrangienne du parapluie de Whitney, qu’on a déployé pour le

Key-Words: Plongement lagrangien,singularitác, parapluiedeWhitney. 1980MSC: 57R90, 53C15, 57R20, 58C27.

M1(HLLF AIJDIN

débarasser dc scs points doubles (autremcnt tilt, on déploic des parapluics pour plongcr des surfaces).

Dans Ic premier paragraphe, je vais décrire Ic parapluie déployé et donner une raison plutôt concepluclic pour laquelle chacunc de ces singularités dolt apporler une coninbu-lion de —

1

a

I’auto-intcrsection de la surface: c’csl qu ‘un éclatemcnt est en cause. J’ex-pliqucrai aussi pourquoi il est normal qu’un point double joue plus ou nioins Ic méme

role que deux parapluics. Ccci permet de montrer une formule énumérativc pour Ics points doubles et Ics parapluies [4] d’une surface orientée, je montrcrai aussi qu’on a une formule analogue modulo 4 pour les surfces non-orientables.

Dans Ic deuxième paragraphe,je décrirai (d’une façon pas lrès originate) les surfaces de Givental et aussi des plongements lagrarigiens de toutcs les surfaces non-orientables dans des variétés symplectiques <aussi petites que possib1e>~.

Presquc tout cet article se passe dans

T*Rn

= R2~= C’~(avec en gCnéral

n

=2 ). Les coordonnécs usuelles dans Ia base R5 sont notécs (q1, .. ,

q,~)

, les coordonnées cotangentcs ou imaginaires pures (p~,. . . ,

p,~)

(q1,.,q~,p1,-,p~)= (q1 + lpl ,..., q~+tp~)

Ia

1

-fornie A =

~ p~dq~

est dite

forme dc Liouville, w = = ~ dp~A

dq5

est Ia forme symplectique. Si

n

= 2

wAw=2dq1

Adp1Adq2Adp2

=—2dq1 Adq2

Adp1

Adp2

determine donc l’oricntation de

R4 avec laquelle nous travaillons, c’cst aussi celle

dCfinie par

Ia

structure complexe de ~2 ,

I’orientation dCfinie par i

étant celle oO

(e1,ie1,e2,ie2) estunebasedirectc.

Un morceau de variété ou une immersion (q,p) :

v~

—~

T*R2~5est dit(e)

lagran-gien(ne) si w s’y annule, c’cst

a

dire si A y dCfinit une I -forme ferméc. Si ir :

V

—p

V

est le plus petit revétement sur lequel A admet une primitive

z

, I’application

-~ x R

x~ (qoit(z),z(~))

définit Ic front d’onde

de

~.

Le

dessin de l’image d’un domaine fondamental sous l’opération du groupe de ii sera dit front d’ondc de

V.

Si

V

=

V,

c’cst

a

dire si A est exacte, on dit que l’immersion est exacte.

EXEMPLES. 1) La figure 1 reprCsente deux immersions lagrangiennes du cercle dans

T*R

et leurs fronts d’onde. Dans le premier cas, A est exacte (aire entourée nulle)Ct

QUELQUES REMARQUES SURLESSURFACES.. - 585

(~q

z / z

Figure 1.

2) Dc même la figure 2 représente le front d’un plongement lagrangien du tore. et la

figure

3 le front d’une immersion lagrangienne (exacte

!)

de la sphere S2 avec un seul

point double (immersion de Whitney).

586 MICIIIiI.E AUI)IN

Figure 3.

On voit que

l’Cquation dz = p1dq1 + p2dq2 permet

dc reconstituer Ia surface

Ia-grangienne quand on connait son front d’ondc. Dc mCme, si les points doubles du front n’ont pas grandc signification, ccux dc la lagrangienne sont reprCsentés par deux points du front qui ont mCme projection sur Ic plan des q et des plans tangents parallèles.

1.

LE PARAPLULE DEPLOYE

1.1. Déploiement du parapluie

La façon Ia plus conceptuelle

dc décrire cc morccau de surface lagrangienne est sans doute Ia suivante: on considère le point de rebroussement ou parabole semi-cubique, ou cuspparamCtrépar q1 =

t2, q~

= 2t3/3 dansleplanréel R2 . LeparapluiedéployCcst son fibréconormaldans T*R2 ,autrement dit c’est Ia surface qu’on obtient en rCsolvant p1dq1 + = U et qu’onpcutparamétrer par

/2

(1) (q1,q2,p1,p2) = (~t2,~-t3,tu,--u

Le fibre conomial de toute courbe lisse est par definition une surface tagrangicnnc de T*R2 - Cc que nous venons dc faire scniblc done être Ia mCthode Ia plus simple pour construirc unc surface lagrangienne singulièrc.

Les formutes (1) décrivent un plongement topologique de R2 dans

T*R2

,qui est une immersion partout sauf en 0 ofl il est dc rang I

-La projection de cettc surface sur Ic sous-espace des (q1 Pi P2) cst un parapluic de Whitney, cc qui justifiel’appcllation de parapluic (dc Whitney) d~)ploycquc lui a donnée Givental.

QUELQUES REMARQUES SURLESSURFACES.-.

587

Figure 4. Le parapluie plié.

Par construction méme, Ia projection sur le plan des (q1, q2) n’est pas générique,

aussi on

pourra

trouver plus agréable d’utiliser la surface paramétrée par

(2)

(q1q2p1p2)

= (t2~tu~t3)

qui lui correspond par le difféomorphisme symplectique (q1,q21p1,p2)

i—p (q1,p2, Pi,—q1).

Dans cette nouvelle écriture, en résolvant

dz = Pi dq1+ P2

dq2 on obtient la

fonction génératrice

z=

2 t3 u/3 ,ce qui permet de considérer le front d’onde

“2 23

(q1,q2,z) =

(\t ,u,~-t

u

que (3ivental appdlle parapluieplié

et qu’on voit sur la

figure

4: l’axe des q1 est une

arête de rebroussement et l’axe des q2 une ligne de

points

doubles. On

appellera

surface

lagrangienne plongée (resp. immergéc) au sens de Givental une surface

f: V —~

T*R2

isotrope

(f*Li =

0

)

avec comme seules singularités des parapluies déployés (resp. et

des

points

doubles ordinaires).

1.2. Edatement

Identifions T*RZ

~ 2 comme

on a dit et

~

2

a

IHI

par (q1 + ip1,q2+ip2) ‘—‘q1 +ip1 +(q2 +

588 MICIIIil.nA1Jl)IN

Notre surface (1) est alors paramCtrCe par

Q(t,u) = t2+ itu+ y~t~— ku

=t2 —ku +

t

(~t2 ku)~.

On est maintenant bien tentC de considérer Ia

surface paramCtréc

par

Q~(t, u) = t2 — ku+t(vt2 — ku)j

-C’est unc surface totalcmcnt réclie de ((~2, i) qui a Ics mémes propriCtCs que Ic

para-pluie déployC pour v

~ U sauf qu’eIlc n’est isotropc que pour

v= 2/3

-Pour v =

I

, dIe est l’image de Ia surface de ~ 2 k) dCfinie par Q1 (t, u) = (t2 — ku,t)

par I’Cclatcment(k -eomplcxe)

cr:(~2,k) ~(G2,k) (z,~3)F-*

(x,x/3)

Q1 est une surface lissc totalcmcnt réellc (pour k)

dont

Ic plan tangent rencontre

l’cx-ceptionnelle

E (i =

0) de I’éclatcment Ic long d’unc droite (recIte).

1.3. Nombre d’intersection local et énumération des parapluies

On en déduit facilcmcnt

PROPOSITION 1.3.1.

([4]

au signe près) Soil V unc surface lagrangicnnc orientéc im-mergée au sens de Givcntai. Alors

V- V=

—x(

V) + 2 d— p

oi~d désignc Ic nombrc algébriquc de points doubles ci p Ic nombrc de parapluies déployó.c.

EXEMPLE. La figure 5 reprCsente Ic front d’onde d’un plongement lagrangien dans

QUELQUES REMARQUESSURLESSURFACES..- 589

Figure5.

O=—(—2)+O—2.

REMARQUE. La convention d’orientation utilisCe par Givental est assez mauvaise

(orientation opposée

a

celle donnée par la forme symplectique) pour qu’il trouve une

forrnule avec des signes opposes

a

ceux qui apparaissent ci-dessus. En particulier,

cha-que parapluie lui apporte

une

contribution de +1

.

C’est en essayant de me convaincre

qu’il

était

nécessaire de trouver

—

I que

j

‘ai remarqué l’éclatement dont il est question

‘ci.

La demonstration de cette formule est facile et folklorique quand on a affaire

a

une

vraie immersion (pour ce type de calculs, je me

permets

de rcnvoyer le lecteur

a

[3]).

Pour obtenir le cas plus général considéré ici, il suffit de verifier que chaque parapluie

dCployé apporte une contribution de —1

.

Ce

—

I n’est

autre

que I’auto-interscction de

l’exceptionnelle de l’éclatcmcnt, plus précisément:

DEMONSTRATION. Toutes les surfaces

Q~

(pour v

~

0

)

ont la mCme auto-intersection,

on calcule done celle de

Q, .

La surface

Q1

est sa transformée stricte et

son intersection

avec

E

est nulle : on déforme (t2

— ku,t)

en

(12 + S— ku,t)

qui ne rencontre

pas

E( z

=

0) pour s > 0. L’auto-intersection

locale

de

Q1

est égale

a

celle de

a~Q,=Q,UEquiestdonc —l=E.E.

Bien entendu, si V n’est pas orientable, Ia proposition 1.3.1 reste vraie modulo 2

mais

ce n’est pas très intéressant. En

réalité,

on a comme dans le cas des vraies

immer-sions

une formule

mod

4 ([5], voir aussi [3]). Appelons

w1

la premiwère classe de

Stiefel-Whitney de V. ainsi (wi,

[V])

E Z /2

.

De méme le nombre

d

des points

doubles tie peut

être

défini que dans

-

Z

/2

.

Désignons par 2 : Z /2

~

Z /4

l’ho-momorphisme non-trivial, de sorte que 2 d, par exemple,

représente

un entier modulo

5’10 MICflFI.EAUIJ!N

PRO[’OSITION 1.3.2. Soil V unc surface lagrangicnnc immcrgéc dans

T*R2

(au sens

de GivcntaJ). A furs

O=—x(V)+2(w~,[VJ)+2d_-pmod4

=~(V)+2d—pmod4

DEMONSTRATION. On Cclate (pour

k)

les points de

~

2

oO V a des parapluics ci on

obtient unc immersion

f’

:

V

~2 (CclatCc de C2 en ecs points). On calcule

0= f~IV1

-f~[V1

=f~[Vj

-f~[Vl

-p

comnic on a vu plus haut (l’auto-intersection est hien dCfinie dans 7 )Ctd’autre part

f~IV1-f~[V] =(e(N1),[V])+

2(w1(N1,)2,[ V1)

+

2d(f’)

mod4

puisquc f’ esi unc immersion 15]. II reste

a

identifier

Ic

fibre NJ .

Je dis quc

(e(Nj,),

IV]) = —~(V), dont on dCduitque N1, ~

—TV

done aussi que

w,(N1,)

=

-D’oO

Ia proposition, Ia dcuxième égaliiC resultant siniplcmcnt du fait quc

(w~,

IVI)

~(V)mod2.

U

DEMONSTRATION DE L’ASSERTION.

11

suffit dc construire unc section de N1 qui a les mCmes zeros qu’une section (transverse

a

Ia section nulle) de TV ci de faire attention

aux signcs. On choisit

près

de chaquc singularitC de

f

un

pararnCtrage tel quc (2) et dans cclui-ei, on définit un vecteur tangent

a

V

par X =

a/au

(l’imagc par

f

cst Ic vecteur non nul

(i, 1)

). On prolonge ces donnCcs locales en un champ de vecteurs X

a

singularités isolécs sur

V

et on définit un champ transverse

Y

en multipliaru l’imagc

dc

X par i. Près de chaque singularité, on a

Y

=

(—t,—i)

= —1+ ij = —t+k.

On

relèvc

Y

en un champ

Y

de sorte quc Y = (—t+ kU) près des ex-parapluies. On en dCduit aisCmcnt un champ normal

a

f’ ,qui a Ics mCmcs zeros

que X

,et, modulo Ia

facile verification de signe, le résultat. .

2. EXEMPLES DE SURFACES LAGRANGIENNES DANS T*R2

2.1. Confluence de parapluies et points doubles

Si W

=

T*R2

dans

laquelle V

. V =0 par force, 2

d

—p=

x(

V) ne depend done

pas du choix de l’immcrsion. Ceci n’est pas très Ctonnant:

it

est possible dans certains cas d’élimincr ensemble deux parapluies ci un point double (positif) ou de remplacer

QUELQUES REMARQUES SUR LES SURFACES..- 591

deux parapluies par un point double (nCgatif).

Les modClcs suivants sont aux confluences

de parapluies décrites dans [1] cc

quc Ics parapluics déployés sont aux parapluies.

Le morceau de surface est paramétré par

f(t,u) = (t2iu,tu2 +at3 —

vt ~t3u)

=(q,,q2,p,,p2)

oü v ~ R est Ic paramètre de la deformation et a

= +

1 va dCcrire les deux types de

deformations (elliptique ou hypcrbolique). Le plus simple est d’exhiber et de dessiner

les fronts correspondants (figures 6 et 7).

g~(t,u) (t2,u,~-t3~2 + ~-at~ — ~~vt3) =(q1,q2,z)

Figure 6.

a =

I cas elliptique.

592 suciñ.i~AVD!N

tin point double de Ia surface correspond

a

deux

points du front qui ont mCme

projec-tion sur Ic plan des q

et des plans tangents parallèles. Dans Ic cas elliptique (a =

I

)

iI

ya un point double pour

v

> 0 obtenu pour

(t, u)

= (±.J~J,(I) : dans Ic cas hyper-bolique (a = —l ), il yen a un pour v < 0 , obtenu pour (lu) = (i}~ . Un calcul direct montrc quc le premier est > 0 et Ic second < 0

2.2. Parapluies, points

doubles

et anses d’indice I

La figure 8 reprCsente une anse avec un point double (nCgatif) et unc anse plon’ -(avec dcux parapluics). Les

deux permcttent de faire

des sommes connexes de surfaces orientCcs ou non (encore unc fois, un point double nCgatif <vaut>~deux parapluies). Par exemple, Ia surface de genre 2 rcprCsentCe sur Ia figure

5

cst Ia somme connexe de deux tores standard (figure 2) realisee grace

a

l’anse

a

parapluies. La figure 9,

qualit

a

dIe, reprCsente Ia sornme connexe de g tores, rCalisCe avec des anses inimergécs. II s’agit d’une vraic immersion lagrangienne dc la surface de genre g ,avec p — I points doubles (nCgatifs).

Figure 8.

~

~-J~--. ~-, -

-i

QUELQUES REMARQUES SUR LES SURFACES...

593

Figure 10.

Ces anses peuvent aussi

être ajoutees

a

des surfaces connexes, celle

a

parapluies

détruit

alors l’orientabiité. Par exemple, si on

ajoute

l’anse

a

parapluies

a

l’immer-sion de Whilney (figure 3) on obtient une immerl’immer-sion de La

bouteille de Klein avec un

point double et deux parapluies (figure 10).

2.3.

Les surfaces orientables

Tous les triplets d~, d_, p

de nombres

0

qui vérifient

2g—

2+ 2d~

— 2d.p

0

c’est

a

dire la proposition 1.3.1 peuvent être rdalisés conune

nombres de points

dou-bles positifs, négatifs, de

parapluies pour

une immersion

lagrangienne

d’une surface

orientable de

genre g. Grace aux

modèles de 2.1

et au fait qu’il est très facile de

créer

une paire de

points doubles de signes opposes

(hélas l’inverse est

moms evident) ii est clair qu’il suffit de montrer

qu’on peut rdaliser le

nombre

minimum de points doubles

autorisé par la proposition, c’est

a

dire

d~

=

1,

d = 0

pour

La sphere,

d~

=

d_

= 0

pourle tore,

d~= 0,d_ = g—l pour

une surface de genre

g 2. C’estceque

594

MICIIELE AU DIN

P

-~ -- . .--~

1

:2

Figure 11.

2.4. Elimination de points doubles

II est classique [2J et folklorique

qu’on

peut réaliser

toutes

les chirurgies (et tous

les cobordismes élémentaires) dans le cadre

des immersions lagrangiennes, grace aux

familles génératrices

S~(a,q)= — aQ(q) +ay

oü y E [—

I,

I] est un paramètre, a E R,

Q

est une forme quadratique

non-dCgCnérée

sur R’~.On a

=

a2

— Q(q)+y

cc qui fait quc la sous-variCté de R x R’~dCcrite par 8S~/ôa

= 0 est une quadrique

(son type depend de la signature de

Q

et du signe

de y

)

et

(a,q)

~ (q~-~)

en dCcrit une immersion lagrangienne dans T*Rn. Considérer p comme une variable

supplCmcntaire revient

a

considCrer le cobordisme éLémentaire d’indice

ad hoc,

dans

l’espace T*R~~I

Dans le cas qui nous intéressc, it convient de choisir ~ définie positive et n

=

2

QUELQUES REMARQUESSUR LES SURFACES...

595

~q~q

y<0 y>0

Figure 12.

On vCrifie aisément, soit directement soit grace

a

1.3.1 que

l’anse est orientable si

et seulement si le

point double était positif. A partir des exemples de la figure II on

construit done ainsi tous les exemples de plongemenLs de surfaces non-orientables de

[4]: on remplace chaque point double négatif par une anse non-orientable (ou plus

exac-tement désorientante) comme sur la figure 13.

La méme chirurgie appliquée au point

double positif de l’immcrsion de Whitney (dont le front est la soucoupe volante) foumit

le plongement usuel du tore T2 (figure 14).

596 MICI1EI,EAIJI)IN

Figure 14.

2.5.

Surfaces non-orientables dans P2

(

C)

Utilisons Ia structure symplectique standard sur P2( C) et montrons

PROPOSITION 2.5.1.

Pourqu ‘une

surface non-orientablcpossèdc unplongcment

lagran-glen dans

P2 (

C) , ii laurel ii suffit que sa caractéristiquc d ‘Euler soil

0

ou

I

modulo

4.

DEMONSTRATION. Ii est clair que toutes les surfaces qui ont un plongement lagrangien

dans R4

en ont un

dans

n’importe queUe variété symplectiquc. II suffit done de sc préoccupcr de

Ia bouteille de Klein

ci des surfaces de caractCristique d’Euler I modulo 4.

Plongeons d’abord Ia bouteille de Klein: on commence par deux excmplaires

lagran-giens de p2 (R)

,

par exemple

{[

a, b, c] mid a,

b,

c E

R}

ci

{[

ia,

ib,

cJ

mid a, b, c E

IR} qui se coupent transversalement en [0, 0, 1]

.

On applique Ia chirurgie dCcrite

ci-dessus, cc qui remplace Ic point d’intcrsection par une anse plongée et donne done bien

un plongement lagrangien de

Ia boutcillc de Klein.

On applique Ia mCmc mCthode pour plonger Ics autres surfaces en question: Ic cas de

F2(R) (c’cst ~dire le cas üü

x

=

1) estctair(on vient dc I’utiliser). Soicnt mainlcnant

unc surface V plongéc avec caractCristiquc d ‘Euler 0 mod 4 et un

P2 (

R) lagrangien qui la rencontre transvcrsalcment en deux

points.

On applique Ia chirurgie en chacun de ces deux points, obtenant

ainsi

une nouvelle surface

V’ plongCc, dont la caractCristique

d’Euler est

=

x(V)

+

x(P2(R))

—4 =

x(V) —3

on a ainsi construit un exemple de plongement lagrangien pour chacunc des surfaces en question.

QUELQUESREMARQUES SUR LES SURFACES...

597

(P2 K

Figure

15.

LEMME 2.5.2. Soil

f:

V

—÷

W

uricimmei~ion

d

‘unc varlété

V

de

dimension

n palm

da.ns

unc va.riété compacte

orientée W de dimension 2

n. Soit u

E

H’~(W;

Z /2)

Ia

cla.sse duale

a

1 ‘image de [V

1.

Si

f:

H”(W;Z/2) —~ H2~(W;Z/4)

désignc Ic

carré

de

Pontrjagyn,

alors

-

(2u,[W])+2d(f)~(e(Nj),[V])

+2(w1(N1)w~.1(N1),[V])mod4

U

En fait, w1(N1)

=

w1(V) (puisque W est orientable). En plus dans le cas oü

W =

P2(

C) ,

le carrC de Pontrjagyn est très facile

a

calculer puisque la

cohomolo-gie est en fait entière: on a

Vu = ü ‘.-.-

ümod4 pour n’importe quel ii relevant

u

dans H2(P2(C); Z)

,

en;particulier (Vu, [WI)

=

0 ou I suivant que

u=

0 ou

MICIHOl DIN

lo~rangicnncinenIdans P2

(

C) Ic lemme donne done

(Pu,I WI) +

0

—~(V)+ (w~,[ V]) EX(V)rnod4

LEMME 2.5.2. Rcrnarquons, comme consequence immediate, qu ‘en Cclalanidcuxpoir’ aslucieuscincnl choisis dans

P2 (

C)

,on en déduit desplongemenis lagrangien.c c/c lou-Ics lessurfacesnon-orientahies dans Iavane/cobtenue par cci éclatement.

REFERENCES

[1] F.API~RY,Modelsofthcrca/projecliveplane, Vieweg, Braucschweig, 19~7.

2! V.!. ARNOI.D, cobordismes Iagrangicn.c ci lcgendn’ens JetII, Funkts. Anal, ego Priloi.h.

14

(1980), fasc. 3, 1-130 et 4,8-17.

3] M. At‘DIN,Fihréicnorinauxd ‘iinmcr.s’ions en dimensionrnoitié, pointsdoubles d ‘immncrsion.c Iagrangicnnes ctplongements iotalcmcnt rCeic, Comment. Math. Helvctic 63 (1988), 593-623.

[4] A.B. CIVI:N’I’Al., Plongc;ncnts lagra.ngicns de surfaces ci parapluiesde WhitneydCp/oyCs,

Funkts. Anal, ego Prilozh. 20(1986), fasc. 3,35-41.

51

J. LsNNI:S,Surles immersion dc Boy,Algebraic topology, Aarhus 1 9~2,Madsenand Oliver, eds., Lecture Notes in Mathematics 1051, 19K3.

Manu.ccript received: October 9, 1990 Revised version: February5,1991