A10167. Fin de factorielle
Le produit 1.2.3. . .99.100 se termine par un certain nombre de z´eros, mais quel est donc son dernier chiffre non nul ?
Mˆeme question pour 2005! = 1.2. . .2004.2005.
Solution
Voici une m´ethode g´en´erale pour obtenir le dernier chiffre non nul den!.
Si n > 1 ce chiffre est pair, car il y a toujours plus de facteurs 2 que de facteurs 5.
Je regarde d’abord lesn multiples de 5 :n= 5q. J’observe que
(5q−1)(5q−2)(5q−3)(5q−4) = (25q2−25q+ 4)(25q2−25q+ 6) =
= 24 + 500Cq2(1 + 5Cq2), avecCq2=q(q−1)/2, entier,
et il revient au mˆeme, pour obtenir les z´eros finaux et le dernier chiffre non nul de (5q)!, de multiplier (5q−5)! par 20q.
R´ep´etant cette op´erationq fois, on voit que (5q)! “se termine” (z´eros finaux et dernier chiffre non nul) commeq!20q.
Sin= 5q+m (m = 1 `a 4), le produit (5q+ 1). . .(5q+m) a le mˆeme effet sur le dernier chiffre non nul quem!.
Ecrivons n en base 5 : n = a0 + 5a1 + 25a2 +. . ., n! se termine comme a0!(a1+ 5a2+. . .)!20a1+5a2+.... En r´ep´etant l’op´eration,n! se termine comme a0!a1!(a2+ 5a3+. . .)!20a1+5a2+...+a2+5a3+....
En r´ep´etant l’op´eration jusqu’au chiffre de gauche de l’´ecriture denen base 5, on obtient quen! se termine comme 20rQi(ai!). L’exposantr de la puis- sance de 20 vaut a1+ 6a2+ 31a3+. . .; c’est le nombre de z´eros finaux de n! et l’exposant de 5 dansn!. On sait qu’il vaut r= (n−s)/4, sis=Piai. J’observe, pour finir, que le facteurai! compte pour 1 siai = 0, 1 ou 3 (car multiplier un nombre pair par 6 ne change pas son chiffre des unit´es), pour 2 si ai = 2, pour 4 si ai = 4. Laissant tomber les z´eros, on est ramen´e `a multiplier des puissances de 2, et cela conduit `a l’algorithme (valable pour toutn≥2) :
– ´ecrire n en base 5, faire la somme s des chiffres obtenus ; – compter le nombre b des chiffres 2 et celuic des chiffres 4 ; – le dernier chiffre non nul est 6, 2, 4 ou 8 selon que l’expression (n−s)/4 +b+ 2ca pour reste (modulo 4) 0, 1, 2 ou 3.
Comme 100 s’´ecrit 400 en base 5, on en tire que le dernier chiffre non nul de 100! est un 4. De mˆeme, 2005 s’´ecrit 31010 en base 5, et le dernier chiffre non nul de 2005! est un 6.
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