D112-La chaîne des cercles de Fibonacci

D112-La chaîne des cercles de Fibonacci Solution

En commençant par le cercle C(3) de rayon R , on applique le théorème de Pythagore au ₃ triangle PC₂C₃ qui donne (R₂R₃)²R²₂(R₂R₃)²

D’où R = ₃ R /4 = 1/4. Les coordonnées de ₂ C₃ sont respectivement x =1 et ₃ y =1/4. ₃ En considérant maintenant les trois cercles C(2), C(3) et C(4), on a les relations suivantes :

3 2 2

3 2 2 3 2 3

2H (R R ) (R R ) 2 R R

H     

4 2 2

4 2 2 4 2 4

2H (R R ) (R R ) 2 R R

H     

4 3 2

4 3 2 4 3 4

3H (R R ) (R R ) 2 R R

H     

Comme H₂H₃=H₂H₄+H₃H₄, il en découle 1/ R = 1/₄ R + 1/₂ R relation que l’on ₃ peut aisément généraliser aux trois cercles C(n) C(n+1) et C(n+2) et qui s’exprime sous la forme 1/ R_n2 1/ R_n 1/ R_n1 (A)

Par ailleurs le rapport H₄H₂/H₄H₃= R₂/R₃ permet de calculer les coordonnées x et ₄ y de ₄

C à savoir 4 x /₄ R = ₄ x /₃ R +₃ x /₂ R et de manière générale ₂

1 n 1 n n n 2 n 2

n / R x / R x / R

x _{ }   _{ } (B)

En posant u =_n 1/ R_n avec u₁u₂ 1, la relation (A) devient u_n2u_nu_n1, c’est à dire la suite de Fibonacci donc R_n 1/F_n². De la même manière, si l’on pose v_n x_n/ R_n , la

relation (B) s’écrit v_n2v_nv_n1 avec 1

et v 0

v₁ ₂ soit encore la suite de Fibonacci à un facteur 2 près et décalée d’un rang Il en résulte x_n 2F_n-1/F_n. Quand n tend vers l’infini, x tend vers 2/_n = 51 où  est le nombre d’or = ( 51)/2.