Loi de comportement du matériau

(1)

ELASTICITE

Cadre général

Résistance des solides

Courbe force-allongement

Courbe contrainte-déformation Relation contrainte-déformation

Domaine d’élasticité Historique

L’essai de traction

Loi de comportement élastique linéaire Loi de Hooke généralisée

Énergie de déformation élastique Symétrie cubique

Bilan Résumé

Tenseur des contraintes Tenseur des déformations

Comportement élastique linéaire isotrope

ELASTICITE

(2)

Domaine d’élasticité L’essai de traction

Bilan Résumé

Loi de comportement du matériau

Hypothèse des petites perturbations Hypothèse des petites

perturbations

vecteur déplacement : u( X ,t) vecteur contrainte : t ( X, n, t) tenseur des déformations :

ε = ½ (grad(u) + grad(u) ^t )

tenseur des contraintes : t = σ ^{. n avec} σ ⁼ σ ^{( X, t)}

équations de compatibilité

ε _ki,jl ⁺ ε _lj,ik ⁼ ε _kj,il ⁺ ε _li;jk équations d’équilibre :

σ _ij,j ^{+ f} _vi ⁼ ργ _i

conditions aux limites :

u = U sur ∂ Ω _u conditions aux limites :

σ . n = T sur ∂ Ω _T

(3)

traction flexion

Discorsi e Demonstrazioni matematiche Galilée (1638) :

ELASTICITE

Cadre général

Bilan Résumé

Comportement élastique linéaire isotrope Résistance des solides

(4)

Hooke (1660) :

Mariotte (1680) :

notion de module d ’élasticité Relation

entre déformations

contraintes et élasticité en

même loi, appliquée aux expériences de Galilé (fibres tendues et conprimées en flexion)

Young (1807) :

Bilan Résumé

Comportement élastique linéaire isotrope Relation contrainte-déformation

(5)

partie utile

él as tic ité P la st ic ité ho m og èn e lo ca lis at io n

élasticité

ELASTICITE

Cadre général

Bilan Résumé

Comportement élastique linéaire isotrope Courbe force-allongement

(6)

Pour passer de F à σ , il faut connaître la section courante S de la partie utile de l ’éprouvette

σσσσ

0 0 0

0 0 section S F/S

Bilan Résumé

Comportement élastique linéaire isotrope Tenseur des contraintes

(7)

x =

X ₁ (1- β t) X ₂ (1- β t) X ₃ (1+ α t)

v = - β x ₁ /(1- β t) - β x ₂ /(1- β t)

α x ₃ /(1+ α t)

ε ⁼

ln (1- β ^t)

ln (1+ α ^t)

0 0

lagrangien (Green-Lagrange) : E =

- β ^{t + ½} β ² ^t ²

α ^{t + ½} α ² ^t ²

0 0

eulérien (Euler-Almansi) : cinématique :

E =

0 0

1 - 1 (1- β ^t) ²

1 - 1

1 - 1 (1- β ^t) ²

(1+ α ^t) ²

En pratique, intégration du champ de vitesses

de déformation

ELASTICITE

Cadre général

Bilan Résumé

Comportement élastique linéaire isotrope Tenseur des déformations

(8)

ε ₃₃ ^{= ln(1+} α ^t)=ln(l/l ₀ ⁾ σ ^=F/S

Bilan Résumé

Comportement élastique linéaire isotrope Courbe contrainte-déformation

(9)

σσσσ = σ ₃₃

0 0 0

0 0 1

σ ₃₃ = E ε ₃₃

E Module d ’Young

εεεε = ε ₃₃

- ν

0 0

0 - ν

0 0 0 1 Coefficient de Poisson

ELASTICITE

Cadre général

Bilan Résumé

Comportement élastique linéaire isotrope Domaine d’élasticité

(10)

ε ^{= S:} σ Tenseur des complaisances

36 coefficients !!!!

σ ₁₁

=

σ ₂₂ σ ₃₃ σ ₂₃ σ ₁₃ σ ₁₂

ε ₁₁ ε ₂₂ ε ₃₃

2 ε ₂₃

2 ε ₁₃

2 ε ₁₂

C ₁₁₁₁ C ₁₁₂₂ C ₁₁₃₃ C ₁₁₂₃ C ₁₁₁₃ C ₁₁₁₂ C ₂₂₁₁ C ₂₂₂₂ C ₂₂₃₃ C ₂₂₂₃ C ₂₂₁₃ C ₂₂₁₂ C ₃₃₁₁ C ₃₃₂₂ C ₃₃₃₃ C ₃₃₂₃ C ₃₃₁₃ C ₃₃₁₂ C ₂₃₁₁ C ₂₃₂₂ C ₂₃₃₃ C ₂₃₂₃ C ₂₃₁₃ C ₂₃₁₂ C ₁₃₁₁ C ₁₃₂₂ C ₁₃₃₃ C ₁₃₂₃ C ₁₃₁₃ C ₁₃₁₂ C ₁₂₁₁ C ₁₂₂₂ C ₁₂₃₃ C ₁₂₂₃ C ₁₂₁₃ C ₁₂₁₂

Bilan Résumé

Comportement élastique linéaire isotrope Loi de Hooke généralisée

(11)

Le tenseur des rigidités a 6x7/2 = 21 composantes indépendantes !!!

de = δ ^{w +} δ ^q

Par unité de volume en cours de transformation :

Travail mécanique fourni : σ ^.d ε Taux de chaleur reçu : Tds

σ ij = ∂ w

∂ ε _ij ^C îjkl ε _kl ^C îjkl ⁼ ∂εεεε ^∂ ² _ij ^w ∂εεεε _kl ^C îjkl ^{= C} ^klij

ELASTICITE

Cadre général

Bilan Résumé

Comportement élastique linéaire isotrope Énergie de déformation élastique

(12)

σ ₁₁

=

σ ₂₂ σ ₃₃ σ ₂₃ σ ₁₃ σ ₁₂

ε ₁₁ ε ₂₂ ε ₃₃

2 ε ₂₃

2 ε ₁₃

2 ε ₁₂

C ₁₁ C ₁₂ C ₁₂ 0 0 0

C ₁₂ C ₁₁ C ₁₂ 0 0 0

C ₁₂ C ₁₂ C ₁₁ 0 0 0

0 0 0 C ₄₄ 0 0

0 0 0 0 C ₄₄ 0

0 0 0 0 0 C ₄₄

Le tenseur des rigidités a trois composantes indépendantes (C ₁₁ ≡C ₁₁₁₁ , C ₁₂ ≡C ₁₁₂₂ , C ₄₄ ≡C ₁₂₁₂ )

Bilan Résumé

Comportement élastique linéaire isotrope Symétrie cubique

(13)

σ ₁₁

=

σ ₂₂ σ ₃₃ σ ₂₃ σ ₁₃ σ ₁₂

ε ₁₁ ε ₂₂ ε ₃₃

2 ε ₂₃

2 ε ₁₃

2 ε ₁₂

même comportement dans toutes les directions

λ ⁰ ⁰ ⁰

0 0 0

0 0 0 µ ⁰ ⁰

0 0 0 0 0

λ λ

λ λ ⁺² µ

λ ⁺² µ

µ

Le tenseur des rigidités a deux composantes

indépendantes ( λ ^{= C} ₁₁ ^, µ ^{= C} ₄₄ ) : les coefficients de Lamé

Quel est le lien entre les coefficients de Lamé ( λλλλ , µµµµ ) et les paramètres (E, νννν ) ?

ELASTICITE

Cadre général

Bilan Résumé

Comportement élastique linéaire isotrope Comportement élastique linéaire isotrope

(14)

Loi de comportement du matériau

ELASTICITE

ELASTICITE

Loi de comportement du matériau

Hypothèse des petites perturbations Hypothèse des petites

perturbations

vecteur déplacement : u( X ,t) vecteur contrainte : t ( X, n, t) tenseur des déformations :

ε = ½ (grad(u) + grad(u) t )

tenseur des contraintes : t = σ . n avec σ = σ ( X, t)

équations de compatibilité

ε ki,jl + ε lj,ik = ε kj,il + ε li;jk équations d’équilibre :

σ ij,j + f vi = ργ i

conditions aux limites :

u = U sur ∂ Ω u conditions aux limites :

σ . n = T sur ∂ Ω T

traction flexion

Discorsi e Demonstrazioni matematiche Galilée (1638) :

ELASTICITE

Hooke (1660) :

Mariotte (1680) :

notion de module d ’élasticité Relation

entre déformations

contraintes et élasticité en

même loi, appliquée aux expériences de Galilé (fibres tendues et conprimées en flexion)

Young (1807) :

partie utile

él as tic ité P la st ic ité ho m og èn e lo ca lis at io n

élasticité

ELASTICITE

Pour passer de F à σ , il faut connaître la section courante S de la partie utile de l ’éprouvette

σσσσ

0 0 0

0 0 0

0 0 section S F/S

x =

X 1 (1- β t) X 2 (1- β t) X 3 (1+ α t)

v = - β x 1 /(1- β t) - β x 2 /(1- β t)

α x 3 /(1+ α t)

ε =

ln (1- β t)

ln (1- β t)

ln (1+ α t)

0 0

0 0

0 0

lagrangien (Green-Lagrange) : E =

- β t + ½ β 2 t 2

- β t + ½ β 2 t 2

α t + ½ α 2 t 2

0 0

0 0

0 0

eulérien (Euler-Almansi) : cinématique :

E =

0 0

0 0

0 0

1 - 1 (1- β t) 2

1 - 1

1 - 1 (1- β t) 2

(1+ α t) 2

En pratique, intégration du champ de vitesses

de déformation

ELASTICITE

ε 33 = ln(1+ α t)=ln(l/l 0 ) σ =F/S

σσσσ = σ 33

0 0 0

0 0 0

0 0 1

σ 33 = E ε 33

E Module d ’Young

εεεε = ε 33

- ν

0 0

0 - ν

0 0 0 1 Coefficient de Poisson

ELASTICITE

ε = S: σ Tenseur des complaisances

36 coefficients !!!!

σ 11

ε = ½ (grad(u) + grad(u) ^t )

tenseur des contraintes : t = σ ^{. n avec} σ ⁼ σ ^{( X, t)}

ε _ki,jl ⁺ ε _lj,ik ⁼ ε _kj,il ⁺ ε _li;jk équations d’équilibre :

σ _ij,j ^{+ f} _vi ⁼ ργ _i

u = U sur ∂ Ω _u conditions aux limites :

σ . n = T sur ∂ Ω _T

X ₁ (1- β t) X ₂ (1- β t) X ₃ (1+ α t)

v = - β x ₁ /(1- β t) - β x ₂ /(1- β t)

α x ₃ /(1+ α t)

ε ⁼

ln (1- β ^t)

ln (1- β ^t)

ln (1+ α ^t)

- β ^{t + ½} β ² ^t ²

- β ^{t + ½} β ² ^t ²

α ^{t + ½} α ² ^t ²

1 - 1 (1- β ^t) ²

1 - 1 (1- β ^t) ²

(1+ α ^t) ²

ε ₃₃ ^{= ln(1+} α ^t)=ln(l/l ₀ ⁾ σ ^=F/S

σσσσ = σ ₃₃

σ ₃₃ = E ε ₃₃

εεεε = ε ₃₃

ε ^{= S:} σ Tenseur des complaisances

σ ₁₁

σ ₂₂ σ ₃₃ σ ₂₃ σ ₁₃ σ ₁₂

ε ₁₁ ε ₂₂ ε ₃₃

2 ε ₂₃

2 ε ₁₃

2 ε ₁₂

de = δ ^{w +} δ ^q

Travail mécanique fourni : σ ^.d ε Taux de chaleur reçu : Tds

∂ ε _ij ^C îjkl ε _kl ^C îjkl ⁼ ∂εεεε ^∂ ² _ij ^w ∂εεεε _kl ^C îjkl ^{= C} ^klij

σ ₁₁

σ ₂₂ σ ₃₃ σ ₂₃ σ ₁₃ σ ₁₂

ε ₁₁ ε ₂₂ ε ₃₃

2 ε ₂₃

2 ε ₁₃

2 ε ₁₂

C ₁₁ C ₁₂ C ₁₂ 0 0 0

C ₁₂ C ₁₁ C ₁₂ 0 0 0

C ₁₂ C ₁₂ C ₁₁ 0 0 0

0 0 0 C ₄₄ 0 0

0 0 0 0 C ₄₄ 0

0 0 0 0 0 C ₄₄

Le tenseur des rigidités a trois composantes indépendantes (C ₁₁ ≡C ₁₁₁₁ , C ₁₂ ≡C ₁₁₂₂ , C ₄₄ ≡C ₁₂₁₂ )

σ ₁₁

σ ₂₂ σ ₃₃ σ ₂₃ σ ₁₃ σ ₁₂

ε ₁₁ ε ₂₂ ε ₃₃

2 ε ₂₃

2 ε ₁₃

2 ε ₁₂

λ ⁰ ⁰ ⁰

0 0 0 µ ⁰ ⁰

λ λ ⁺² µ

λ ⁺² µ

λ ⁺² µ

indépendantes ( λ ^{= C} ₁₁ ^, µ ^{= C} ₄₄ ) : les coefficients de Lamé

σ ij = 2 µε ij λ ^tr ε δ ij

ε = ½ (grad(u) + grad(u) ^t )

tenseur des contraintes : t = σ ^{. n avec} σ ⁼ σ ^{( X, t)}

ε _ki,jl ⁺ ε _lj,ik ⁼ ε _kj,il ⁺ ε _li;jk équations d’équilibre :

σ _ij,j ^{+ f} _vi ⁼ ργ _i

u = U sur ∂ Ω _u conditions aux limites :

σ . n = T sur ∂ Ω _T