DS3 /130
Exercice 1 : Probablités discrètes /52
Deux personnes P1 et P2 ont rendez-vous dans un complexe formé de cinq sites S1, S2, S3, S4, S5 disposés en pentagone et reliés par des routes comme l’illustre le schéma ci-dessous.
S1 S2
S3
S5 S4
Ils arrivent au rendez-vous à l’heure prévue, mais suite à un malentendu,P1 se présente au site S1 et P2 au site S2. Ils décident alors de partir à la recherche l’un de l’autre. Ils empruntent les différentes routes du complexe, avec les règles suivantes :
× à partir d’un site, chacun choisit de se rendre sur l’un des deux sites voisins, les deux possibilités étant équiprobables ;
× les déplacements des deux personnes se font simultanément ;
× tous les choix de déplacement se font indépendamment les uns des autres.
Ils continuent à se déplacer ainsi jusqu’à se retrouver éventuellement sur un même site (ils ne se rencontrent pas le long des routes). Une fois retrouvés, ils ne se déplacent plus.
A. Modélisatlon du problème
Pour tout entier naturel n, on définit les trois événements An,Bn,Cn :
× An : « les deux personnes sont sur le même site après lenème déplacement »
× Bn : « les deux personnes sont sur des sites adjacents après le nème déplacement »
× Cn : « les deux personnes sont à deux routes de distance après le nème déplacement » On notean,bn,cn les probabilités des événements An,Bn,Cn.
1. Justifier queAn,Bn,Cn.forment un système complet d’événements.
- 2 pts : An∪Bn∪Cn= Ω - 1 pt : 2 à 2 incompatibles
2. Déterminer les valeurs de a0,b0 etc0. - 1 pt : b0= 1
- 1 pt : a0 =c0 = 0
1
3. a) Montrer :∀n∈N,PCn(An+1) = 1 4. - 2 pts
b) JustifierPAn(An+1) = 1.
- 1 pt
c) Déterminer toutes les probabilités conditionnelles analogues.
On représentera les résultats en reproduisant et complétant le schéma suivant :
A
B C
1
1 4
- 4 pts
A
B C
1
0
0 0
1 4 3
4 1
2
1 4
1 4
4. Établir les relations suivantes pour tout entier n∈N :
an+1 = an+1 4 cn
bn+1 = 3
4 bn+1 4 cn
cn+1 = 1
4 bn+1 2 cn
- 2 pts : an+1 =an+1
4 cn (1 pt pour FPT, 1 pt pour probas non nulles) - 1 pt : bn+1 = 3
4 bn+1 4 cn - 1 pt : cn+1 = 1
4 bn+1 2 cn
5. a) Exprimerbn+2 à l’aide debn+1,bn etcn puis exprimercnen fonction debn+1 etbnpour obtenir enfin une relation entrebn+2,bn+1 etbn
- 1 pt : bn+2= 3
4 bn+1+ 1
16 bn+ 1 8 cn
- 1 pt : cn= 4bn+1−3bn
b) En déduire une expression debn en fonction den.
On fera intervenir les nombresα= 5−√ 5
8 etβ = 5 +√ 5 8 . - 2 pts : bn=λ αn+µ βn
- 3 pts : λ= 5−√ 5
10 et µ= 5 +√ 5 10
c) Montrer que pour toutn∈N:cn=
√ 5
5 (βn−αn).
- 2 pts
6. a) Exprimeran en fonction den,α etβ. (on pourra s’intéresser à la somme an+bn+cn).
- 1 pt : an+bn+cn= 1
- 1 pt : an= 1−5−3√ 5
10 αn−5 + 3√ 5 10 βn b) Déterminer la limite de la suite(an)n∈N.
- 1 pt : 0< α <1 - 1 pt : 0< β <1 - 1 pt : lim
n→+∞ an= 1
c) Quelle est la probabilité que les deux personnes ne se retrouvent jamais ?
- 1 pt : R=
+∞
T
k=0
Ak
- 1 pt : P(R) = lim
n→+∞ P n
T
k=0
Ak
- 1 pt : (An) suite croissante d’événements - 1 pt : P(R) = 0
B. Nombre de déplacements avant rencontre
On définit la variable aléatoireXégale au nombre de déplacements effectués par chacune des personnes avant leur rencontre sur un même site.
7. Déterminer X(Ω), l’ensemble des valeurs prises par X.
- 2 pts : X(Ω) =J2,+∞J
8. Soit n∈X(Ω), montrer : P([X =n]) =
√5
20 βn−1−αn−1
- 1 pt : [X =n] = n−1
T
k=0
Ak
∩An
- 1 pt : (An) suite décroissante d’événements - 1 pt : [X =n] =Cn−1∩An
- 1 pt : P([X=n]) = 1 4 cn−1
9. Calculer l’espérance de X.
- 1 pt : convergence absolue - 1 pt : P
n>1
n βn−1 et P
n>1
n αn−1 convergentes car α∈ ]−1,1[ et β ∈ ]−1,1[
- 2 pts : E(X) = 12
10. Calculer la variance et l’écart-type deX.
- 1 pt : convergence absolue
- 2 pts :
n
P
k=2
k2P([X=k]) =
√ 5 20
β
n
P
k=2
k(k−1)βk−2−α
n
P
k=2
k(k−1)αk−2
+
n
P
k=2
kP([X =n])
- 1 pt : P
n>2
n(n−1)βn−2 et P
n>2
n(n−1)αn−2 convergentes car α ∈ ]−1,1[ et β∈ ]−1,1[
- 2 pts : E(X2) = 244 - 1 pt : V(X) = 100
Exercice 2 : Probabilités et analyse /78
Dans certaines situations (paris sportifs, investissements financiers . . . ), on est amené à miser de l’argent de façon répétée sur des paris à espérance favorable.
On se propose de mettre en place une stratégie afin d’optimiser les gains à long terme.
On adopte ici le cadre simplifié suivant : on considère une suite de variables aléatoires (Xn)n∈N∗
indépendantes et suivant toutes la même loi de Bernoulli de paramètre p.
Un joueur mise une partie Mn de son capital sur la réalisation de l’événement [Xn= 1], pour chaque n >1. La variable Mn est supposée indépendante des variables Xk, k ∈N∗.
En cas de victoire, il double sa mise (son capital est donc augmenté deMn), en cas de défaite il perd sa mise (son capital diminue deMn).
Initialement, le joueur dispose du capitalC0>0, puis on noteCnla variable aléatoire égale au capital détenu à l’issue dunème pari.
On a ainsi l’encadrement :06Mn+16Cn pour tout entiern.
Le jeu est supposé favorable, on considérera dans tout le problème : 1
2 < p <1.
I. Quitte ou double
1. Déterminer deux réelsa etbvérifiant : ∀n∈N, Cn+1 =Cn+ a Xn+1+b Mn+1. - 3 pts : Cn+1 =Cn+ (2Xn+1−1)Mn+1 (2 pts pour analyse, 1 pt pour synthèse)
2. Établir : ∀n∈N∗, E(Cn) =C0+ (2p−1)
n
P
k=1
E(Mk).
En déduire que pour maximiser E(Cn) il faut miser tout son capital à chaque pari.
- 2 pts : initialisation (1 pt pour lemme des coalitions, 1 pt pour reste) - 2 pts : hérédité
- 1 pt : si on mise tout son capital, on maximise E(Cn)
3. Montrer que cette stratégie, dite du "quitte ou double", conduit de façon quasi-certaine à la ruine du joueur, et déterminer le nombre moyen de parties conduisant à la ruine (on parle de ruine s’il existe un entier natureln pour lequelCn= 0).
- 1 pt : R=
+∞
S
k=1
[Xk= 0]
- 1 pt : P(R) = lim
n→+∞ P n
S
k=1
[Xk= 0]
- 1 pt : P n
T
k=1
[Xk= 0]
=pn
- 1 pt : P(R) = 0
- 2 pts : Y ,→ G(1−p) où Y correspond au numéro du pari où le joueur est ruiné
- 1 pt : E(Y) = 1 1−p
II. Stratégie à mises proportionnelles
La stratégie précédente étant risquée, le joueur décide d’engager dans chaque pari une fraction du capital dont il dispose : on a ainsiMn+1=α Cn, avec α∈]0,1[(indépendant den).
4. Établir : ∀n∈N, Cn+1 = (1 +α)Xn+1(1−α)1−Xn+1Cn.
- 2 pts : 1 pt pour cas [Xn= 0] réalisé, 1 pt pour [Xn= 1] réalisé
5. On pose Sn=
n
P
k=1
Xk.
Que représente la variable aléatoire Sn? Déterminer la loi de Snet son espérance.
- 1 pt : Sn correspond au nombre de victoires lors des n premières mises - 1 pt : Sn,→ B(n, p)
- 1 pt : E(Sn) =n p
6. Établir : ∀n∈N∗, Cn= (1 +α)Sn(1−α)n−SnC0. - 1 pt : initialisation
- 2 pts : hérédité
7. Montrer : E 1
n ln Cn
C0
= pln (1 +α) + (1−p) ln (1−α).
- 1 pt : Cn(Ω)⊂ ]0,+∞[
- 3 pts : E 1
n ln Cn
C0
= pln(1 +α) + (1−p) ln(1−α)
Par la suite, on cherche à maximiser cette quantité, ce qui équivaut à maximiser l’espérance du taux moyen de croissance du capital.
III. Optimisation : le critère de Kelly
On pose, pour toutx∈[0,1[,f(x) =pln(1 +x) + (1−p) ln(1−x).
8. Étude de f.
a) Étudier les variations def sur]0,1[, et montrer quef est concave.
Montrer quef admet un maximum sur ]0,1[, atteint en un unique réel αK que l’on exprimera en fonction dep.
- 1 pt : f de classe C2 sur [0,1[
- 1 pt : f0(x) = p
1 +x− 1−p
1−x et f00(x) =− p
(1 +x)2 − 1−p (1−x)2 - 1 pt : f concave
- 1 pt : 2p−1∈ ]0,1[
- 1 pt : TV
x Signe def0(x)
Variations def
0 2p−1 1
+ 0 −
0 0
f(2p−1) f(2p−1)
b) Déterminer la limite def en 1 et interpréter le résultat.
- 1 pt : lim
x→1 f(x) =−∞
- 2 pts : interprétation
c) Montrer quef s’annule deux fois exactement sur[0,1[: en0et en un réel αc vérifiantαK< αc. - 3 pts : théorème de la bijection sur [0, αK] (1 pt pour hypothèses, 1 pt pour
intervalle image, 1 pt pour 0∈[0, f(αK)] ) - 1 pt : idem sur ]αK,1[
d) Donner l’allure de la courbe représentative def sur[0,1[.
- 4 pts : 1 pt tangente horizontale en 1
2, 1 pt propreté, 2 pts cohérence avec les résultats précédents
9. Conclusion : le choixα=αKest celui qui optimise la croissance de gain à long terme. Que donnerait l’expression deαK dans les cas limitesp= 1
2 etp= 1? Interpréter ces deux résultats.
- 1 pt : si p= 1
2, αK = 0 et si p= 1, αK = 1 - 1 pt : interprétation p= 1
2 - 1 pt : interpréation p= 1
IV. Étude de la valeur critique αc
Les choix de α au-delà de la valeur critique αc conduisent à une perte de capital. On cherche dans cette partie un équivalent deαclorsque p est proche de 1
2.
On considèrera dans ce qui suit que αc, est une fonction de p (on écrira ainsiαc(p)).
10. On définit la fonction ϕsur]0,1[ par :ϕ(x) = ln(1 +x) ln(1−x).
a) Montrer queϕest prolongeable par continuité sur l’intervalle[0,1].
On notera encoreϕce prolongement.
- 1 pt : ϕ continue sur ]0,1[
- 1 pt : lim
x→0 ϕ(x) =−1 - 1 pt : lim
x→1 ϕ(x) = 0
b) Justifier queϕest dérivable sur]0,1[, et mettre l’expression de sa dérivée sous la forme :
ϕ0(x) = h(x)
(1−x2) ln(1−x)2
- 1 pt : ϕ dérivable sur ]0,1[
- 1 pt : ϕ0(x) = h(x)
(1−x2) ln(1−x)2, où h:x7→(1−x) ln(1−x) + (1 +x) ln(1 +x)
c) Déterminer les variations deh sur]0,1[.
- 1 pt : h dérivable et h0(x) = ln(1 +x)−ln(1−x) - 2 pts ; TV
x Signe deh0(x)
Variations deh
0 1
+
0 0
+∞
+∞
d) Montrer queϕréalise une bijection de [0,1]sur un intervalle à préciser.
- 1 pt : TV
x Signe de ϕ0(x)
Variations deϕ
0 1
+
−1
−1
0 0
- 2 pts : ϕ réalise une bijection de [0,1] sur [−1,0] (1 pt pour hypothèses, 1 pt pour intervalle image)
11. Montrer que ϕest dérivable en0 et queϕ0(0) = 1.
On commencera par donner le développement limité en 1 à l’ordre 2 de la fonction ln.
- 1 pt : ln(x) = (x−1)−1
2 (x−1)2+ o
x→1 (x−1)2 - 3 pts : ϕ(x)−ϕ(0)
x−0 ∼
x→0 1
12. a) Établir :∀p∈]12,1[, αc(p) =ϕ−1
1−1 p
. - 2 pts
b) En déduire queαc, est prolongeable par continuité en 1
2, que ce prolongement est dérivable en 1
2 et que :αc0 1
2
= 4.
- 1 pt : lim
p→1
2
αc(p) = 0
- 1 pt : ϕ−1 dérivable sur [−1,0[ de dérivée (ϕ−1)0 = 1 ϕ0◦ϕ−1 - 1 pt : αc=ϕ−1◦ψ dérivable sur [1,1[
c) Établir l’équivalence, au voisinage de 1
2 :αc(p) ∼
p→1 2
2αK.
- 2 pts (dont 1 pt pour lim
p→1
2
αc(p)−αc 12
p−12 =αc0 12 )
Conclusion: pour des valeurs depproches de1
2 (c’est-à-dire des paris « légèrement » favorables, un cas très fréquent), il faut prendreα <2αK. Par sécurité (pn’est en pratique connu qu’approximativement), les parieurs choisissent souvent :α= αK
2 , la moitié de la valeur de Kelly.
V. Simulation informatique
13. Compléter les quatre lignes d’instructions manquantes.
- 4 pts : 1 pt par ligne (6, 9, 11et 13)
14. Afin de vérifier que la stratégie de Kelly est optimale, on modifie le programme kelly1de la façon suivante :
× les entrées restent les mêmes ;
× le nouveau programme calcule la valeur de Kelly αK;
× en sortie, le nouveau programme renvoie, en plus du nombre de parties jouées pour atteindre l’objectif demandé, le capital que l’on aurait obtenu si on avait choisi la valeurαK à la place de α pendant ces mêmes parties.
Écrire le programme kelly2 qui réalise ces modifications, uniquement en insérant des nouvelles instructions au programme kelly1.
- 5 pts : 1 pt par ligne ajoutée
1 p = input('valeur de p : ')
2 cap_obj = input('objectif à atteindre : ')
3 alpha = input('valeur de alpha : ')
4 alpha_K = 2 ? p - 1
5 cap = 100
6 cap_Kelly = 100
7 n = 0
8 while cap < cap_obj
9 u = rand()
10 if u < p then
11 cap = cap + alpha ?cap
12 cap_Kelly = cap_Kelly + alpha_K ?cap_Kelly
13 else
14 cap = cap - alpha ? cap
15 cap_Kelly = cap_Kelly - alpha_K ? cap_Kelly
16 end
17 n = n + 1
18 end
19 disp(n, 'nombre de parties jouées : ')
20 disp(cap, 'capital atteint : ')
21 disp(cap_Kelly, 'capital atteint avec strategie de Kelly : ')
