PRESSIONS INTERSTITIELLES DANS LES GALERIES EN CHARGE

M A R S - A V R I L 1 9 6 0 - № 2 L A H O U I L L E B L A N C H E 173

Pressions interstitielles dans les galeries en charge

Pore pressure in pressure tunnels

P A R

G. S A U V A G E DE SAINT-MAEC,

D I R E C T E U R G É N É R A L D E L A S O G R É A H

M. B O U V A K D ET M A MIN-YUAN

I N G É N I E U R S A L A S O G R É A H

Dans une première partie, les auteurs étudient l'équilibre élastique d'une canalisation soumise à une pression intérieure, limitée par une paroi épaisse,, voire infinie dans certains cas .(tunnel par exemple).

Cette pression est supposée appliquée d'abord sur la paroi extérieure d'un tube épais, puis à une distance donnée de l'axe du cylindre. Enfin, la loi de pression en fonction du rayon est supposée correspondre à un écoulement poreux, la pression étant alors déterminée par la loi de Darcy.

Dans une seconde partie, ils étudient le cas de l'équilibre d'une galerie en charge creusée dans un massif rocheux, en admettant que le rocher se comporte comme un corps parfaitement poreux.

Les auteurs en déduisent quelques conséquences importantes concernant l'équilibre des revête- ments des tunnels en charge, spécialement si la pression varie en fonction du temps : la pres- sion ou la soûs-pression encaissée par le revê- tement dépend en grande partie de la perméa- bilité relative des matériaux en présence; il s'agit d'un problème d'hydraulique « souter- raine ». Ceci conduit à penser que les calculs purement mécaniques des contraintes, suivant les hypothèses habituelles (pression supposée s'exercer à la surface intérieure de la canali- sation) n'ont guère de signification.

In the first part of this article the authors investigate the elastic equilibrium of an inter- nally pressurized tube, the walls of which are thick and, in some cases, even infinite, as in the case of tunnels.

Pressure is first assumed to be applied to an external wall of a thick tube and then at a given distance from the axis of the cylinder.

The radial pressure distribution is assumed to be the same as that for flow in a porous medium and the pressure can then be deter- mined by Darcy's law.

In the second part of the article, the authors investigate the equilibrium of a pressure tunnel

driven through rock and assume that the rock behaves as a completely porous body.

Important deductions are made concerning the equilibrium of pressure tunnel linings, espe- cially for the case where pressure varies with lime. The pressures to which both sides of the lining are subjected are largely dependent upon the relative permeability of the materials under consideration. The problem is one of

"underground" hydraulics. This leads to the conclusion that purely mechanical stress cal- culations, based on the usual assumption con- cerning the pressure to which the internal sur- face of the tube is subjected, have hardly any significance.

O n sait que les pressions exercées par l'eau à l'intérieur des ouvrages massifs sont suscepti- bles de jouer u n rôle important, voire déterminant, dans leur équilibre; en particulier pour les barrages, l'analyse de leurs conditions de résistance a fait des progrès extrêmement importants du jour où, à la suite de Maurice Lévy, on a considéré l'effet des sous-pressions à l'intérieur du massif en béton. Celui-ci a admis que l'existence de la sous-pression était liée à la présence d'une fissure dans le béton. D'autres auteurs admettent, au contraire, que le matériau se comporterait c o m m e u n corps poreux, et qu'à tout écoulement interstitiel correspondrait l'apparition d'une « pression de courant •» provoquant la sous-pression. O n a discuté et on pourrait encore discuter sur le point de savoir laquelle de ces deux interprétations est la plus satisfaisante.

Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1960034

174 L A H O U I L L E B L A N C H E № 2 - M A R S - A V R I L 1960

D e toutes façons, les pressions interstitielles nous paraissent jouer également u n rôle fonda- mental dans les galeries en charge. Ces ouvrages sont utilisés de plus en plus dans les aménagements hydroélectriques, notamment pour tirer le parti m a x i m u m de l'utilisation d'une réserve artificielle.

Il nous a paru intéressant de reprendre les théories concernant l'équilibre de ces ouvrages en faisant jouer aux pressions interstitielles le rôle qu'à notre avis elles méritent. O n suppose alors que la pression soit appliquée non plus aux parois, mais que les différents milieux (béton, rocher,...) se comportent c o m m e des corps poreux où l'eau peut s'infiltrer. L a sous-pression se répartit donc suivant une certaine loi, sur laquelle la théorie de Darcy apporte quelques éclaircis- sements.

Notre exposé comprendra deux parties :

I^O Nous avons étudié dans cette partie les états élastiques du tuyau d'épaisseur finie (cas d'une conduite) ou infinie (cas du rocher creusé d'une ouverture circulaire). Les calculs des dif- férents cas de charge sont faits avec la théorie de l'élasticité appliquée à un milieu h o m o - gène et poreux. Les formules obtenues sont utiles pour le traitement du problème posé ici : la galerie en charge. Des remarques et des conséquences y sont indiquées pour faciliter les applications pratiques.

2° Nous développons quelques considérations concernant la distribution des pressions dans la gale- rie et l'influence de leurs variations. Nous en déduisons quelques conséquences pratiques con- cernant l'équilibre des galeries soumises à une charge qui, en fait, subit des variations constantes par suite du fonctionnement m ê m e des usines hydrauliques qu'elles alimentent.

A u m o m e n t de la rédaction de cette étude, nous avons eu connaissance de l'intéressant arti- cle de M M . Zienkiewicz et Parker, paru dans Water Power de janvier 1958, où le problème du tuyau épais est mis en équations à partir des m ê m e s idées directrices; les calculs ont été faits par des procédés différents, mais les résultats concernant les contraintes, qui seules sont données dans cet article, sont comparables à ceux que nous avons obtenus, après simplification et redressement de quelques erreurs typographiques.

V PARTIE. — É T U D E É L A S T I Q U E

Pour mieux préciser les hypothèses des calculs, nous c o m m e n ç o n s par le rappel des équa- tions générales à trois dimensions applicables aux milieux homogènes et poreux.

Il est connu que pour traiter les influences des pressions interstitielles sur l'état élastique d'un milieu poreux, on a besoin des coefficients de ce milieu :,

m : coefficient volumique de porosité hydraulique, 7] : coefficient superficiel de porosité hydraulique.

U n e fois ces coefficients donnés, on peut établir les équations de la façon suivante :

E n prenant par la pensée une coupe afin d'examiner l'état de contraintes dans ce milieu, on sait que si a, T, sont les contraintes normale et tangentielle de cette coupe, les forces agissant sur la surface S de cette coupe sont définies par :

force normale=aS — T]SP = (s — -<]P) S (1)

force tangentie!le=TrS (2) où P est la pression hydraulique qui dépend du point considéré.

Ainsi, en se rapportant aux axes triorthogonaux oxijz, avec oz orienté vers le sens inverse de la pesanteur, on a les équations d'équilibre suivantes dans le milieu solide homogène :

0<J„

dx

+ +

~dx ⁱ day

+

dx

+ +

(3)

G. S A U V A G E D E SAINT-MARC. M. B O U V A R D E T M A MIN-YUAN 175

avec :

o = la densité de l'eau,

g = l'accélération de la pesanteur,

M = la densité du solide formant le milieu poreux.

E n désignant alors par u, v, w les déplacements du solide suivant les axes, on a, d'après la théorie de l'élasticité :

du dv . du

+

dx lxy dx ' 3y

dv dw , dv ,

^ = + (4)

•dy 'vz -ày 1 3z

dw du , dw 3z <"~" 3z 1 dx

(et les équations (4) sont valables pour les petites déformations et les petites rotations seulement).

1 r / i -v -i 2 ( l + v )

Sj,= ~Ê ^x ~~~ V v + "* * yxv = E~~

1 r / I \-î 2 (1 - f v) f

««= - g- [ «» — v («» + O J tvz = g } (5)

. - J - r ^ - v ^ H - ^ ] - - 2 ( 1 + v ) avec

E : coefficient de Y o u n g

v : coefficient de Poisson du solide considéré

(et les équations (5) sont valables dans le domaine élastique, c'est-à-dire des contraintes faibles).

E n principe, on doit dans les recherches étudier le système formé par (3), (4), (5). Mais il est bien connu que, dans la pratique, on assimile, suivant le cas, les problèmes posés à des problè- mes plans, soit de contraintes planes, soit de déformations planes, pour faciliter les calculs.

Pour les études de l'influence des pressions interstitielles dans les ouvrages mis au contact de l'eau, nous pensons, c o m m e beaucoup d'autres, que les cas à considérer sont presque tous de déformations planes. C'est ainsi que nous allons étudier le problème des tuyaux épais dans le cas de déformations planes.

E n apparence, le problème du tuyau épais est u n problème de révolution. Or, pour que le problème soit vraiment de révolution, il faut — si l'axe du tuyau est horizontal — que l'on sup- prime l'effet de la pesanteur, c'est-à-dire qu'on prenne ^ = 0 dans (3).

Cette méthode serait rigoureuse si on cherchait à définir l'état de contrainte des tuyaux sous l'influence de la pression qui se surajoute à l'état de contrainte correspondant à l'équilibre sous l'influence de la pesanteur. Reste l'hypothèse concernant la pression, supposée implicitement, elle aussi, de révolution. Nous reviendrons sur ce point en précisant les valeurs de pressions prises en compte.

Considérons alors les axes cylindriques or, G, z tels que : o z coïncide avec l'axe d u tuyau, o r coïncide avec u n rayon du tuyau,

8 exprime l'angle trigonométrique du rayon vecteur, et désignons les déplacements par :

u dans la direction o r, v dans la direction 6,

w dans la direction o z.

O n sait que y = 0 , w = 0, pour les problèmes de révolution et à déformation planes; les systè- m e s (3), (4), (5), se réduisent dans ce cas à :

17G L A H O U I L L E B L A N C H E № 2 - M A R S - A V R I L 1 9 6 0

de,.

, I (<T,. "t

dr r

<sg=v (<7R + <st)

du 1 — v2

„ 1 - °^)p (r) dr

dr u r

E

1 — V2

E

1 — V V

'6)

(7)

(8) ou :

ar désigne la tension normale dans la direction o r positive, 0( désigne la tension normale dans la direction de 0 positive.

Nous devons alors résoudre, pour la recherche de l'influence des pressions interstitielles dans les tuyaux épais, problème supposé de révolution, le système formé par (6), (7), (8). Or, il est bien connu que la résolution dudit système consiste à résoudre l'équation suivante :

d2u , 1 du u _ (1 -f v) (1 —- 2 v) rfviP (r)

7-2 ~

dr2 r dr E ( l . v) dr (9)

obtenue en éliminant a„ <st dans les équations (6), (7) et (8).

Il est à remarquer que dans les cas où : t\ = 0 (c'est-à-dire qu'il n'y a pas d'eau infiltrée dans le milieu poreux), ou bien si :

d P (r) dr = 0

(c'est-à-dire que l'eau infiltrée dans le milieu poreux est de pression constante), la solution de (9) donne les expressions suivantes qui sont bien connues :

E

(1 + v) (1 — 2 v) E

(1 + v) ( 1 — 2 v) E

• ( 1 — 2 y) + B ]

(1 — 2 y ) ^ | - + B

. 2 v B

(90

' ( l + v ) ( l - 2 v )

où A, B sont deux constantes d'intégrations. Et nous allons utiliser (9) pour traiter les problèmes expo- sés ci-après.

I : Nous nous permettons de reproduire ici les calculs courants des tuyaux épais, tout en con- sidérant les trois cas suivants :

A. Quel est l'état élastique du tuyau épais, de rayons a, R(a<R), étanche à r = a, de pression hydraulique intérieure p, avec la possibilité de se déplacer lorsque r = R.

Les conditions aux limites sont les suivantes :

<V = o = p

«r = B = 0

U n calcul très simple d'après (9)' nous redonne la solution bien connue : r

u

1 - f y E

a² D

R2 a- R2

-£r

+ d —

G. S A U V A G E D E SAINT-MARC. M. B O U V A R D E T M A MIN-YUAN 177

avec :

a

1 + v R2 + ( l — 2 v ) a2

! ! ^ p

E R² — a²

Il est à remarquer, d'après (10)o, qu'à r = b (a < b < R ) , on a :

R 2 b2 Q2

R² — a² ' bT-P ²

(H).

(12)^a et on peut alors écrire pour les états élastiques définis par (10)„, mais situés dans l'intervalle b < r R :

u r

1 + v b2 <T„

E R² — b² b2

R²

+ (1 — 2 v) ^\

R2 — b2

b2

R2 — b2

fc²<j b

R2 — b2

«6 '•2 J

1 + R2

(13).

D'après (12)a, (10)„, il est très facile de voir que les contraintes <s„ <st diminuent en valeur absolue lorsque r augmente. Et quand R — » =o, les a^r, <s^t, a^s tendent tous vers zéro pour r très grand.

B. Quel est l'état élastique du tuyau épais de rayon: a, R ( a < R ) ; étanche à r — a; de pression hydraulique intérieure p, sans la possibilité de se déplacer lorsque r — R ?

Les conditions aux limites sont dans ce cas :

« r = a = = — P

U n calcul sans difficultés, d'après (9)', nous donne la solution également bien connue u _ (1 + v) (1 — 2 v) a2 p

(1 — 2 y) R² + a2 L 's t± f(i _ 2 v) -ii- + 1 (1 — 2 v) R² + a² L ^{1*2 .}

avec :

a

( 1 - 2 » ) R2 + a2

a2 />

(î — 2 v) R² + a²

(1 + y) (1 — 2 y)

(1 — 2 v) B2

r2

R²

1*2

2 v

R² — a² E (1 — 2 v) R2 + a2

Il est à remarquer, d'après (10)^s, qu'à r — b (a < b < R ) , on a : ( 1 — 2 v ) R2 + fr2 a2

<Î!'~~ ( 1 — 2 y) R2 + «2 ' b2 'P

(10),

(11),,

(12),

et on peut alors écrire, pour les états élastiques définis par (10)6, mais situés dans l'intervalle b < ; • < R :

178 L A H O U I L L E B L A N C H E № 2 - M A R S - A V R I L 1 9 6 0

u r

g + y) a — 2 v) E

b²c^h

a — 2 y) R2 + b² I r²

(1 O "> D S I - T 2 l g 2 !~ 1

2 y) R² + b2 [_ r2

?2

(1 — 2 y) R² -f- b²

(1 — 2 y) R2 + b2

(13),

D'après ( 1 2 )⁶ (10)⁶, il est très facile de voir que les contraintes «„ a^t diminuent en valeur abso- lue lorsque r augmente. Et quand R —> », les ar, <st, az tendent tous vers zéro pour r très grand.

C. Quel est l'état élastique du tuyau de rayon a, creusé dans un milieu infini, étanche à r = a, avec la pression intérieure p ?

Les conditions aux limites sont dans ce cas :

°r = a — P

a^r = a^t = 0 pour r —> M .

U n calcul sans difficultés nous donne, d'après (9)', la solution suivante : r

1 +

<T,. —p

( 1 0 )⁰

avec

r^H = p

3a a

1 + v

E ^{( 1 1 ) .}

Il est à remarquer, d'après (10)C, qu'à r = b (a < b), on a :

: P b2

(12)^C

et on peut alors écrire, pour les états élastiques définis par (10)^C, mais situés dans l'intervalle b ^ r : u

r

1 +

E

b²

6 I2

: — tfb

b2

( 1 3 )^C

Nous signalons ici que les formules (10)„, (ll)^c, (12)^C, ( 1 3 )^C ne sont autres choses que les formules limites, pour R -» oo, de celles obtenues dans les cas A et B. E n effet, si l'on fait dans ces dernières ten- dre R vers l'infini et a/R, b/R vers zéro, on retrouve directement les formules (10)C, (ll)c, (12)C, (13)C.

Or, d'après (10)„ on sait que pour r > 5 a , les contraintes ne sont plus que de 4 % (ou moins) des contraintes à r = a.

D e m ê m e , pour les tuyaux épais à épaisseur finie R, mais R > 5 a, on voit qu'à r = 5 a, on a :

G. S A U V A G E D E SAINT-MARC. M. B O U V A R D E T M A MIN-YUAN 179

25

R- — 25 a2

R2 — a" avec R2

C A S A

R2 • 25 a2

— d'-

il2

R²

= -P J±— I

-a^{2 p} \ 2 5 "

1 R2 + 25 a2

R2

R2 + 25 a2 50

aVCC W + < "26- (1 — 2 v) R2 + 25 a2

\ 25 (1 — 2 v) R² + a- avec (1 • 2 v) R² -f 25 a°- ^< 50 (1 0 (1 —- 2 y) R² + a² 26 — 5 0 v

C A S B (1 — 2 y) R2-

( (1 — 2 v) R2 + a2 25

(1 — 2 y) R² — 25 a² (1 — 2 v) R² — a²

et normalement (1 — 2 v) R² — 25 a² (1 — 2 v) R² — a² < 1 Pour le béton, on peut prendre v = 0,15, ce qui montre que les contraintes à r = 5 a ne sont plus au m a x i m u m que de 9,2 % (ou moins) des contraintes à r = a. Il est connu que, physiquement, on peut interpréter ce fait en disant que l'état élastique dans la zone de r > 5 a est négligeable; ou bien on dit que la zone d'influence des charges considérées se limite sensiblement à r = 5 a.

Et d'après ces considérations, on peut parfaitement fixer la zone d'influence d'un tuyau épais en béton à 5-6 fois son rayon intérieur.

Ces résultats sont bien connus. Nous les avons indiqués ici en vue de les prendre dans la suite c o m m e base de comparaison pour mieux saisir les phénomènes physiques dus à l'influence des eaux d'infiltration.

II. Nous admettons maintenant que la pression hydraulique n'est plus appliquée à la surface intérieure de la conduite, mais qu'elle pénètre la paroi m ê m e de la conduite tout en restant cons- tante. C'est le cas du problème suivant :

« Quel est l'état élastique d'un tuyau épais de rayon intérieur a, avec la pression hydraulique p, cette pression s'étendant uniformément jusqu'il la couche : r = b (b > a) (c'est-à-dire que pour r = b, on a une couche imperméable) 1 »

Les formules obtenues dans I ne sont plus valables pour ce problème. Mais on remarque qu'en partageant le tuyau en deux tranches :

lr e où a ^ r ^ b, vi ^ 0 mais 2^e où b ^r ïj = 0

d P (r) dr

la solution (9)' reste valable dans chacune de ces tranches. Pour faire les calculs complets, il faut tenir compte de la discontinuité dans la section r = b.

E n effet, désignons par :

<T(,_ la tension radiale à r = b — e

<t⁶ la tension radiale à r — b -f- e

r = b — s r = b r = b + s Nous avons alors :

c6_ = <sb + "HP

Ainsi dans la tranche a ^ r < b — s, on a les conditions aux limites : r == a <rr== — (1 — 7)) p r = b £ <T,. = ah + Y)/J ce qui donne, d'après (9)', la solution suivante :

(s positif et -> 0)

1 8 0 L A H O U I L L E B L A N C H E № 2 - M A R S - A V R I L 1960

u r

! + _ v _ _ i \

Ë ft2 — n2 / ft² (II, ^ + ( i — 2 v ) + a2p + (1 — 2 v) + up (1 — 2 v) (ft² — a²) ft²

ft— a² 2

b2

ft² — a'2

ft²

ft

—

a- ft² — a²

V ' r² . 2 y -I-

(15)

ft²—a² . /). 2 v --)- 2 v-fip

et à r = ft — s, s —» 0, on a :

- ^ ^ - ^ j p - & 2J ^q 2 |«t [a2 + (l — 2v) ft2] + p.2(l — v) a2 + - n p (1 — 2y)(ft2 — a2) j (16) Nous allons utiliser les formules (15) et (16) pour traiter le problème posé ici.

A0. — Si le rayon extérieur du tuyau épais est R (ft ^ R ) . Pour r = R, le tuyau a la possibilité de se déplacer.

O n sait, d'après (13)„, qu'à r = b -j- s, e —» 0,

u^b 1 + v R² + (1 — 2 ^;v) ft² ft ~~ E R2 — f t2 5»

Ainsi, en égalant cette valeur de u^h avec celle définie par (16), on trouve que

7]$ j R2 — f t2 a2 i' . 1 — 2 v R2 — a2 b2 2 ( 1 — y ) avec :

<I> = ft^s 1

(17).

(18) E n tenant compte de (17)„, on trouve, d'après (15), qu'entre a §C r ^ ft — e :

! - 2 v r R2 + (l — 2 y ) ft2 R2 — ft2

7) — l (1 y)

» 1 +v aiP (R 2 I ri o y)

r — E R2 — «2 I r2 ^ U ^ v ; ' 2 (1 — v) L CP

«2P /t R2

R² — a² V r2; 'tv>\ 1 2(1 — y ) R2 — a2

1 — 2 R2 — f t2

1

"t —

. , R2 \ , ( , 1 — 2 y

R 2 _ a 2 V ^ - ^ - J + V ¹ a2/?

a2p

r² R2 — f t2 /t , a2

2(1 — y ) R2 — a2 V ⁺ /-² J\

1 — 2 y R2 — ft2 ) . 2 V + 7)D 2 v * 1 —

R² — a² ^ ^w I 2 (1 — y) R² — a² \ avec :

a

1 + y R2 + (1 — 2 y) a2

p 1 + 7, (1 — 2 y) ft² — a² E R²- — a² ( * ¹ ~ R² + ( l _ 2 y ) a² Et en tenant compte de (17)a, on trouve, d'après (13)œ, qu'entre ft ^ r ^ R :

u 1 r

1 + y a2

E R2 — a²

D i R² — a² * ( a² _n 1 R² — «2 p I

a²

R2 — a2 P !

a- i. , l

1 — 2 y _{71. $ '} 2(1 — y ) n )

— 2v ^T | ( 1 — v ) 1 1 *

1

R²

^ r + ( l - 2 v )

5 i r²

7) . <I>

1 — 2 y 2(1 — y)

! — 2 v r I o

C19)^B

(20)„

(.21) ^a

G. S A U V A G E D E SAINT-MARC, M. B O U V A R D E T M A MIN-YUAN 181

B°. — Si le rayon extérieur du tuyau épais est R (b sC R ) . Pour r == R, le tuyau n'a pas de possibilités de se déplacer.

O n sait, d'après (13)⁰, qu'à r = b + s, s positif mais -» 0 : 6

( l + v ) ( l — 2v) R2 — 62

E (1 — 2 v) R2 + b2 "

Ainsi, en égalant cette valeur de ub avec celle définie par (16), on trouve que :

où $ est défini par (18) cité plus haut.

(1 — 2 v) R² + a² b^{2 1} ^ 2 (1 — v) ¹ ( H ) ,

E n tenant compte de (17)⁶, on trouve, d'après (15), qu'entre a ^ r ^ f e — s J L = (1 + v) ( 1 — 2 v)

r E

— q-7?

a-p

(1 — 2 y) R2 + a2 | r2 ^ 2 (1 — v)

[

+ 2(1 — v ) — (1 — 2 v) R2 + b2

r*

]

(1 — 2 v) R2 + a2

trp

(1 — 2 v) R² + a² — 1

(1 — 2 y) R² (1 — 2 v) R²"

jl » H 1 — 2 y (1 — 2 y) R² + b² ( i a²\ ) i^{/ 1 f}

4- „„ i l _ * —^{2 v} (1 — 2 y) R² + fc² A

~r ^ ( 2 (1 — y) (1 — 2 v) R2 + a2 V '^,2

>(19),

(1 — 2 v) R2 + a2

afp 9 , „ I. 1 — 2 y (1 — 2 v) R2 + b2

—⁴ 2 v + 2 vïj.p 1 ^! 2 (1 — v) (1 — 2 y) R² + a² ) avec :

J k = I L + — 2 v) a

R2 — • a2

P 1 — 1

£>2 — a 2

E (1 — 2 v) R² + a² ( R² — a² \ E n tenant compte de (17),,, on trouve, d'après (13)⁶, qu'entre fe^r^R :

a²p

(20)^s

ju_ ⁼ (1 + v) (1 — 2 v)

r ~ E ' (1 — 2 v) R² + a² l

i . 1 — 2 y _ / r² a^Jp

(1 — 2 y) R2 +

1 — 2

(1 — y) 0 )

( 1 — 2 y ) ^ i + l

(1 — 2 v) R² + a² ( ¹ 2 (1 — v) a2p

R2

( 1 — 2 y ) -t+ — 1

(2D( )

_ 2 y U + ¹ ~^{2 V} - „* ! (1 — 2 v ) R² + «² I ^ 2 ( 1 — y) ¹ ) C'. — Si le tuyau est creusé dans un milieu infini,

O n sait, d'après (13)e, qu'à r = b + s, s positif mais—> 0 b

1 + v s»

Ainsi, en égalant cette valeur de u^b avec celle définie par (16), on trouve que : a2 i -, , 1 — 2 v T /

a ^ ~ ^ ^ ( ¹ + 2 7 î ^ 'ⁿ- '¹i où *I> est toujours défini par (18) cité plus haut.

E n tenant compte de (17)^c, on trouve, d'après (15), qu'entre a^r^.b — s :

(17)^C

7

1 8 2 L A H O U I L L E B L A N C H E № 2 - M A B S - A V R L L 1 9 6 0

u r

1 + v [a² , 1 — 2 v - 7E + 2 ^ — ~ *

~ P

"TT +

( 1 — v ) 1 — 2 v 2(1 — v )

1 —

a²

(19).

1 — v avec

a E P

Et en tenant compte de (17)^c, on trouve, d'après (13)^c, que pour b ^.r

(20) „

r E ^P i^{1 +} 2 (1

2 y , a2

— v) r2

<J,. a*

(21),

<7{ = /) j 1 + -

(T. = 0

— 2v J_o£_

( l _v) 1 j ^R2

Nous signalons ici aussi que les formules (17%, (19)^c, (20)^c, (21)^c ne sont autres choses que les for- mules limites, pour R -» °o, de celles obtenues dans les cas A et B. E n effet, si l'on fait, dans ces der- nières, tendre R vers l'infini et fl/R, b/B. vers zéro, on retrouve directement les formules (17)^c, (19)^c, (20)^c, (21)„.

Or, on peut tirer en général de ces calculs les conclusions suivantes :

Un tuyau épais, chargé par la pression hydraulique p à son intérieur infiltrée d'une façon uniforme jusqu'à r = b, voit son état de tension modifié de façon importante par rapport au cas où la pression s'exercerait seulement ci la surface, telle que :

10 à r = a :

<s^r est devenu — p ( 1 — 7 | ) , c'est-à-dire diminue en valeur absolue;

<s^t a augmenté dans les cas A et C,

a augmenté (pour b < V y R^a + (1 — v)/(l — 2 v)a² ),

ou diminué (pour b > V v R2 -f- (1 — v)/(1 — 2 v)"cF ), dans le cas B.

2° Dans l'intervalle a ^ r 0 , o n a les variations suivantes pour les trois cas A, B, C :

r a b

"r

/

\

et les valeurs de da,./dr, da^t/dt sont plus modérées.

3° Dans l'intervalle K r, on a les états élastiques du tuyau plus aggravés dans la proportion de 1 à

G. S A U V A G E D E SAINT-MARC, M. B O U V A R D E T M A MIN-YUAN ¹⁸³

Et en conséquence, la zone d'influence définie dans le cas sans infiltration est étendue approxi- mativement dans la proportion de 1 à :

\ /1 + 1 1 2 l T = ^ ) ~ 1

Il est à signaler que si R est grand par rapport à a, b, et que b soit très grand par rapport à a, on a alors à la section r = b (d'après (17) pour les cas A, B, C) :

1 — 2v

«s = — P —, ; i\

qui ne dépend que de v et -rj; à la section r — a

a

2(1 — v )

1 + E

III. Les calculs dans II sont faits en admettant que la pression interstitielle est constante jus- qu'à une certaine valeur du rayon. Nous allons examiner le cas plus réel où la répartition de la pres- sion interstitielle suit une loi normale, découlant de l'application de la loi de Darcy à l'écoulement de l'eau. Nous supposerons encore que l'ensemble du problème est de révolution. O n peut objecter que ceci n'est pas tout à fait valable pour l'écoulement proprement dit. E n effet, au lieu d'avoir affaire à u n écoulement purement radial, on aurait à considérer u n écoulement combiné, avec adjonction d'un écoulement parallèle dû aux forces de gravité. Or, il est bien connu que dans le domaine des milieux poreux, où dP/dn est suffisamment grand, les autres effets sont en général négligeables (notamment celui de la pesanteur), et on peut y appliquer la loi de Darcy. Et c'est justement dans ce domaine que nous allons faire nos calculs.

Nous signalons en passant que nous examinerons plus longuement la validité de ces hypothèses de calcul dans la deuxième partie ci-après.

Si nous admettons que l'infiltration de l'eau dans le tuyau épais obéisse à la loi de Darcy, nous savons qu'au m o m e n t où l'infiltration de l'eau atteint r = b, la distribution de la pression hydrauli- que le long de r est donnée par :

c'est-à-dire

^ , , Log b/r „ , ,

1 Log b/a dP (r)

dr r.Log b/a L'équation (9) s'écrit alors pour o ^ r ^ b :

d2u . 1 du H _ (1 + v) (1 — 2 v) _P dr2 1 r dr r2 E ( l — v)

avec la solution générale suivante : ,

r Log b/a

E

(1 + ») (1 — 2 E

(1 + v ) (1 — 2 v ) 2 vEB

[ a -

a — 2 V ) - ^ - + B ^{. 7|} 1 r 1 — 2 v T „ "

+ 2 ( l - v ) p Tôgbja |_ 2 L°gr_

• 2 v ) 4 - + B

r2

+

'(9)"

Log r

( l + v ) ( l — 2») (1 — v ) L o g 6 / a Log r

Désignons alors par «6 la tension normale à r = b; on sait que les constantes d'intégration A, B de (9)" sont définies par :

184 L A H O U I L L E B L A N C H E № 2 - M A H S - A V B I L I960

et un calcul simple montre que l'on a il

r

1 + v b2«h

E b* — (ï~ + d

+

— 2y)J

r — L a 2 —

E

«²/> r b2 — a2 L

^ - + ( 1 — 2 y)

1"-

0(

ft2 — a 2

a2/ ?

r2 ^ ;| ^ Log ft/a

]

1 r² ) ^ fc² — a²

fr2

r2

I P

ft² — a² V ^{1 +} r² / ⁺ ft² — a²

a2p

2 ( 1 — y ) (1 — 2 y)

fc2 — a 2

1 — b2 Log Z>/r~

Log fc/a (22)

HP

2(1 2 y) ^Z>2

fc2 — a2

2 a2

Log b/r 1 — 2 y

Log fc/a Log B/<

2y&2<r„ 2 y a2p Tjyp r( 1 2 > 2 a2 1 — 2 y Logfc/r~|

a2 + fc2 — a2 2(1 — y ) L ft2 — a 2 Log è/a Log b/a J et

b²

1 + y (1 — 2 y) b2 + a2

E b² — a2

+

2(l + y ) ( l — y ) E

(1 + y) (1 — 2 y) _ 2 E

« 2

ft²—a² fo²

via² r / b²

1 1

]

(23) Log b/a

Nous allons utiliser les formules (22), (23) pour traiter les problèmes suivants :

Quel est l'état élastique d'un tuyau épais de rayon intérieur a, avec la pression hydraulique p, en admettant que cette pression s'infiltre en obéissant à la loi de Darcy jusqu'à r = b?

Nous allons considérer les trois cas suivants, c o m m e dans les calculs précédents :

A. Le rayon extérieur du tuyau épais est R (b < R ) et, à r — R, le tuyau a la possibilité de se déplacer.

Or, on sait, d'après (13)0, qu'à r = b, la couche r > b admet : u^ 1 + y R² + (1 — 2 y) b²

b E R² — b²

E n égalant cette valeur de u^b avec celle définie par (23), on trouve que :

R 2 _ b2 a2 _ { 1 — 2 y avec

R2 — a 2

a2

a² t ¹ . 1

- w p ;^{1 +} 2 u - v ) ^'1-9

j Log (b/a)< 1

Ainsi, en tenant compte de (24)œ, on voit d'après (22), qu'entre a < r < b,

JL - 1 + 1 "² „ T^R2 4. n 2 yf I -4- (l + v) d — 2 y) r ~ E ^P L ^ ^{+ ( 1 _ 2v )} J + 2 E ( l - y )

i _ R2 — & 2 (a2/r2) + (1 — 2 y) a2 T R2

I R2 — a2 Los (b/a)2 R2

(24)„

(25)

(7,.

R2 —

R2 — «

! (1 — 2 y)

H ' - f ) — * -

a2 r jEV;

— a* L i'²

•nP X

+ (1 — 2 y) ^{, 1} — v + Log b/r Log fc/rt

X

(1 — 2 v)

2(1 — y )

R² — b² 1 — (a²/r²)

R2 — a ä Log(Z>/«)2

+

' r2 y 2(1 — y )

R 2 _ f t 2 ! _(_ (a2 /r2 )

X

+

r 2 a2

R2 — a » Log(6/«)2 1 R2 — a2

i)D i „ , F b² — a² 1 +

R² \ r2 ;

1 1 Log b/r Log b/a

la² ~

Log b/a T .N h / f

G. S A U V A G E D E SAINT-MARC, M. B O U V A R D E T M A MIN-YUAN 185

avec

a

1 + v R2 + (1 — 2 v) a2

7) (1 — 2 V ) «p !

E R2 — a2 r { ' ' R2 + (1 — 2 v) a2

Et en tenant compte de (24)tt, on trouve, d'après (13)0, qu'entre b ^ r ^ R

(27)a

u r

1 + v

E R2 — a a2

P 1 +

1 — 2

R2 — as

a2

R2 — a2

2 va2

R2 — a s

P | 1 +

P j l +

P ¡1 +

1 — -2 V

2(1 v) 1 — 2 V

2 ( 1 - v) 1 — 2 ^V 2 ( 1 -

v)

(1 — v)

7)?

7)1? I R2

•iV + a —

r2

['-

7]Cp

B. Le rayon extérieur du tuyau épais est R (b < R ) et, à r = R, le tuyau n'a pas la possibilité de se déplacer.

Or, on sait, d'après (13) j, qu'à r = b, la couche r > b admet : (1 -f. v) (1 _ 2 v) R2 — b2

b E (1 — 2 v) R2 -f- b2

E n égalant cette valeur de ub avec celle définie par (23), on trouve que : (1 •2 v) R2

4-

2 ( 1 — v ) "

(1 — 2 v ) R24 - a2 b2

où 9 est défini par (25) cité plus haut,

Ainsi, en tenant compte de (24)6, on a, d'après (22), qu'entre a < r < b :

(24),

JL ^

SL +

^v)

r

a2p E

(1 — 2 v) a2

(1 — 2 v) R2 4- a2

R2

1 +

(1

4-

X

(1 — v) 4- Log b/r (1 — 2 y) R2 4- b2 (a2/r2) 4- (1 — 2 y)

- [ " — - i l ,

(1 — 2 v) R2 4- a2 L r2 J ' Log b/a (1 — 2 v) R2 4- a2 Log (b/a)2

(1

*E

— 2 v) R2 4- a2 [_ ;

R2

(1 — 2 y)

X

a2

(1 — 2 y) R2

4-

a2/) (1 — 2 v) R2 4- a2

" a2

_ ( 1 — 2 » ) R24 - a2

2 v a2p

1 + (1 — 2 v) R2

+

2 (1 — y)

( 1 — 2 v ) R24 - f c2 1 — (a2/r2) ' (1 — 2 v) R2 4- a2 Log (b/a)2 J

Log b/r Log b/a

• 1 + (1 — 2 v) R2

(1 — 2 v) X

1

4-(1

+

2(1

(1 — 2 v) R2 4- b2 14- (a2/r2)

/(26),

y^p

(1 —- 2 v) R2 4- a2 Log (b/a)2 Log 6/a Log b/r Log b/a (1 — 2 v) R2

4-

2 a2

(1 — 2 y)

(1 — 2 y) R2

4-

4-

£>2 — a2 1

2 L° g Log b/a avec :

ц. _ (1 + v ) ( l — 2 v) Ra — а » ( , <P_ ) a E (1 — 2 v) R2 + a2 1 { 4 R2 — a* ' • )

(27)«,

1 8 6 LA H O U I L L E B L A N C H E № 2 - M A R S - A V R I L 1 9 6 0

El en tenant compte de (24) ⁶, on trouve, d'après (13),,, qu'entre & ^ > < R : u

r

(1 + v ) (1 — 2 v ) a2p

(1 — 2 y) R2 + a2 1 + 2 ( l - v ) ^ u-

(1 — 2 v) R2 + a2

(1 — 2 v) R² + a²

—- 2 va²

( . , 1 — 2 v

p { 1 + 'ICI 2 ( 1 — v ) [ ( l - 2 v ) -1 P 1 + 1 — 2 v

2 ( 1 — v ) ⁷⁾⁹ (1 — 2 y) R2 -j- a2

C. Le tuyau est creusé dans u n milieu infini.

O n sait, d'après (13)^c, qu'à r — b, la couche b < r admet :

"» — 1 + v „

(28),

E n égalant cette valeur de u^b avec celle définie par (23), on trouve que a2 ( 1 2v

-pr* | ^{1 +} 27n=~v) 7)9

où 9 est toujours défini par (25) cité plus haut.

Ainsi, en tenant compte de (24)c, on voit, d'après (22), qu'entre a ^ r ^ b

avec

u r

1 + v . a² , (1 + v) (1 — 2 v) E P r2 ^ 2 E ( 1 — y)

' a2 1 — (a2/;-2) Log fc/f-|

r2 + Log(fe/a)2 + Logfe/a J

•np

P r2 + 2 ( 1 — v ) l - 2 y ) r -g L - 1 ^ = ( a V f 2 )

; 1_ r2 Log (6/a)2

+

a* .

P — + r» ' 2 (1 — y) ^{I P} vv)p Log b/r (1 — y) Log b/a

Log 6/a 1 ( 1 — 2 v ) f — — i 1 — (a2/r2) I , Log 6/r

P

L '

Log (&/a)

J ^ Log 6/a

a

l + y E

(24),

(26)B

(27)^c

Et en tenant compte de (24)c, on trouve, d'après 13)c, que pour b <

u r

l + y p 1 1 — 2 2 (1 — y)

y a

7 , 9 ~r

<V = P 1 + 1 — 2 v ) jaf 2(1 — y) 7 1 9 j r2

J 1 ± 1 — 2 y ) a2

!*» * + 2 ( l - y ) ^ -7T , = 0

(28)„

Nous signalons aussi que les formules (24)c, (26)c, (27)c, (28)0 ne sont autres choses que les for- mules limites, pour R », de celles obtenues dans les cas A et B. E n effet, si l'on fait, dans ces dernières, tendre R vers l'infini et a/R, b/R vers zéro, on retrouve directement les formules (24L, (26)^c, (27)^e, (28)^c.

L'application des calculs précédents conduirait aux résultats caractéristiques suivants :

G. S A U V A G E D E SAINT-MARC. M. B O U V A R D E T M A MIN-YUAN 187

Io A r = a, on a toujours

<¡r-a— —

p(l—-rU

2° D a n s l'intervalle b r, on a les contraintes dans les tuyaux augmentées dans la proportion de 1 à :

1 + 7 , .

1

2 (1 — v)

1 Log (b/a)2

— 1

E n conséquence, la zone d'influence dans le cas sans infiltration est majorée approximative- ment dans la proportion de 1 à :

1 + 7 1 . -

2 ( 1 — V ) b2

a2

1 Log (b/a)2

Nous signalons en terminant que pour les m ê m e s valeurs de a, b, R : b2

1 > 1

a£ ' \ a" J Log (b/a)2

c'est-à-dire :

D a n s le cas où R est très grand par rapport à a, b, et b très grand par rapport à a, on, a d'après (24), pour les trois cas A, B, C :

1 1 — 2 v

; P irr-i r V et :

4(1 — v ) '' Log b/a

U-a 1 + V

E

on a et

Et il est à remarquer qu'en comparant ces dernières valeurs avec celles obtenues dans le cas II, Va/a des cas III = Va/a des cas II

a,, des cas III = 1

2 Log b/a . o,, des cas II.

Il nous reste dans cette partie à examiner les constantes à utiliser dans les applications prati- ques. E n effet, m ê m e pour les bétons, les valeurs à prendre dans les constantes élastiques : E, v, ne soulèvent pas de grandes difficultés, mais en revanche la valeur du coefficient superficiel de poro- sité 7) à utiliser est u n sujet qui a soulevé beaucoup de discussions d'ordre théorique et pratique. Il n'est pas notre intention d'entrer en détail dans ces discussions. C o m m e il est bien connu que : Io Les bétons ont généralement le coefficient de porosité volumétrique :

m = 0,12 — 0,15 et les ciments de ces bétons ont, de leur côté :

m = 0,27 — 0,54

2° Des essais dans les laboratoires ont donné, pour la surface m a x i m u m à prendre en compte en ce qui concerne l'action de sous-pressions :

7j = 0,85 — 1,0

Nous remarquons alors qu'en homogénéisant u n milieu de m = 0,54, on peut trouver géométri- quement que, pour ce milieu considéré :

= m²/s ⁼ (0,54)2/3 « 2/3

et que l'intervalle (2/3) — 1 comprend bien à son intérieur les valeurs de r¡ obtenues par expérience.

Ceci peut être regardé c o m m e une anomalie, explicable d'après nous par le fait que, à porosité

188 L A H O U I L L E B L A N C H E № 2 - M A R S - A V R I L I960

volumétrique égale, le m o d e d'action des sous-pressions dépendrait localement du degré de fissura- tions microscopiques; ainsi, il nous paraît très intéressant de prendre successivement :

A ' Y] = 2/3 B° 7) = 1

et de faire les deux calculs. Les résultats ainsi obtenus pourraient être considérés c o m m e les deux bornes du phénomène physique. Et cette souplesse de calcul aide mieux à approcher la vérité.

2« P A R T I E . — C O N S I D É R A T I O N S P R A T I Q U E S

Nous avons indiqué les formules qui déterminent l'état élastique de la galerie dans le cadre des hypothèses de base : pression connue à l'intérieur du terrain. Pour utiliser judicieusement ces formules, il faut savoir c o m m e n t va s'appliquer réellement la pression à l'intérieur du terrain. Nous allons exposer ci-après nos considérations :

Examinons d'abord le cas des galeries non revêtues.

Supposons que l'on puisse successivement remplir d'eau une galerie cylindrique creusée dans un rocher homogène et poreux; puis on la met en pression brusquement. A u début, la pression sera bien appliquée à la surface. Le débit de fuite peut être évalué par la théorie. Soit, c o m m e précé- demment, b le rayon atteint par l'eau à l'intérieur du terrain, a le rayon intérieur de la galerie, et q le débit de fuite par unité d'angle et par unité de longueur; l'application de la loi de Darcy donne la relation suivante :

k L°g a

avec : H0 = -£- , p pression appliquée à r — a, H = POO/w, P (/•) pression courante à la distance r

du centre de la galerie (29) et

* H⁰ Log (b/'a)

O n voit donc que le débit de fuite serait théoriquement infini, initialement.

(30)

Mais ce débit de fuite va lui-même concourir à remplir une couche cylindrique de terrain, sui- vant u n processus qu'on peut schématiser de la façon suivante :

Si m est le coefficient de porosité volumétrique, le débit q coulant pendant u n temps dt per- mettra de remplir un volume de rocher égal à mb . db. L a loi qui donne la variation du rayon de b en fonction du temps serait donc la suivante :

mb .db — qdt, soit mb .db = -

Log (b/a) dt

Cette équation s'intègre facilement et on aboutit à l'expression suivante :

H0 /- T r

„ Log -- 2 b a

Log

~ 4 ~ (31)

O n voit que le rayon croîtrait avec le temps, et le débit de fuite ne serait jamais nul.

Et pour chaque phase d'infiltration d'eau (c'est-à-dire t donné), on sait calculer l'état élasti- que du terrain.

Mais que se passe-t-il réellement dans le terrain?

G. S A U V A G E D E SAINT-MARC. M. B O U V A R D E T M A MIN-YUAN ¹⁸⁹

Il est incontestable que la force de gravité a une influence sur l'écoulement examiné plus haut. Ainsi la zone imprégnée d'eau d'infiltration est en réalité une couche ovale, mais assimilable seu- lement pour t petit (c'est-à-dire b petit) à une couche cylindrique, c o m m e l'indiquent les figures ci-dessous :

Fio. A

et celte couche ovale pourrait atteindre théoriquement un régime permanent d'allure telle que le montre la figure suivante :

s

Fio. B

et le calcul de ce cas est possible mathématiquement.

Mais physiquement, il n'est pas concevable que. l'eau puisse couler indéfiniment vers le fond du terrain. Ainsi cet écoulement d'infiltration finirait par rencontrer à distance finie une nappe qui ne lui permettrait plus de continuer à couler verticalement.

Or, une fois que l'auréole imprégnée d'eau d'infiltration atteint le niveau imperméable, supposé ici horizontal, l'écoulement d'infiltration évolue et se présentera avec l'allure suivante :

777777777777777777777777777777777777777,

F I G . C

Q u e se passe-t-il ensuite?

Il est logique que la position de la surface libre du terrain joue à son tour un rôle déterminant.

E n effet, si la surface libre était très éloignée vers les deux côtés, la courbe qui limite la zone impré-