E542. Le temps des cerises
2010 cerises sont réparties dans un certain nombre de paniers.
1) on choisit le ou les paniers qu'on veut garder, on retire les autres avec les cerises qu'ils contiennent ;
2) on retire des paniers conservés, quand il y en a plusieurs, autant de cerises que nécessaire pour que chacun de ces paniers contienne le même nombre de cerises.
Le but de ces choix est de maximiser en fin d'opération le nombre total de cerises dans les paniers restants.
Si l'on a 2010 cerises au départ, quel est le plus grand nombre total qui peut être obtenu par le meilleur choix, quelle que soit la répartition initiale des 2010 cerises ?
Solution de Paul Voyer:
Supposons les paniers rangés par contenances décroissantes.
x représente l'abscisse d'un panier, y son contenu.
Le choix imposé consiste à écarter les paniers d'abscisse x>x0 et de retirer les cerises en nombre > y0 des x0 paniers retenus, conservant x0y0 cerises.
Un point M(x0, y0) sera trop ambitieux si on sait ranger 2010 cerises entre les axes et l'hyperbole xy=M-, étant strictement positif arbitrairement petit.
M est la plus grande valeur telle que 2010 cerises "tiennent" dans l'hyperbole, bords inclus.
Un calcul par tableur montre que M=336 cerises.
La table suivante, définie par les premières valeurs, évite le calcul : http://www.research.att.com/~njas/sequences/b006218.txt
et montre que :
M=335 pour 1996 cerises au maximum convient.
M=336, pour 2016 cerises, convient aussi car les 20 cerises supplémentaires sont sur l'hyperbole.
