E509 – Infidélité conjugale
Solution
La réponse est qu’il y a 61 femmes infidèles. La démonstration se fait par récurrence comme dans le problème des 40 cocus de Bagdad sachant que le nombre N de femmes infidèles est arbitraire et importe peu. On aurait aussi bien pu choisir n’importe quel entier N1 tel que N=7, 17, 33…
Comme dans tout récurrence, on examine d’abord les situations qui correspondent à N=1,2,3,….
S’il y avait une seule femme infidèle dans le village de Virtuix, désignée par Mme A., tous les hommes sauf Mr A. le sauraient depuis longtemps et l’annonce du barde n’apporterait une nouvelle information qu’à Mr A. Comme ce dernier ne verrait pas de femme infidèle autour de lui, il conclurait qu’il s’agit de la sienne et la répudierait avant le coucher du soleil. Or il ne se passe rien à l’issue de la 1ère journée. Le nombre N de femmes infidèles est donc > 1.
S’i y avait deux femmes infidèles, appelées Mmes A. et B., tous les hommes du village sauf Mr A. et Mr B. connaîtraient ces deux cas d’infidélité alors que leur côté Mr A. et Mr B. en connaîtraient seulement un. Si l’on se met à la place de Mr A., l’annonce du barde ne lui apporte aucune information nouvelle mais le fait que Mme Y soit toujours dans le village à l’issue de la 1ère journée lui apprend que Mr B. est au courant d’un autre cas d’infidélité qui ne peut être que celui de Mme A. Le même raisonnement valant pour Mr B., à la fin de la 2ème journée, Mr A. et Mr B. enverraient leur épouse respective au gynécée. Or il ne se passe rien à l’issue de la 2ème journée. Le nombre N de femmes infidèles est donc > 2.
S’il y avait trois femmes infidèles, désignées par Mmes A.,B. et C., Mr A. ou Mr B. ou Mr C.
n’en voyant que deux s’attendrait à ce qu’elles soient toutes deux répudiées à la fin de la 2ème journée. Comme il ne se passe rien, chacun des trois maris comprendrait qu’il a été trompé et mettrait à exécution la sentence du barde avant le coucher du soleil de la 3ème journée. Or il ne se passe rien à l’issue de cette journée. Le nombre N de femmes infidèles est donc > 3.
Et ainsi de suite.. La récurrence s’enclenche à partir de là et l’on parvient avec le même raisonnement au 60ième jour où il ne se passe rien car N est 61. Le 61èmé jour, 61 maris exactement découvrent qu’ils ont été trompés mais il est trop tard pour répudier les épouses.
Le délai de 60 jours fixé par le barde a été dépassé et leur seul voie de sortie est d’adhérer au club des maris trompés.
PS On peut se demander si le barde n’était pas de connivence avec les 61 femmes infidèles.
L’énoncé ne dit pas si lui-même était célibataire ou marié….
