G10040. Méga-dictionnaire
J’ai un dictionnaire enpvolumes. Pour trouvernmots, combien de volumes (en moyenne) devrai-je ouvrir ?
(On suppose que chaque volume contient le même nombre de mots, grand devantn).
Solution
Si les n−1 premiers mots m’ont fait ouvrir v volumes, la probabilité d’y trouver len-ième mot est v/p et le nombre moyen de volumes pournmots est (àv fixé) v+ (1−v/p).
Au total, l’espéranceEn pour nmots est En= 1 +En−1(1−1/p), donc 1−En/p= (1−En−1/p)(1−1/p) = (1−1/p)n.
Pour préciser la loi de probabilité du nombrevde volumes à ouvrir, une voie est d’établir une récurrence comme ci-dessus, mais voici un raisonnement direct : il y a pn façons de choisir nfois (une pour chaque mot) un volume parmip. Pour que cela fasse ouvrirvvolumes, il y aCpv façons de choisir ces volumes, etSnv façons de répartir lesnmots dans les v volumes en utilisant tous ceux-ci, c’est à dire le nombre de surjections densurv. La probabilité de v est ainsiCpvSnv/pn.
