N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
E. C AHEN
Note sur un développement des quantités numériques, qui présente quelque analogie avec celui en fractions continues
Nouvelles annales de mathématiques 3e série, tome 10 (1891), p. 508-514
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NOTE SUR UX DÉVELOPPEMENT DES QUANTITÉS NUMÉRIQUES, QUI PRÉSENTE QUELQUE ANALOGIE AVEC CELUI EN FRAC TIONS CONTINUES;
PAR M. E. CAHEN, Professeur au lycée de Rennes.
1. Soit une quantité numérique x, en appelant at sa partie entière
T 2*0
.r0 étant <^ i •
Soit i/0 Ia partie entière de .r0.
Uo<OTo< Uo •+• I >
— est une valeur approchée de — par excès, a moins de
i i i W ll I I 11(11 I I \OU •
On peut donc poser
de
et
Xo
En appelant Ï/J même
ainsi de suite.
Finalement
L la
I lto-¥- I)
partie
n
1 1 Uç> XX '
a fortiori <C 1 •
entière de .r, on peut écrire
1 1 0 " 1 ' ^ 2
« 2
et Terreur commise, quand on s'arrête au ternie —, est du signe de un et plus petite on valeur absolue que
2. On peut développer x par une série analogue d'une façon un peu différente.
Soit (i\ la partie entière de x
x — at-\ i
XQ
Soit Uo— i la partie entière de x0, JJ- est une valeur de — approchée par défaut à moins de -j-j — Ï T o u
xo Uo— i Uo
On peut donc poser
= ai-h ~ H- ~ ,
'xT<Uo(u',,-1 ) « et ainsi de suite.
Finalement
i i i
X = ai -f- rrr h — h J-T
U U U
L'erreur commise en s'arrêtant au terme JJ- est posi- tive et inférieure à
3. Le développement en séries de cette nature n'est évidemment possible que d'une seule manière. Si x est incommensurable, le développement est évidemment illimité. Je dis que, si .rest commensurable, le dévelop-
( 5 . o )
peinent est limité. Considérons, par exemple, le dévelop- pement en série (i).
Je peux supposer x <^ / pour ne pas embarrasser les calculs du terme irrégulier aK.
Soit alors
A A,
en
en
B étant <in tiers :
Considérons
posant
A i B M{
posant A B
A B ~
i
I I
( B - B A0= B -
Bo = B M
Bo +
A, = B0- B. = Bo u
i M2
A Mo) u0
- A M0,
i Bo-
-Aouu
Ao BoJ
D'une far on générale,
Je dis que les nombres entiers Ap vont en décrois- sant, c'est-à-dire que
B; )- Xpitp
ou
Bp u p+i -+-1
Or c est ce qui résuhe de la façon même dont la série a
été formée. On a déterminé up+i, justement par la con- dition
Les nombres entiers et positifs,
•A-o» A i , . . . , A/ ;,
allant en décroissant, l'un d'eux est forcément nul et la série est limitée.
Exemple :
4. Pour qu'une 355 n3 ~ série
r
7
i
791
1
ÏH ""
soit une série de la forme (1), il faut et il suffit que, pour toute valeur de /z,
1 1 1 1
Un Un-\ W/*-2 ' * ' Un^i(Un-l-+-l)'
Si, en effet, cette condition est.remplie, on voit faci- lement qu'en développant la quantité
1 1 X = Cli-\ h . . .
UQ U\
en série (1), on retrouve justement ce développement.
De même pour une série
la condition est que
CoivsÉQUEiscE. — Si, dans une se f ie illimitée de la
forme
on a, pour toute valeur de n, ou tout au moins à partir d'une certaine valeur de /z, constamment
i T î
> ^ i
la série a pour somme un nombre incommensurable.
En particulier, cette condition est remplie si
ou
Un (Mfl+l) lhi+i Un+2 M«+3
ce qui donne des caractères permettant de reconnaître si la somme d'une série est un nombre incommensu- rable.
On aurait un théorème analogue pour la série
T I I
Une telle série représente un nombre incommensurable, si l'on a constamment
Exemple, — Soit
i i i
i a 6 4 ' 2 ' i 8 o 6 3 2 6 3 4 4 2 " ' • '
chaque dénominateur est égal au précédent multiplié par lui-même plus un.
On a donc ici
et, par conséquent
i Un(Un-hl)>
(
11—
5 i 3 )
i Ï 'n+2 " ^ Un+3
Donc la série a pour somme un nombre incommen- surable.
Autre exemple. — La série dont le ternie général est
a étant >> i.
On voit facilement que la somme de cette série est incommensurable.
D'ailleurs Liouville a montré que cette somme n'est pas non plus un nombre algébrique.
S. On peut généraliser le résultat précédent, en consi- dérant des séries de la forme
ÜÜ. _ lll _|_ ÜI __
OU
PJ! _4_ r* Ü 1 _4_
UQ ll\ Uî
z/0,/^, . . . , t'o,fi, . • . étant des nombres entiers.
On démontrera sans peine que la somme de la pre- mière est un nombre incommensurable, si Ton a con- stamment
En particulier, cette condition est remplie si
Ll S I
Ufi+i H/t+2 «/^3 Hn{Un-+-l)
La somme de la seconde série est un nombre incom-
nicnsiirablt', si
Un(U„—
