Théorème du point fixe

Aide Mémoire de Calcul Différentiel

1 Rappels sur les espaces normés

boule ouverte de centrea et de rayonr ⇐⇒^def B(a, r) ={x∈E| kx−ak< r}

boule fermé de centrea et de rayonr ⇐⇒^def B(a, r) ={x∈E| kx−ak6r}

Ω ouvert ⇐⇒^def ∀x∈Ω,∃r >0|B(x, r)⊂Ω A fermé ⇐⇒^def E\A ouvert

⇐⇒ ∀x_n ∈A−→x alors x∈A V(a) :V voisinage dea ⇐⇒^def ∃r >0, B(a, r)⊂V

A borné ⇐⇒^def ∃x∈E, ∃r >0|A⊂B(x, r)

suite convergente ⇐⇒^def ∀ε >0,∃n0∈N|n>n0⇒ kxn−xk< ε suite de Cauchy ⇐⇒^def ∀ε >0,∃n0∈N|n, m>n₀⇒ kxn−x_mk< ε suite convergente =⇒ suite de Cauchy

espace de Banach (complet) ⇐⇒^def suite de Cauchy = suite convergente

k · k etk · k⁰ équivalentes ⇐⇒^def ∃a >0, b >0| ∀x∈E, akxk6kxk⁰6bkxk

f :E→F continue ena ⇐⇒^def ∀ε >0, ∃δ >0 : kx−akE6δ⇒ kf(x)−f(a)kF 6ε

⇐⇒ ∀ε >0, ∃δ >0, ∀x∈B(a, δ), f(x)∈B(f(a), ε) f continue ⇐⇒ B fermé alorsf⁻¹(B) fermé

⇐⇒ B ouvert alorsf⁻¹(B) ouvert

⇐⇒ ∀xn −→x alorsf(x_n)−→f(x) compact ⇐⇒^def sous-recouvrement fini d’ouverts

⇐⇒ ∀suite,∃sous-suite convergente

=⇒ fermé + borné

=⇒ de Banach (complet) F fermé ⊂K compact =⇒ F compact

K compact etf continue =⇒ f(K) compact etf bornée et atteint ses bornes

dimensions infinies (cas général) dimensions finies exemples :C⁰([0; 1],R)∼ R^∞,P[X] exemples :Rⁿ,Mn×m(R)

normes équivalentes espace de Banach (complet) si suite de Cauchy = suite convergente suite de Cauchy = suite convergente

compact = sous-recouvrement fini d’ouverts compact⇐⇒fermé + borné compact⇐⇒sous-suite convergente

compact=⇒fermé + borné

linéaire + continue⇔linéaire + bornée linéaire=⇒continue surB(0; 1)

Théorème du point fixe

f :E→EavecE, espace de Banach

kf(x)−f(y)k6αkx−yk (0< α <1) =⇒f(a) =aunique

Applications linéaires continues : L(E, F )

|||f|||=kfk_L(E,F) = sup_kxk

E61kf(x)k_F

si f linéaire : f continue surE ⇔ f continue en un point

⇔ f est bornée surB(0; 1)

⇔ ∃M >0 tel quekf(x)kF 6MkxkE (avecM =|||f|||) f ∈ L(E, F) =⇒ kf(x)kF 6|||f|||kxkE

2 Synthèse sur les applications différentiables

f(a+h)−f(a) = linéaire, continue enh +négligeable enh différentielle :f⁰(a)∈ L(E, F)

f(a+h)−f(a) = [f⁰(a)](h)ouf⁰(a)h +o(h)

(calcul différentiel) = (algèbre linéaire) +(majorations de normes)

x7→f⁰(a)(x−a) +f(a): équation de la tangente àfena= approximation affine

Rappels

f =o

a(g)⇐⇒ f(x) g(x)

−−−→x→a 0 f =O

a(g)⇐⇒ lim

x→a

f(x) g(x) borné

f(h) =o(h)⇐⇒ kf(h)k khk

khk→0

−−−−→0

g∈ L(R,R) ⇐⇒ ∃λ∈R| ∀x∈R, g(x) =λx

g∈ L(Rⁿ,R^m) ⇐⇒ ∃Mg∈Mn×m(R)| ∀x∈Rⁿ, g(x) =Mgx

⇒ f⁰(a)∈ L(Rⁿ,R^m) ≡ f⁰(a)∈Mn×m(R)

2.1 Propriétés

• fdifférentiable=⇒f continue

• f ∈ L(E, F) =⇒ f⁰(a) =f

• fconstante=⇒f⁰(a) = 0

• (λf)⁰(a) =λf⁰(a)

• (f +g)⁰(a) =f⁰(a) +g⁰(a)

• (g◦f)⁰(a) =g⁰(f(a))◦f⁰(a)

• l(x) =B(f(x), g(x)) =⇒l⁰(a)h=B(f⁰(a)h, g(a)) +B(f(a), g⁰(a)h) ex :l(x) =f(x)×g(x) =B(f(x), g(x))avecB(x, y) =x×y

⇒l⁰(a)h=f⁰(a)h×g(a) +f(a)×g⁰(a)h

2.2 Théorème d’accroissements finis

f différentiable sur[a, b] ⇒ kf(b)−f(a)kF 6 sup

x∈[a,b]

|||f⁰(x)|||

!

kb−akE

f différentiable sur un connexe ⇒ kf(x)−f(y)kF 6

sup

a∈connexe

|||f⁰(a)|||

kx−ykE

|||f⁰(a)|||=kf⁰(a)k_L(E,F) = sup_kxk

E61kf⁰(a)(x)k_F

2.3 Cas f : R

→ R

f différentiable ⇒ δ_ifexistent :δ_if(a) =f⁰(a)e_i f différentiable : δ_ifexistent

f différentiable ⇐ δ_ifexistent et sont continues f⁰(a)h=X

δif(a)hi

2.4 Continûment différentiable

f ∈C¹=

fdifférentiable f⁰continue

⇔δif existent et sont continues (casRⁿ →R^m)

f⁰(x) :E → F

h 7→ f⁰(x)h 6= f⁰ :U → L(E, F) x 7→ f⁰(x) fdifférentiable sur U ⇒ f⁰(a)continue (et linéaire) ∀a∈E

6= f⁰continue

2.5 Matrice Jacobienne de f : R

→ R

en x

J f(x) =







∂1f1(x) . . . ∂nf1(x) ... ... ...

∂1fm(x) . . . ∂nfm(x)





=







∇f1(x)^T ...

∇fm(x)^T





= (J1f(x) . . . Jmf(x))

L(Rⁿ,R^m) ≡ Mn×m(R) x∈Rⁿ f⁰(x) ≡ J f(x)

x, y∈Rⁿ, f⁰(x)y=J f(x)y∈R^m

2.6 Gradient de f : R

→ R en x

∇f(x) =J f(x)^T =







∂1f(x) ...

∂_nf(x)







f⁰(x)h= ∂₁f(x) . . . ∂_nf(x)





 h₁

... hn





=h∇f(x), hi

f(a+h)−f(a) =h∇f(x), hi+o(h)

Rappels

Injectif, Surjectif, Bijectif

f injectif ⇔ f(x) =f(y)⇒x=y

si f linéaire : f injectif ⇔ (f(x) = 0⇒x= 0)⇔kerf ={0}

f surjectif ⇔ ∀y,∃x|f(x) =y

∀f :E→F ⇒ f :E→f(E) surjectif f bijectif ⇔ f inversible

⇔ f injectif et surjectif

⇔ ∀y,∃!x|f(x) =y f ∈ L(Rⁿ,R^m)inversible et d’inverse continue ⇔ detJ f(x)6= 0

Inversion de matrice

A⁻¹= 1

detA comA^T

aveccomAij = (−1)^i+jdet(Aprivée de lai-ème ligne et de laj-ième colonne)

a b c d

−1

= 1

ac−bd

d −b

−c a

3 Différentielles secondes, formules de Taylor

3.1 f

(a) différentielle seconde de f en a

f⁰(a+h) =f⁰(a) +f⁰⁰(a)h+o(h) dansL(E, F)

f⁰⁰(a) = (f⁰)⁰(a)∈ L(E,L(E, F))≡ L(E×E, F)) =application bilinéaire continue

3.2 Théorème de Schwarz

fde classeC² ⇒ f⁰⁰(a)est symétrique

3.3 Cas f : R

→ R

f⁰⁰(x)(h, k) =

n

X

j=1 n

X

i=1

∂²f

∂xj∂xi

(x)kihj

Matrice hessienne def (carrée et symétrique)

∇²f(x) =









∂²f

∂x²₁(x) · · · _∂x^∂2f

n∂x1(x)

... ...

∂²f

∂x₁∂x_n(x) · · · _∂x^∂2f2 n(x)









3.4 Formule de Taylor

f :E→F f(a+h) =f(a) +f⁰(a)h+1

2f⁰⁰(a)(h, h) +o(h²) f :Rⁿ→R f(a+h) =f(a) +h∇f(a), hi+1

2h∇²f(a)h, hi+o(h²)

3.5 Ensemble convexe / Fonction convexe

C⊂Rⁿconvexe ⇐⇒ ∀x, y∈C,∀α∈[0,1], αx+ (1−α)y∈C

f :C⊂Rⁿ→Rconvexe ⇐⇒ ∀α∈[0,1], f(αx+(1−α)y)6αf(x)+(1−α)f(y)

3.6 Propriétés

fconvexe =⇒λfconvexe(λ >0) f etgconvexes =⇒(f+g)et max(f, g)convexes

3.7 M ∈ M

( R ) matrice symétrique

M est définie positive M est semi-définie positive

⇐⇒ ∀x∈Rⁿ\{0}, x^TM x >0 ⇐⇒ ∀x∈Rⁿ, x^TM x>0

⇐⇒ toutes valeurs propres>0 ⇐⇒ toutes valeurs propres>0

⇐⇒n=2

det(M)>0 tra(M)>0

⇐⇒n=2

det(M)>0 tra(M)>0

3.8 Propriétés

fconvexe surC ⇐⇒ ∀x, y∈C, f(y)>f(x) +∇f(x)^T(y−x) fconvexe surC ⇐⇒ ∀x∈C, ∇²f(x)semi-définie positive f strictement convexe surC ⇐⇒ ∀x∈C, ∇²f(x)définie positive

4 Inversion locale, fonctions implicites

4.1 Difféomorphisme de classe C

ou C

-difféomorphisme

f :V →F est un difféomorphisme de classeC¹deV (surW =f(V))

⇐⇒

f :V →W est bijective de classeC¹surV f⁻¹:W →V est de classeC¹surW

4.2 Théorème d’inversion locale

Si

f :U →Fde classeC¹

f⁰(a)inversible et d’inverse continu(≡detJ f(a)6= 0: casRⁿ→R^m) Alors

∃V =V(a) ouvert, (∃W =V(f(a)) =f(V) ouvert) f :V →F est unC¹-difféomorphisme deV

de plus

=⇒ [f⁻¹]⁰(f(x)) = f⁰(x)⁻¹

J(f⁻¹)(f(x)) = (J f(x))⁻¹ casRⁿ→R^m

4.3 Théorème des fonctions implicites

f :U ⊂Rⁿ×R^p → R^p (valable aussi sur des espaces de Banach) (x, y) 7→ f(x, y)

Si







f est de classeC¹ f(a, b) = 0

detJyf(a, b)6= 0 (Jyf(a, b)∈Mp×p(R)etJ f(x, y)∈M(n+p)×p(R))

alors











∃Va=V(a) ouvert, ∃Vb =V(b)ouvert, avec V_a×V_b⊂U

∃une applicationϕ:V_a →V_bde classeC¹tels que (x, y)∈V_a×V_b

f(x, y) = 0 ⇔

x∈V_a y=ϕ(x)

de plus

=⇒ J ϕ(x) =−[Jyf(x, ϕ(x))]⁻¹Jxf(x, ϕ(x)) (∈Mn×p(R))

4.4 Vecteur tangent en a à C ⊂ R

v∈Rⁿvecteur tangent enaàC

⇐⇒ ∃γ:I→Rⁿdérivable (oùIest un intervalle ouvert contenant0) telle que







γ(I)⊂C γ(0) =a γ⁰(0) =v

v vecteur tangent de kerh ena =⇒ v∈kerJ h(a)

v vecteur tangent de kerh ena ⇐=







v∈kerJ h(a)

∀i, ∇hi(a) linéairement indépendants (c-à-d kerJ h(a)^T ={0_R^m})