AI3, Mathématiques janvier 2019
Contrôle 2
Le polycopié de cours est autorisé, la calculatrice est interdite.
Toutes les réponses doivent être justiées et correctement rédigées.
Exercice 1 : Paroi non homogène
(16 pts)On considère une paroi de largeur 1 constituée de deux matériaux de conductivités dié- rentes. L'objectif de ce problème est de déterminer l'évolution de la température dans la paroi.
La première moitié de la paroi est dans un matériau dont le coecient de diusivité ther- mique est c1 et la seconde dans un matériau de coecient c2.
Les deux côtés de la paroi sont en contact avec un milieu à 0◦. Le problème se modélise ainsi :
Équation de la chaleur : ∀x∈[0,12[, ∂T
∂t =c1∂2T
∂x2 et ∀x∈]12,1], ∂T
∂t =c2∂2T
∂x2. Conditions centrales : ∀t >0, T(12+, t) =T(12−, t) et c2∂T
∂x(12+, t) = c1∂T
∂x(12−, t). Conitions au bord : ∀t >0, T(0, t) = T(1, t) = 0.
Les conditions centrales décrivent les échanges thermiques à l'interface des deux matériaux, les termes avec 12+ et 12− désignant des limites à droite et à gauche de T.
1. Expliquer de manière simple, en raisonnant sur les échanges thermiques en x = 12, les conditions centrales.
2. Nous allons déterminer des solutions stationnaires du problème.
Soit T une solution de la formeT(x, t) = U(x)V(t).
(a) Injecter cette solution T dans les trois équations diérentielles du problème.
Séparer les variables (en laissant les constantesc1 etc2 du côté de la fonctionU(x)).
Justier qu'il existe une constante λ telle queV0(t) =λV(t).
(b) Résoudre cette équation et en déduire que, pour des raisons physiques, λ est néces- sairement strictement négative.
(c) Résoudre les deux équations diérentielles satisfaites par U pour x < 12 etx > 12. (d) Simplier un peu l'une des solutions en utilisant la condition au bordU(0) = 0.
(e) Traduire les trois autres conditions du problème pour la fonction U.
Nous obtenons ainsi un système à trois équations et quatre inconnues. Nous avons résolu ce système numériquement pourc1 = 1etc2 = 4en xant l'une des inconnues.
Il y a une innité de valeurs possibles pour λ. Nous avons considéré la plus pe- tite valeur possible de λ an de décrire la première solution stationnaire de notre problème.
1
(f) Parmi les graphes ci-dessous, lequel peut correspondre à cette première solution de U? Justier votre réponse.
·
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1 -0.5 0 0.5 1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
3. Changeons maintenant l'une des températures au bord : ∀t, T(1, t) = 10◦. Les autres équations du modèle restent inchangées et on garde c1 = 1 etc2 = 4.
(a) Déterminer la solutionTeq(x)à l'équilibre de ce nouveau problème. Elle doit satisfaire les deux équations diérentielles et les quatre conditions en x= 0, 12 et 1.
(b) Représenter cette solution.
(c) SoitT la solution générale du problème. Justier queT−Teqest solution du problème étudié dans la première partie. En déduire que l'on est capable de résoudre ce nouveau problème.
Exercice 2 : Régime forcé
(8 pts)On considère l'équation d'ondes
(E) ∂2y
∂t2 =ν2∂2y
∂x2 +F(x, t),
oùF représente un vibration extérieure imposée au système. On souhaite résoudre cette équa- tion et décrire le comportement fréquentiel de la vibration y en fonction de celui de F.
1. Pour ω, ν etA xés, on considère l'équation diérentielle ν2f00(x) +ω2f(x) = Ae−iωx. Déterminer une solution particulière de cette équation de la forme f(x) = Be−iωx. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation.
On suppose que F se décompose en transformée de Fourier sous la forme suivante : F(x, t) =R+∞
−∞ Aωeiω(t−x)dω.
On cherche une solution y de notre problème se décomposant sous la forme y(x, t) = R+∞
−∞ f(x, ω)eiωtdω.
2. Injecter y dans l'équation (E) et montrer que f est solution d'une certaine équation diérentielle. On s'autorisera à dériver sous l'intégrale.
3. Utiliser la solution particulière obtenue en 1 pour déduire une solution y de(E). 4. Décrire ses coecients fréquentiels en fonction des coecients Aω de F.
Quelles fréquences de F sont les mieux transmises à la vibration y? 5. Quelle est la solution générale de notre problème ?
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