Comportement asymptotique des valeurs propres liées à l'équation d'Allen-Cahn

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Comportement asymptotique des valeurs propres liées à l'équation d'Allen-Cahn

Soutenance de Magister en Mathématiques Par : Karima MORSLI

Directeur de mémoire : Boubaker-Khaled SADALLAH

École Normale Supérieure Kouba, Alger

14 octobre 2017

(2)

Plan de l'exposé

1 Introduction 2 Préliminaires

3 Linéarisation de l'équation d'Allen-Cahn 4 L'équation de représentation

5 Expressions des fonctions propres 6 Démonstration des résultats principaux 7 Perspectives

8 Bibliographie

(3)

Introduction

(4)

Introduction

Samuel Allen et John Cahn en 1979 [1 ] pour décrire l'évolution d'un matériau polycristallin, ont proposé l'équation de réaction-diusion

ut=ε²uxx+f(u) (x, t)∈(0,1)×(0,+∞),

La présence d'un petit paramètreεqui dénit l'épaisseur des interfaces séparant les diérentes phases rend dicile l'analyse des problèmes posés.

(5)

(6)

Chapitre 1 :

Préliminaires

(7)

Chapitre 1 : Préliminaires

Pour traiter l'équation d'Allen-Cahn on a besoin des intégrales elliptiques.

Dénition :[Intégrale elliptique complète]

Soientk∈[0,1) etν∈C. Les trois intégrales elliptiques complètes sont dénies respectivement par :

K(k) :=

Z 1 0

1

p(1−s²)(1−k²s²)ds, (1)

E(k) :=

Z 1 0

s

1−k²s²

1−s² ds, (2)

et

Π(ν, k) :=

Z 1 0

1 (1 +νs²)p

(1−s²)(1−k²s²)ds. (3)

(8)

Chapitre 1 : Préliminaires

Dénition : [Fonction de Jacobisn]

La fonction elliptique de Jacobi :snts'obtient par l'inversion de l'intégrale :

t= Z s

0

dr

p(1−r²)(1−k²r²), 0≤k <1.

D'oùs=snt=sn(t, k).

(9)

Chapitre 2 : Linéarisation de

l'équation

d'Allen-Cahn

(10)

Chapitre 2 : Linéarisation de l'équation d'Allen-Cahn

Considérons le problème aux limites non linéaire stationnaire d'Allen-Cahn suivant :

(ε²uxx(x) +f(u(x)) = 0 x∈ (0,1),

u_x(0) =u_x(1) = 0, (4)

où ε >0(petit) etf est assez régulière. On noteF(u) :=Ru 0 f(s)ds, et on suppose quef est impaire et possède une non-linéarité bistable équilibrée. i.e. ayantuniquement trois zérosu₋<0< u+ tels que

fu(0)>0, fu(u±)<0. (5) Cela implique que F(u−) =F(u+).

(11)

Chapitre 2 : Linéarisation de l'équation d'Allen-Cahn

(ε²uxx(x) +f(u(x)) = 0 x∈ (0,1),

u_x(0) =u_x(1) = 0, (4)

où ε >0(petit) etf est assez régulière. On noteF(u) :=Ru 0 f(s)ds, et on suppose quef est impaire et possède une non-linéarité bistable équilibrée.i.e. ayantuniquement trois zérosu₋<0< u+ tels que

fu(0)>0, fu(u±)<0. (5) Cela implique queF(u−) =F(u+).

(12)

Chapitre 2 : Linéarisation de l'équation d'Allen-Cahn

(ε²uxx(x) +f(u(x)) = 0 x∈ (0,1),

u_x(0) =u_x(1) = 0, (4)

où ε >0(petit) etf est assez régulière. On noteF(u) :=Ru 0 f(s)ds, et on suppose quef est impaire et possède une non-linéarité bistable équilibrée. i.e. ayantuniquement trois zérosu₋<0< u+ tels que

fu(0)>0, fu(u±)<0. (5) Cela implique queF(u−) =F(u+).

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Chapitre 2 : Linéarisation de l'équation d'Allen-Cahn

Pourn∈Narbitraire, (4)admet deuxn-mode solutions ±un,ε(x) lorsqueεest petit.

Le problème aux valeurs propres linéarisé de(4)associé àun,ε est

(ε²ϕxx(x) +fu(un,ε(x))ϕ(x) +λϕ(x) = 0 dans (0,1),

ϕ_x(0) =ϕ_x(1) = 0, (6)

λ^n,ε_j etϕ^n,ε_j désignent respectivement la valeur propre et fonction propre de(6).

Wakasa et Yotsutani en 2015 ont ramené le problème(6) (grâce à un changement d'échelle et à des considérations physiques) à l'étude du problème

Φ_zz(z) +f_u(U(z))Φ(z) + ΛΦ(z) = 0 dansR,

Φ∈L²(R). (7)

(14)

Chapitre 2 : Linéarisation de l'équation d'Allen-Cahn

Le problème aux valeurs propres linéarisé de(4)associé àun,ε est (ε²ϕxx(x) +fu(un,ε(x))ϕ(x) +λϕ(x) = 0 dans (0,1),

ϕ_x(0) =ϕ_x(1) = 0, (6)

Φ∈L²(R). (7)

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Chapitre 2 : Linéarisation de l'équation d'Allen-Cahn

Le problème aux valeurs propres linéarisé de(4)associé àun,ε est (ε²ϕxx(x) +fu(un,ε(x))ϕ(x) +λϕ(x) = 0 dans (0,1),

ϕ_x(0) =ϕ_x(1) = 0, (6)

Φ∈L²(R). (7)

(16)

Chapitre 2 : Linéarisation de l'équation d'Allen-Cahn

Ils ont proposé la conjecture suivante relativement aux éléments propres de(6)pour une fonctionf assez générale :

Conjecture de Wakasa et Yotsutani en 2015-2016

Toutes les valeurs propres et fonctions propres de (6) sont classées en plusieurs groupes en fonction de la structure de (7) et il y a une propriété asymptotique universelle dans chacun des groupes.

Cette conjecture a été résolue par ces auteurs dans le casf(u) =u−u³ en 2015-2016.

Les principaux résultats de ces travaux sont :

(17)

Chapitre 2 : Linéarisation de l'équation d'Allen-Cahn

Ils ont proposé la conjecture suivante relativement aux éléments propres de(6)pour une fonctionf assez générale :

Conjecture de Wakasa et Yotsutani en 2015-2016

Toutes les valeurs propres et fonctions propres de (6) sont classées en plusieurs groupes en fonction de la structure de (7) et il y a une propriété asymptotique universelle dans chacun des groupes.

Cette conjecture a été résolue par ces auteurs dans le casf(u) =u−u³ en 2015-2016.

Les principaux résultats de ces travaux sont :

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Théorème 1

Supposons quef(u) =u−u³. Soitn∈N. quandε−→0, dans(6)on obtient

1 λ^n,ε₀ =−96 exp(−

√2

nε) +o(exp(−

√2 nε)),

2 λ^n,ε_n =³₂−12 exp(−^√¹

2nε) +o(exp(−^√¹

2nε)),

3 λ^n,ε_2n = 2 + 96 exp(−

√ 2

nε) +o(exp(−

√ 2 nε)).

(19)

Théorème 2

Supposons quef(u) =u−u³. Soientn∈Nxé etj∈N∪ {0}. Quand ε−→0, dans (6)on obtient

1 Pour 0< j < n,

λ^n,ε_j =−96 cos² jπ 2n.exp(−

√2

nε) +o(exp(−

√2

nε)),

2 Pour n < j <2n, λ^n,ε_j = 3

2−12 cos(j−n)π

n exp(− 1

√2nε) +o(exp(− 1

√2nε)),

3 Pour j >2n,

λ^n,ε_j = 2 + (j−2n)²π²ε²+o(ε²).

(20)

Chapitre :3

L'équation de

représentation

(21)

Chapitre 3 :L'équation de représentation

Soitu(x) =u_n,ε(x)pour un certainn∈N.etα=α_n,ε=u_n,ε(0). On remplaceϕparP(u(x)),P ∈C²([u−, u+]). Grâce à(4) l'équation (6)devient

2(F(α)−F(u))P_uu(u)−f(u)P_u(u)+(f_u(u)+λ)P(u) = 0, u∈(−α, α).

(8) On dit que (8)estl'équation de représentation de deuxième ordrede (6).

(22)

Chapitre 3 :L'équation de représentation

(23)

Chapitre 3 :L'équation de représentation

(24)

An de donner une classe plus large de fonctions propres liées à l'équation(6), on utilise

l'équation de représentation du troisième ordre

2(F(α)−F(u))Quuu(u)−3f(u).Quu(u) + (3f_u(u) + 4λ)Qu(u) + 2fuu(u)Q(u) = 0, (9) oùϕ²(x) =Q(u, λ;α),Q ∈C³. On pose maintenant

ρ(λ;α) := Q(α, λ;α)

2 [−f(α)Qu(α, λ;α) + 2(fu(α) +λ)Q(α, λ;α)].

(25)

ρ(λ;α) := Q(α, λ;α)

(26)

ρ(λ;α) := Q(α, λ;α)

(27)

Chapitre 3 :L'équation de représentation

Proposition 1

Soitf une fonction impaire de classeC² qui satisfait(5). Supposons que (9)admet une solution particulièreQ(u, λ;α_n,ε)avecρ(λ, α_n,ε)>0.

Alors ϕ(x;λ) =p

| Q(un,ε(x), λ;αn,ε)|cos 1 ε

x

R

0

pρ(λ, α_n,ε)

| Q(u_n,ε(ξ), λ;α_n,ε)|dξ

! , et

˜

ϕ(x;λ) =p

| Q(un,ε(x), λ;α_n,ε)|sin 1 ε

x

R

0

pρ(λ, αn,ε)

| Q(un,ε(ξ), λ;αn,ε)|dξ

!

sont les deux solutions linéairement indépendantes de

ε²ϕ_xx(x) +f_u(u_n,ε(x))ϕ(x) +λϕ(x) = 0. (10)

(28)

Chapitre 4 :

Expressions des

fonctions propres

(29)

Chapitre 4 : Expressions des fonctions propres

SoitA0(k) :=√

1 +k²K(k)pour toutk∈(0,1), on a la

Proposition 2

Soitn∈Nxé. On pose f(u) =u−u³. L'équation(4) admet deux n-mode solutions ±un,ε(x)si et seulement siε∈(0,1/(nπ)). En outre, u_n,εest donnée par

un,ε(x) =

s 2k_n,ε² 1 +k_n,ε² sn



 1 q1 +k²_n,ε

x+ 1

2n

, kn,ε





=

2nK(k_n,ε)

x+ 1 2n

, k_n,ε

, (11)

où kn,ε est la solution unique deA0(k) =_2nε¹ , k∈(0,1).

(30)

Chapitre 4 : Expressions des fonctions propres

SoitA0(k) :=√

1 +k²K(k)pour toutk∈(0,1), on a la

Proposition 2

Soitn∈Nxé. On pose f(u) =u−u³. L'équation(4) admet deux n-mode solutions ±un,ε(x)si et seulement siε∈(0,1/(nπ)). En outre, u_n,εest donnée par

un,ε(x) =



 1 q1 +k²_n,ε

x+ 1

2n

, kn,ε





=

2nK(k_n,ε)

x+ 1 2n

, k_n,ε

, (11)

oùkn,ε est la solution unique deA0(k) =_2nε¹ , k∈(0,1).

(31)

Chapitre 4 : Expressions des fonctions propres

Théorème 3 (Fonctions propres spéciales)

Soientn∈Netε∈(0,1/(nπ))xés. On posef(u) =u−u³. Soient kn,ε etun,εdonnés par la Proposition 2. Alors (6)admet les valeurs propres et fonctions propres suivantes :

(i)









 λ^n,ε₀ =

1 +k_n,ε² −2q

1−k²_n,ε+k_n,ε⁴ 1 +k²_n,ε ,

ϕ^n,ε₀ (x) = 1−

(1 +k_n,ε² )(1 +k²_n,ε−q

1−k²_n,ε+k_n,ε⁴ )

2k_n,ε² un,ε(x)².

(32)

Chapitre 4 : Expressions des fonctions propres

(ii)











λ^n,ε_n = 3k_n,ε² 1 +k_n,ε² ,

ϕ^n,ε_n (x) = 2un,ε(x) s 2

1 +k²_n,ε−un,ε(x)².

(iii)









 λ^n,ε_2n =

1 +k²_n,ε+ 2q

1−k²_n,ε+k⁴_n,ε 1 +k_n,ε² ,

ϕ^n,ε_2n(x) = 1 2[−1 +

(1 +k²_n,ε)(1 +k_n,ε² −q

1−k_n,ε² +k⁴_n,ε)

2k_n,ε² u_n,ε(x)²].

(33)

Chapitre 4 : Expressions des fonctions propres

Pour donner les autres expressions des fonctions propres de (6)on utilise la fonction caractéristiqueA1avec f(u) =u−u³ etk∈(0,1):

A1(k, µ) =











√R(k,µ) 3√

3k² (ν₊Π(ν₊, k)−ν₋Π(ν₋, k)) siµ∈(µ₋(k),0),

√R(k,µ) 3√

3k² (ν−Π(ν−, k)−ν+Π(ν+, k)) siµ∈(3k²,3),

√

−R(k,µ) 3√

−3k² (ν+Π(ν+, k)−ν₋Π(ν₋, k)) siµ∈(µ+(k),+∞), où

R(k, µ) :=−µ(µ−3)(µ−3k²), (12) µ_±(k) := 1 +k²±2p

1−k²+k⁴, (13)

ν_±(k, µ) := 3k²[µ−3(1 +k²)±p

−3(µ−µ+(k))(µ−µ+(k))]

2(µ−3)(µ−3k²) . (14)

(34)

Chapitre 4 : Expressions des fonctions propres

Théorème 4 ( Fonctions propres générales )

Soientn∈Netε∈(0,1/nπ))xés. On posef(u) =u−u³. Soientk_n,ε etu_n,εdonnés dans la Proposition 2. Supposons quej6= 0, n,2n,et soit µⁿ_j(k)la solution unique deA1(k, µ) =jπ

2n.

Alors(6)admet les valeurs propres et fonctions propres suivantes : λ^n,ε_j = 1

1 +k_n,ε² µⁿ_j(kn,ε) (j6= 0, n,2n), et

ϕ^n,ε_j (x) =

q| Qk_n,ε(un,ε(x), µⁿ_j(kn,ε))|cos



 1 ε

x

Z

0

q

ρk_n,ε(µⁿ_j(kn,ε))

| Qk_n,ε(un,ε(ξ), µⁿ_j(kn,ε))|dξ



,

(35)

Chapitre 4 : Expressions des fonctions propres

où

Qk(u, µ) :=Q(u, µ

1 +k²; 2k²

1 +k²) et ρ_k(µ) :=ρ( µ

1 +k²; 2k² 1 +k²).

(15)

(36)

Chapitre :5

Démonstration des

résultats principaux

(37)

Chapitre 5 : Démonstration des résultats principaux

On va donner une idée de démonstration pour le Théorème1et le Théorème2. Pour cela nous utiliserons on particulier les théorèmes3et 4, en plus de la Proposition suivante

Proposition 3

Soientn∈Narbitraire etkn,εdonné par la Proposition2. On a 1−k²_n,ε= 16 exp

− 1

√2nε

+o

− 1

√2nε

quandε→0.

(38)

Chapitre 5 : Démonstration des résultats principaux

On va donner une idée de démonstration pour le Théorème1et le Théorème2. Pour cela nous utiliserons on particulier les théorèmes3et 4, en plus de la Proposition suivante

Proposition 3

Soientn∈Narbitraire etkn,εdonné par la Proposition2. On a 1−k²_n,ε= 16 exp

− 1

√2nε

+o

− 1

√2nε

quandε→0.

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Idée de la démonstration du Théorème 1 :

1 On utilise le Théorème3.

2 On poseh(x) =λ^n,ε_j (j= 0, n,2n)et on fait le changement de variable x= 1−k²_n,ε.

3 On utilise le développement de h(au voisinage de 0) d'ordre2.

4 En appliquant la Proposition3 on obtient alors les résultats du théorème1.

(40)

(41)

(42)

(43)

chapitre 5 : Démonstration des résultats principaux

Proposition 4

Soitn∈Narbitraire et soit j∈Ntel quej6= 0, n,2n.Soitµⁿ_j(k)donné par le Théorème4. Quandk→1, on a

1 Si0< j < n,alors

µⁿ_j(k) =−³₄cos²jπ

2n.(1−k²)²+o (1−k²)² .

2 Sin < j <2n, alors

µⁿ_j(k) = 3−3 cos²(j−n)π

2n .(1−k²) +o(1−k²).

3 Sij >2n, alors

µⁿ_j(k) = 4 +

j−2n 2n

2

π²K(k)⁻²+o K(k)⁻² .

(44)

chapitre 5 : Démonstration des résultats principaux

1 Pour j6= 0, n,2n,le Théorème4 implique λ^n,ε_j = 1

1 +k²n, εµ

k_n,ε;jπ 2n

.

2 On a 1 1 +k² =1

2

1 + 1

2(1−k²)

+o(1−k²) quand k→1.

3 En utilisant les Propositions 3et4 on obtient les résultats du théorème2.

(45)

chapitre 5 : Démonstration des résultats principaux

1 +k²n, εµ

k_n,ε;jπ 2n

.

2 On a 1 1 +k² =1

2

1 + 1

2(1−k²)

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chapitre 5 : Démonstration des résultats principaux

1 +k²n, εµ

k_n,ε;jπ 2n

.

2 On a 1 1 +k² =1

2

1 + 1

2(1−k²)

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Perspectives

Bibliographique et

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Perspectives

La réalisation de ce travail nous a permis de traiter l'équation

d'Allen-Cahn. Les études eectuées jusqu'à maintenant ont touché divers aspects relatifs aux propriétés des solutions de l'équation d'Allen-Cahn.

On peut voir de nombreux développements à ces études, par exemple : 1. Choix d'autres termes non linéaires dans l'équation d'Allen-Cahn.

2. Étude du cas où les conditions aux limites sont non linéaires.

3. Étude de ce problème avec un autre terme stochastique.

4. Étude des approximations numériques de l'équation d'Allen-Cahn.

5. Étude de ce type de problèmes en utilisant d'autres méthodes.

6. Étude de ce type d'équations dans un espace à plusieurs dimensions.

7. Étude du problème non stationnaire

(u_t=ε²u_xx(x) +f(u(x)) x∈ (0,1), ux(0) =ux(1) = 0.

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Perspectives

(50)

Perspectives

(51)

Perspectives

(52)

Perspectives

(53)

Perspectives

(54)

Perspectives

(55)

Perspectives

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Bibliographie I

Allen S. M. and Cahn J. W. : A microscopic theory for antiphase boundary motion and its application to antiphase domain coarsening, Acta Metall, 27, 1979,pp. 1085-1095.

Brunovský P., Fiedler B. : Connecting orbits in scalar reaction diusion equations. II. The complete solution, J. Dierential Equations 81 (1),1989,pp. 106135

Carr J., Pego R.L. : Metastable patterns in solutions of ut=ε²uxx−f(u), Comm. Pure Appl. Math. 42 (5),1989,pp.

523576.

Chafee N., Infante E.F. : A bifurcation problem for a nonlinear partial dierential equation of parabolic type, Appl. Anal. 4, 1974/75, pp.1737.

(57)

Bibliographie II

Wakasa T.,Yotsutani S. : Limiting classication on linearized eigenvalue problem for 1-dimensional AllenCahn equation I asymptotic formulas of eigenvalues, J. Dierential Equations 258, 2015, pp. 39604006.

Wakasa T., Yotsutani S. : Limiting classications on linearized eigenvalue problem for 1-dimensional AllenCahn equation IIasymptotic proles of eigenfunctions,J. Dierential Equations 261, 2016 pp. 54655498 .

Whittaker E.T., Watson G.N. : A course of modern analysis, Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, Cambridge, 1996, an introduction to the general theory of innite processes and of analytic functions ; with an account of the principal transcendental functions, reprint of the fourth (1927) edition.

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Comportement asymptotique des valeurs propres liées à l'équation d'Allen-Cahn