IFT451 Introduction aux langages formels

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IFT451

Introduction aux langages formels

Froduald Kabanza

Département d’informatique Université de Sherbrooke

planiart.usherbrooke.ca/kabanza/cours/ift313

Convertir un expression régulière

en un AFN

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IFT313 © Froduald Kabanza

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Sujet couvert

• Convertir une expression régulière en automate fini.

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Objectif

• Être capable d’écrire un automate fini acceptant le langage décrit par une expression régulière donnée.

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Références

[1] Sudkamp, T. A.. Languages and Machines. Third Edition Edition.

Addison-Wesley, 2005.

– Sections 6.1 à 6.2.

[2] Appel, A. and Palsberg. J. Modern Compiler Implementation in Java.

Second Edition. Cambridge, 2004.

– Section 2.4

[3] Wolper, P. Introduction à la calculabilité, 3è édition. Dunod, 2006 – Section 2.7

[4] Aho, A., Lam, M., Sethi R., Ullman J. Compilers: Principles, Techniques, and Tools, 2^nd Edition. Addison Wesley, 2007.

– Section 3.7.4

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Pourquoi la conversion ?

- Les expressions régulières sont souvent plus faciles à décrire, mais plus compliquées à implémenter directement.

- Les automates finis non déterministes (AFN) sont utiles parce qu’il est très facile de convertir une expression régulière en AFN.

- Ceci nous donne deux chois pour coder un analyseur lexical (scanner) à partir d’une expression régulière :

a. Convertir l’AFN en AFD et utiliser un pilote (driver) de AFD.

b. Utiliser un pilote (driver) de AFN.

- Nous voyons la première approche en détail. La deuxième approche est laissée comme exercice.

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Algorithme RegExpToNFA

- Entrée : Une expression régulière r sur un alphabet A

- Sortie : Un AFN acceptant L(r).

- Méthode :

+ Pour chaque expression régulière r de base (c-à-d., ε ou un élément de A), il existe un AFN très simple pour L(r).

+ Pour chaque expression régulière plus complexe, u, (par exemple: rs, r|s, r*, r+, [abc], [a-z],…), on obtient l’AFN pour L(u) en combinant les AFNs pour L(r), L(s), L(a), L(b), … + On peut ensuite optimiser l’AFN obtenu.

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Cas de base

1. Pour ε, construire l’AFN :

tel que i est un nouvel état initial et accepteur.

2. Pour chaque symbole a de l’alphabet, construire l’AFN :

Là aussi i et f sont de nouveaux états.

i

^a

f

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Cas récursifs

• Soit N(r) et N(s) les automates pour les expressions régulières r et s :

• Pour les cas récursifs, nous avons besoin de manipuler explicitement uniquement les états initiaux et finis des automates à combiner.

r s

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Cas récursifs

3. Pour l’expression régulière rs, construire l’AFN N(rs) :

C-à-d.: L’état initial de N(rs) est l’état initial de N(r) et les états finaux de N(rs) sont les états finaux de N(s). Ensuite, il faut ajouter des transitions ε partant des états finaux de N(r) vers l’état initial de N(s).

r

_ε

s

ε ε

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Cas récursifs

4. Pour l’expression régulière r|s, construire l’AFN N(r|s) :

C-à-d.: on crée un nouvel état i, avec des transitions ε aux états initiaux de N(r) et N(s). Les états finaux de N(rs) sont ceux de N(r) et N(s).

r

s

ε

i

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Cas récursifs

5. Pour l’expression régulière r*, construire l’AFN N(r*) :

C-à-d: On crée un nouvel état initial i avec une transition ε à l’ancien état initial de N(r), ainsi que des transitions des états finaux de N(r) à l’ancien état initial de N(r).

i ^ε

εε

r ε

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Autres expressions

6. Pour r+, construire N(r+) comme N(rr*).

7. For r?, construire N(r?) comme N(r|ε).

8. For abc, construire N(abc) comme N(a(bc)).

9. Finalement pour [abc], construire N([abc]) comme N(a|(b|c)).

En général, pour les abréviations, utilisez la définition correspondante

.

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Exemple

r = if

1 i 2 I

N(i) :

3 f 4 F

N(f) :

1 i 2

^ε

3 f 4 IF

N(if) :

1 i 2 f 3 IF

Après simplification :

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Exemple

r = [0-9]+ | [0-9]*.[0-9]+

9

1 2

0

.. .

3

^ε

1

⁰9

.. . 2

ε

N([0-9]), après simplifications :

N([0-9]*), après simplifications :

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Exemple (suite)

r = [0-9]+ | [0-9]*.[0-9]+

9

1

0

5 .. .

ε

4

ε

2

9⁰

.. . 3

ε

NUM

6

9⁰

.. . 7

ε

REAL

.

Ainsi de suite … À la fin on obtient :

1 3

4

[0-9]

2

[0-9]

.

REAL NUM

[0-9]

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Résumé

- Il est facile de traduire une expression régulière en un AFN - La méthode qu’on vient de voir n’est pas optimale.

- Il existe des approches plus efficaces.

- On peut formellement démontrer que la méthode précédente est cor- recte. (Laissé comme exercice).

- Donc pour toute expression régulière il existe un AFN qui accepte le langage décrit par l’expression.

- L’inverse est vrai aussi (Laissé comme exercice).

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Leçon suivante

- Nous venons de voir comment générer un AFN à partir d’une expression régulière.

- L’étape prochaine est de voir la construction d’un AFD correspondant à un AFN.

- Nous savons déjà comment programmer un scanner en utilisant un AFD (Devoir 1).

- La construction d’un AFD à partir d’un AFN nous permettra donc d’im- plémenter des scanners à partir des expressions régulières.

- L’alternative est de scanner en utilisant un AFN directement. Nous abor- derons ce sujet sommairement.