Correction ES2 2012-2013 PROBLEME d’algèbre

Correction ES2 2012-2013

PROBLEME d’algèbre

Pour tout réels a et b, on pose _,

2 0 0

a b

a b

M a b a a b

a b a b a

−

 

 

= − + − + 

− + − + 

 

, puis

F =

{

M_{a b}^, / et réelsa b

} .

Partie I - Etude d’un cas particulier (8 points)

Dans cette partie, on prend b= +a 1, et M_{a b,} devient

1 0 0

1 1

1 1

a

a

M a

a

−

 

 

= 

 

 

.

On note f l’endomorphisme de _a R³ canoniquement associé à M . _a On pose d1=

(

1, 1, 0−

)

, d2 =

(

1, 0, 1−

)

et d3=

(

0,1,1

)

.

1) Montrer que D=

(

d d d1, 2, 3

)

est une base de R^3. Det d d d

(

1, 2, 3

)

= ≠2 0 2) Calculer f d

( )

1 =

(

a−1

)

d1, f d

( )

2 =

(

a−1

)

d2 et f d

( )

3 =

(

a+1

)

d3 et en déduire la matrice

1 0 0

0 1 0

0 0 1

a a

a N

a−

 

 

= − 

 + 

 

de f dans la base D. _a

3) Montrer que, quelque soit a, f n’est ni une projection, ni une symétrie. _a

( ) ( )

( )

( )

2

2 2

2 3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

a a

a

N a N a

I a

 − 

 

 

= − ≠ ∀ ∈

 

 + 

 

ℝ

4) Pour tout entier naturel n, déterminer la matrice de f_aⁿ dans la base D.

( ) ( )

( )

( )

1 0 0

0 1 0

0 0 1

n

n n

a

n

a

N a n

a

 − 

 

 

= − ∀ ∈

 

 + 

 

ℕ

5) Dans cette question, on prend a=2. Déterminer la matrice de f₂ⁿ dans la base canonique.

( )

2,3

( )

2 ¹

2 0 0

1 1 3 1 3 1 3

2 1 3 1 3 1 3

n n n n n

n n n

M P N P⁻ n

 

 

= = − + + − +  ∀ ∈

− + − + + 

 

ℕ

Partie II - Etude d'un endomorphisme (5 points)

Soit ϕ définie sur R2

[ ]

X par ^ϕ

( )

^{P =3X X}

(

^{3−X2− +X X0}

)

^{P'' 6− X X}

(

^2−X0

)

^{P′+2 3}

(

^X2+3X−5X0

)

^P.

1) Vérifier que ϕ est un endomorphisme de E=R2

[ ]

X .

(

^{P Q}

) ( )

^P

( )

^Q

ϕ +λ =ϕ +λϕ et ^ϕ

( )

^{X0 =6X2+6X− ∈10 E;ϕ}

( )

^{X = −4X+6X2∈E;ϕ}

( )

^{X2 = −4X2+6X∈E}

2) Déterminer la matrice de ϕ dans la base canonique de R2

[ ]

X .

( )

^{610 04 06}

6 6 4

M ϕ

−

 

 

=_ − _

 − 

 

3) Montrer que cette matrice est un élément de F. M

( )

ϕ =M−4,2∈F

Partie III - Etude du cas général (7 points + 6 points bonus pour Q4 et Q5)

1) Montrer que F est un sous espace vectoriel de M3

( )

R et déterminer une base et la dimension de F.

(

^{1,0 0,1}

)

2 0 0 1 0 0

1 1 1 , 1 0 1 ,

1 1 1 1 1 0

F Vect Vect M M

  − 

   

= − −   =

   

− −   

 

, dim(F) = 2 car matrices non colinéaires.

2) Montrer que ^B=

( )

^{I J,} est une base de F avec

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

 

 

= 

 

 

M1,1 F

= ∈ ^et

0 0 0

1 1 1

1 1 1

J

 

 

= 

 

 

M1,2 F

= ∈

et (I, J) base car matrices non colinéaires.

3) On définit l’application

( )

2

,

: , _{a b}

F a b M

 →

Φ 

 ֏

R

Montrer que Φest une application linéaire ^Φ

(

^{( , )a b +λ( ', ')a b}

)

^{= Φ}

( )

^{a b, + Φλ}

(

^{a b', '}

)

^.

Déterminer la matrice de Φ dans les bases C et B, avec C base canonique de R^{2 et B=}

( )

^{I J, .}

( ) ( )

(

^{Φ 1, 0 =M1,0=2I−J et Φ 0,1 =M0,1= − +I J}

)

^{⇒MC B,}

( )

^{Φ =}₋²₁ ⁻₁^1

 

4) a) Calculer J²

0 0 0 2 2 2 2 2 2

 

 

= 

 

 

, J^{3 2 2 2}

2 2 2

0 0 0

2 2 2

2 2 2

 

 

= 

 

 

. Puis déterminer J^{n 1 1 1 1}

1 1 1

0 0 0

2 2 2 2

2 2 2

n n n n

n n n

− − − − J

− − −

 

 

= =

 

 

pour n≥1.

b) Déterminer les coordonnées α ^et β de M_{a b,} dans la base ^B=

( )

^{I J, .}

, (2 ) ( ) (2 ) et ( )

Ma b= a b I− + − +a b J⇒α= a b− β= − +a b c) Apres avoir justifié l’utilisation de la formule du Binôme de Newton (I.J = J.I), montrer :

1

∀ ≥n , ^,

( )

¹

1 1

0 0

2 2

n n

n k n k k k n k k k

n n

n n n k k k

a b

k

k k

n n n

M I J I J I J

k α J k k

α β ^{− −} β α β^{− −} α α β

= =

− −

=

   

=   =  

  

   

= +

∑ ∑

 = +

∑

   × ^.

d) Calculer

( ) ( ) ( )

1 1 0

1 1 1 1

2 2 2

2 2 2

2

n n

k k n

n k n k n n

n

n k k k

k k

k

n n

k k

n

k α ⁻ β ⁻ α β α β α α β α

=

=

− −

=

  

     

= =  − = + −

   

   

   



∑



∑

   

∑

      ^,

et donner M_{a b,}ⁿ

(

²

)

¹

(

²

)

2

n n n

a b I b a b J

= − +  − −  en fonction de I, J, a, b et n.

5) Conclusion : déterminer ^ϕn

(

^{1 2+ X+X2}

)

^.

(

^4,2

)

¹²

^{( )}

^{10 12 1}₂ ²

^{( )}

^{10 12}

^{( )}

^{10 12 1}₂ ²

^{( )}

^{10 04}

^{( )}

^{10 12 2 2}

^{( )}

^{10 10}

1 1 1 1 4 1 1

n n n n n n n n n n

M₋ I J

             

 = −  +  − −   = −  +  − −  = −  +  − −  

                 

             

             

et donc : ^ϕn

(

^{1 2+ X +X2}

)

^{= −}

( )

^{10 n}

(

^{1 2+ X+X2}

)

^{+2 2}_ ^{n− −}

( )

^{10 n}_

(

^X+X2

)

^.

Exercice 1 :

Soit J =

( )

1 2

1 2 2

2

1 2

x dx

x x

− −

∫ ^.

1- Faire dans J les changements de variable x = cos(t), puis u = tan(t).

( )( )

3

2 2

0

1 2 1

= ∫ + ^du + J

u u

2- Décomposer en éléments simples f(x) =

( ^{1 + x}

²

)( ^{1 1 2 + x}

²

) ^{= 1 + − 1 x}

²

^{+ 1 2 + 2 x}

²

3- Donner une primitive de f : ^{F = − Arc tan( ) x + 2Arc tan} ( ) ^{2 x}

4- Calculer J = 2Arc tan ( ) 6 3

− π 5- Calculer I =

1^{1 2}

2

Arctan 1 x dx −

∫ à l'aide d'une intégration par parties.

(

²

)

¹¹

^{( )}

2

1 3

Arc tan 1 = Arc tan 2Arc tan 6

2 2 3

π

 

 

=   −   + −       + −

I x x J

Exercice 2 :

Soit la fonction f définie de ℝ _dans ℝ

²

par f(t) = (x(t), y(t)) où :

( ) 1 2 ln(3 ) 2

( ) 2 1

x t t

t y t t

t

 = + +

 

 = − +



1- Déterminer de domaine de définition D

_f

de f. ^{D =}

^f

] ^{− 3; 0} [ ] ^{∪ 0; +∞} [

2- Dresser le tableau de variation de f.

2

2

( 1)(4 3)

'( ) 2 (3 )

'( ) 1 1

− +

 =

 +

 

 = −



t t

x t t t

y t t

t -3 -1 3

− 4 0 1 +∞

x'(t) + + 0 – – 0 +

x

+∞

+∞

y'(t) +

0

– – –

0

+

y

+∞

+∞

PS

−∞

−∞

−∞

2 9

2 ln

3 4

− +  

  

16 3

−

1 2 ln(4) 2

+ 1

2 ln(2) 2

− +

49 12 4 −

−

0

3- Déterminer des DL

₃

en 1 de x et y (on posera u=t – 1).

( )

²

( )

³

( ( )

³

)

1 7 47

x(t)= 2 ln(4) 1 1 o 1

2 + + 16 t − − 96 t − + t −

( ) ( )

^{2 3}

( ( )

³

)

y(t)= t − 1 − − t 1 + o t − 1

4- Etudier la nature des points singuliers éventuels.

D’après la question précédente, pour t = 0, il y a un rebroussement de première espèce.

5- Etudier les branches infinies de la courbe C

f

paramétrée représentant f (dans le cas d'asymptotes on précisera la position par rapport à la courbe).

En −∞ : Asymptote d’équation y = 16

− 3 En 0 :

0

lim ( ) 2

→

( ) =

t

y t

x t ^et

( ) 2 ( ) 2 4 ln(3 ) 2 4 ln(3) 1 o( )

− = − − + = − − − 3 +

y t x t t t t t

Asymtpote d’équation y = 2x – 2 – 4ln(3) au dessus de la courbe pour t > 0

( ^{x t ( ) → +∞ ; ( ) y t → +∞} ) ; en-dessous pour t < 0 ( ^{x t ( ) → −∞ ; ( ) y t → −∞} )

En +∞ ^: ( )

( ) ∼ 2 ln( ) → +∞

y t t

x t t ; branche parabolique de direction (Oy).

6- Tracer C

f

.