Modélisation mathématique de la circulation de I'eau dans les régions désertiques

Rdpublique Algdrienne Ddmocratique

et

populaire

Ministdre

de

_{l'Enseignement Sup6rieur}

_{et de}

_la

_Recherche

Scientifique

Unirrersitd

8

Mai

lg45

*

Guelma

Facultd

des

Mathdmatiques

et de

I'Informatirque

et des Sciences de

la Matidre

D6prartement

de

Math6matiques

M6moire

Pr6sent6 en vue

de

I'obtention du

diplome

de

Master

/\cad6migue

en Math6matiques

Option

:

_{Equations aux d6riv6es partielles;}

Par:

Melle. Hanene AIDOUD et Melle.

Amira

BOUKI\BOU

lntitul6

Dirio6.

parl:

Prof. Hisao FUJITA YASHIMA

PREISIDENT

EXAMINATETIR

EXA,'MINATEUR

Devant

le

jury

M.Z.AISSAOII

M.C

R.

CII{F'MLAL

Prof

BOUKRIOUA

Prof

Uni'v-Guelnra

Univ-Guelnra

Uni.y-Guelma

i&oddlisation

_{ndfhdnafique de}

_la

_{circ:ulafion de}

I'eau

alans

les

rdgions d4serfiques

UNIVERSITE

₀₈

_N{AI

₄₅

_GU'EL]WA

FIMSM

DEPARTEMIINT DE MATHEMATIq,UES

M6moire

_de

_Master

n-

t'

t

I

rJ[rrron

_:

_Analyse

l-4{}ddlisation ina*h*irnatique de

la

circulatio*

_de

_I',eau

dans

le,s

rdgions

_ddsertiques.

I

_Aidoud

par

Hanene

et

Boukabou

Amira

Dirig6

prar

_{Mr.Hisao F\rjita}

yashima

tI

__l[

'll

ti

I I

7

t, , 8

1l

11 II

t2

L2 ao l.D 13 L4 16 16 I' 2A rln &v ?q

Table

d.es

martibres

Remerciemwts

Introduction

G6ndralit6s

i.i

tes

Phases d'eau

L.1.1

Le diagramme des phases de l'eau

1.2

Les dtaPes de l'eau

i.2.i

L'dvairorai'ioii

L.2.2

La

condensat;ion

1.2.3

Les pr6ciPitations

L.2.1

L<* cap'tat'iori e'r,

I'iiifiltrtaiiolr

1.3

La

circulation de l'eau

L4

Les rr6gions d6sertiqries

Position du

2.t

Domaine

problbme

2.2

Qiiariiiie*

physiq-riee

i

co'*sid€rer

2.3

Intdrpdtation

physique

18

Etude

de

la solution,

comportement asymptotique

3.i

Eiude

de Ia sc'lution

TABLE

_]DES

_MATIERES

4

Adodble g6n6rale

4.i

pcsiiioii

_{du prob,ii:rre}

4.2

Etude _{de l,existence et}

_l,unicitd

de Ia solution

Conclusio:n

3L ,1 rl}'

...32

37

Rernerciemenlbs

Nous _{voudrions en premier}

_lieu

remercier Monsieur Hisao

Fujita

yashima _d,avcrir dirig6

rioti:e iu6rr+oir-e'

_ef

_{tle ri+u*}

_aloir

_iidti6

a

l'6tude

t-l'uir pli6i*ouid*e _{i*i6res-*air.oe,}

_ai*si

_qu,i

tle

passionnants _sujets

_de

_recherche'

ses conseils, _sa

_{disponibilitd,}

sa rigueu.r _{intellectuelle a} laquelle nous avons

pu

_{nou'$ r6fdre et sa clairvoyance mathdrnatique}

m,ont _{;rermis de,}

_vsni,

₅

bout

t-le ce trsvs.il.

Nous aimerions aussi exprimer nos

_{gratitude aux}

_Monsieurs

_:

M.Z.Aissraoui, Boukrioua,

ei' R'clregrir*i

qui

rr+*s {Lrrlf r'}*rrrrtixr- _{er'€tre :resrr-xes}

_tiu.i*r.v

de s,+ui,euaeeu.

Nous remercions _{chaleureusement nos parents}

pour nous avoir _{6duqu6s dans un}

_milieu

_ori

la

connai-ssar ce, I,e$ort sont

irnportauts-Nous voudrions remercier

_nos

ecconrpe€]16es

_pe*cl*it

_{ces alre6es.}

partag6es. Nos pensdes

_vont

_{d, nos}

pour

_{leurs arnitid.}

camarades

_de

_l,universit6

_et

_d,aiileurs,

qui

no.us ont

Merci

$' eux _{pour le*n* gentilesse}

_et

_p*u:r'res

discnssi+ns

amies,

pour

_tout

_ce

_qu'ils

_{nous apportenLt,}

mais

surtout

Enfin'

nous tenons d' exprimer _{nos profonde affection}

a, nos familles, _{qui nous ont to,ujours}

soutenuss.

Nous terminons _{avec un remercie:nent bien}

_particulier

a, quiconque

_qui

_{de pr6s ou de}

_loin

fntroduction

Le cycle de l'eau _{joue un r61e}

_important

_dans

le budget 6nerg6tique _{de Ia plandte,.}

Eri

effei'

le

couple d-v'ap+r'ation-coiicle*saiiori

_est

re"1-ro*sal;le

_du

_tr.alrsfer.t

_{d,uire ,qualrtii'}

consid6rable d'dnergie _{de ra zone intertropicale}

vers les _{latitudes pius hautes.}

sur la totatit6

de la surface _{terrestre, l'ensernble}

des _{pr6cipitations annuell:s repr6sente une}

htr+teur

,'l:}}€r]?-1e

_{de g0}

_r:rn,

_{clui implique}

liie$ 6vitle**ler:t

_{l,6v*p*;ratj+*}

_t-l,une

_qu*rtit6

d'eau tlquivalente.

^

_t'6nergie

_n6cessaire

_i

cette drq:oration

_est

_considdrable

_:

environ 66{l therrni€s,

_soit

2'76'

10eJfa"rr'

pou'

_{chaque mbtre r:arrd de la}

surdace terrestre, soit

pi*s

du q,uart de l,6nergie

solaire

totale

_{regue chaque ann6e}

_{par Ia}

Terre,

cette

6nergie _{est int6gralement restitu6e}

_i

l'atmosphbre _{lors de ra condensatic,s}

de tgBte cet:t€ vapeur d,eau^

L'eau'

_{presque omnipr6sente d,}

_Ia

_surface

de

la

?erre

_et

dans l,atmosphbrr3,

_est

_am,en6e

_i

changer

_d'6tat

_:

_solide,

_{liquide ou}

_gazeux,

en

fonction

des _{variations de ternp6rature}

_et

de

pressio:'i: _{ces changeeients}

_ci'6ist

al:soit*ent ou

iiL€reiit

cle l,6ner3ie.

Dans cette _{m6moire nous propo$ons un}

*:larr* _{les r€gir:lis ti6sei=i,iqucr;,}

ce iri+*J.ile .sei_i

de l'eau.

L'objectif

de notre _{6tude est d'anal5'ser la circulation}

de i'eau dans les rdgions _d6sertiques.

l{*ire

iriSirioiie est

oigaiiis*

tle }a

i*iriiidre

siiiv_n;rie :

chapit'e

1 : ce

chapitre est d6di6 ri un bref rappel de la

transition

_{de phase de I'eau r:t son}

cycle- Nerus faisons _un

_{tour d'horizo*}

_{des coaeepts}

et

ddfinitions lids.

chapitre 2 :

Ds*s

ce

chapitre

',olrs

istr+:t-hds*rs !e sv,stime rlrdq*ati$$s que

*$ris

inll+es

examiner _et pr6sentons

_{|interpr6tation}

_{physique de}

ce systdme d,6quations.

modble math6matique _de

_la

_{circrrlation dr: I,eau}

I -r

fntrnduction

f-

chapitre

s

:

c'est

le chapitre _{oit nous exposons}

res

_r&uriats

_principaux

de notre

6t'de.

Nous

+'

t16mo*troirs I'o<igteace _et

_I'iiaicit€

_de

_la

soliiticnil

_et

_{dt*iilissoiis sil&}

_{calel{}rtenient}

asy:*pt.r-tique.

-

chapitre 4

:on

a propos6

_et

_{6trudi6 un problbme dans}

raquene ra quantit6 _de

'eau

d6pead

de

la

_{position ;r et,}

_le

_temp

_f.

TT

,l

|r

I I t'-I

-j

..l

-t

Chapitre

_I

Gdndralit6s

1.1

Les

_{phases dreau}

L'eelu est pr6se*te _{s{lr 1* terre}

3, eorr*plir*

l,*tspephbre

_sol*s

_treis

_forsles

:

(i)

Etat

solide(glace,neige)

_:

Les striide* $ofii' e&r&ci'€ri#s

_iltit'

_$*

_{ageueerce*i, cles}

ai,+*'es i,rts _{ortl*r.mds et, rappro,ch€u.}

_ii

est donc trbs

difficile

de les comprimer _car

_il

_{a peu d'espaces}

entre _{les atom.es. De plus tous}

ls

at'ornes

'sont li6$

fortege*t

le.q *,as a,,x a,,t*es, ce qui con{Fre aux solides

ure

forxre propre bien ddtermin6e _{cristaux}.

(ii)

Etat

liquide(pluie,nuages)

_:

L'es liqrdcles sr:nt

_{caractdri#s qua*t}

_*

_eux

_per

uB age*eement cr6s+]r€r+*n6s _{cres ato*rers nr*is}

toujours asseu _{repproch6s' IIs sont donc 6galement}

difficilement _{compressibles. En rev.anche,}

les atomes _{sont peu lies les u.ns}

_aux

_autres

et

les _{liquides ae po*sadent donc pas}

de forme

prspre et peuvent .se d6fsnner tri.s _llacilemeet.

(iii)

Etat

gazeux(vapeur

_d,eau)

:

tes

_{gaz 'sont caractdrises u&}

age&cerneat des atomes d6sordonn6s _{ef espacds et peuvenl,}

ainsi

€tre comprimes _{faciiemeni' Les atornes ne sont}

pes li6s les uns aux autres _{et sont trds cugit6s.}

Pour ces raisons, _les gaz _{se r6pande:nt librement}

et n'ont

pas de forme propre _sans

_p'uvoir

1.-

_{Les phases d,eau}

6

@'

_kporr

H?o

q*,

,fr:rf#F'p/

t

E k_i!{ff#ii:=

-@lru*ruff.

#ffiry**ry*ffi*

k-llquiht*lcl

_r ..

F

_{dc l.Stcrt rolide}

& l'6r<ri licpide

Frcu-Rp 1.1

_-

Ies _{6tats de I'eau}

1.1.1

_{Le diagramm€}

_des,

_phases

de

lreau

N*us savcns tcus _{q*e la}

_re*t'ilre

_{peut exister}

s+tls tr+is 6t..*ts, _{s+!ide, liquiele ou g**eux. La}

tempdra'ture _et

_{la presicn}

_sont

_le

de*x pribcipa*x

_facteurs

_qui

_regi*rt

_l,6tret

eo*s leq*el se

trouve '[a matidre' Le _{diagramme q'ui}

_suit

se nomme _{un diagramme de}

_phasis;

c,est celui de

i'eau'

_ii

iiiustre _{de faqon sir:apie ies}

relations ea*r€'dtais _{tie la}

_matiire

_{et iernperai.ure*pression.}

LIQI''DE

1.1

_{Les phases d'eau}

chacun

_des

_{points de ce}

_diergramme

figure

un

couple

_{(pression, ternp6rature) unique}

(ia

ple*sit'r:r

_eu

_{*'t'r.,r'uplll.e}

_e*t

e.n *rdcm*6e,

_ln

(,e.r,.3x**ln*e

_eft

_&lxeiss,*i.

Le tiiagrixru*e

lui-mame' _{compos6 de}

₃

_branches

s6pare _{notre r6gion en}

_trois

_{rdgions distinctes}

correspon-da'trt aux

trois

6tats : *eolide, liquide

_et

gareu:<-,

_{cele vellt}

_{dire qu,a}

_un

_coulple

(tern;$rature,

pression) donne correspond g6ndraiernent _un

_{dtat et un}

seui.

e Par exempie :

ii

,+ :iC"C

_{ei ua}

_{atiriosphlre de p;ressicrii, l,e&ii}

se pr€senie scous _{la f+rnie un,iquer:tei:i; iiqilide.}

si

le

point

reprdsentant _{un coupier (temp6rature,}

pression) tombe _{juste sur une des lrranches}

de

courbeo

_i'eau

_{se prdsente' alor:i}

_i

la.

fols

sous les deu-x

6tats

repr6sentds

_par

_{les r6gions}

situ6es de

_{pari ei d'autre}

_{de Ia courbe.}

ii)

_'4

100oc

et

sous

un

atmosphbre _{de pression,}

_(point

marqud

_{sur le gr*phique)}

_{l,eau se} pr€se*ie

_a

_ia

_{fois s+-r-tis}

_ltr

_ft-rr=i*e

iiqrritie et

gaae-trxe

_{; c'e*t}

_{l'6i+iliiitic)*i (l,eai-r}

_pe*€

cie j,€,r"a-t

liquide d

l'6tat

_{gazeux) ou}

_la

_{condensation (l'eau}

passe de

l,6tat

gazeux

_{i, l,6tat}

_liquide).

si

l'nn

_'se

tr$*ve

<ians

la

_{r6'gron sle}

_l'6tat

"sdiide e.n-de*s*sc*a

du point

triple

et

q*,on

se.

ddpiacrl vers

la droiie

c'est-d-dire lqu:on _augmenin

_ia

_temp6raiure

sans changer

ia

pression.

on conrstate qu'on pa*sse _de

_l'6tat

_{siolide a}

_l'6tat

_gazeux

sans passer

par

_{l,6trat liquide,.}

_cette

ir.t*isfolEiaiiuE _{{r-eprdseirt6e}

_pal

le i;r.ri*i

*iiu6

s.ti.l. ia c*u=iie} _{s,*p1_rclie}

_la

_{sutrliiriati+*.}

Il

faut

pr6ciser que

la

pression _{cte ce diagramme est}

_la

_pression

de

H2o

r:t donc klrsqu,il s'agit d'e la -v-ape'r=cuirierr'-irire

daers,i'air uri {i*i'{. r.'rrniiil6r=er _{le pre*>iuu}

_pr1ietie

r:orrespr-*r,3a*i

iL H2O _lgazeux.

On remarque _{dans ce diagramme}

draux points singuliers :

1)

Le

_'poirrt

_triple

_{t '{}

_i*

_{.i+*ct:ica cLes}

_t.eis

br*.r-tches ei

la

teeri#r&tur:e,

_{et ia}

_pr:e*ui**

reprdsent6es

par

ce

point,

l'eau _{se pr6sente sous les 3 6tats (solide,}

liquide

et

gazeux).

2)

L*

_{point critique}

_{: Lru rdgi*n}

-c!tu6e ruu

deli

ai d.rtit-e de

r*

c*r:rbe

q*i

se termine

_Filr

_,,n

poini

appel6

_{point criiique}

_{corresPondant}

lui-m6me d une iernp6rature

_ei

_{une pressiorr bien}

pr6cises' _{est arr'ssi}

_{singuliire :}

_{en effet,}

dans _{cette rdgion, on}

_peut

_{passer de}

_l,6tat

liqrride d

!'6tst

gezeux _{se,iF ?:e$c+etrer de ccrurl,:€,}

_c,est-ildire

sans

ch*irgei*e,:t

de phase

_:

_{!e liquide}

devient _{E;az (ou le contraire) sans transition.}

Mais te proint _{critique de HsA qui eo:rrespoud a. SZAoCet}

2lg

Lrar ae se trouve pas dane aotre

1.1

_{Les phases dteau}

envrronnement.

rlemarques,

o Le _{,changement de phase ne perrt s'obtenir}

dans Ie sens

solide

_* Iiquicle

ou d_an.s

Iiquirre

-'

_{gaz qu'en fournissant}

_{a l'eau}

_{une grande}

quantit6

d,6nergie.

_cette

_{6nergie, qui}

':e frr:u-ve er*'uiie accttii*ulde +iair'g ie

iiqui,ie

(p;rx

ia ftisioa) +-rii clai',s le gaz _ipr;ru-

_{i,€iiiiiiiii*ni}

sous fbrme iatente s'appelle pr6cis6ment

_la

_{chaleur latente de fusion et}

la

_{rchaleur leutente de}

vaporisation.

si

+n

f*it

repasser l'osu de

l'6tei

frnal

*

_{l'6tet i:iitia!,}

_{cette dnergie est rest:itu6e prar}

i,eau au

milieu

ambiant.

I

La

chaleur: latente de vaporisation _{(appel6e aussi enthalpie de}

vaporisation) _{n,est pas une}

cc*sta'*te'

_Lo'sq*'**

_{suit la e*urlre}

_#para*t

liqukle et

gaz,

o*

co*state

_{{{*e ce6e}

_cf,raleu' latente diminue jusqu'd _devenir

_ntille

_au

_{point critique}

(ce qui est logique prnisque _{au-dela de} ce

p*i:rt

crit'ique, on pe,sse

_{d'un 6tat}

i

_|autre

_ens

_transitian

de

phase)-r

_{Alors, pourquoi trcuve-t-on en faisant, par}

exempie, du ski au bord d,un lar: de montagne _de I'eau srlus ses trois forrnes : _{solide (la neige ou la glace), liquide (le}

lac) et ga:aeuse (l,humidit6

de

l'air)

_{{On supptxe} que

la

ternprirat*re _{est de}

_1*€{})-La

r6p'rnse est dans I'examen _{du d.iagramme de phase, mais demande}

quelques pr6cirsions. -si

sn

t'race une ver-ticale sur le dieqgranarne _A

_l'abscise

-trOo, $rr rernerque d,abord que pour que I'erau

soit

sous

la

forme gff,zeuse

_{d cette}

_{ternyxrature*}

_{iI f*ut}

_{que sa pression}

s'it

tr6s

faible'

or,

c'est pr6cis6ment _ce

_qui

_{se passe dans notre}

cas. En _{effet, comme on l,a rernarqu.}

prdctidt'irrurent _{qlaiis le cas}

_rl'i:n

_{nr€laiige rie}

gu*z _{{*c,iis E*}l.,rr,i€s eii}

_pr-i**ce

_ci,i*ir}

les preesioiis

de

chacun des gaz

constituant

I'atmosphbre

_{s'additionnent pour}

_que

_{leur l;otal soit}

6gal d,

la

_{pression atmosph6rique. Mais ch.acun des gaa}

_n'est

pa.:

i, la

_{pression atmosph6rique !. Le}

diapp=anune _{l}eus inclique que la pres*io* de}

_l*

v,*peug geste _irbs

_f#ble

_e!

-10",

mais R,rest

Fs

nulle

:

l'air

froid

contient encore une certaine _{quantitd d,humidit6.}

r

voyorts maintenant

_la

_neige

_:

_A"

_la

_{diff6rence de}

_la

vapeur d'eau m6lang6e d,

l,air,

si,

pres

sion est 6gale

i

la

_{pressien atmosptrdrique. Reportees nous au diagrarnme}

:

*

_-10o.

celui-ci

indique que l'eau est sous _{forme solide, ce qui est conforme a, ce qu,on}

observe

pour

la neige.

r

En[n,

_{examinons le cas de l'eau dlu lac}

_(**

_ia

_glace

de surfaee). son cas r:st

sirnpl*

: elle

est d peu _{prds soumise d}

_la

_{pression atmosphdrique,}

{tout

comme }a _{neige) et si e}ie a,est pas}

L:2

_{Les 6tapes de l,eau}

sous forme de _{glace, ctest que sa tempdrature}

est

tout

_{simplement sup6rieure d 0o, ce qu,on}

peiit

vdrifier en

y

plo:igeuiit

_iic

_{t,lierriroiirltr=e.}

1.2

_{Les dtapes de}

_l,eau

Le cycle de

l'ea*

est

l*

$dte

des _{d6plmer*ente de }'eeon dans l,atmespl+i,re,}

ir la s*rfaee et dans Le sous-sol de

la

Terre' L'ea'u

_{poursuit un}

pdriple perp6tuel entre le ciei

et

la

berre, en piiisieur=s _{diaiies :}

1.2.I

L'6vaporation

L'dr'-aporation

_mt

_{Ie proeess*s par lequet}

l'eau liqriide se transforme _en g;az o11 l,-Eleur.

Dans

le

_{cycle de}

_l'eau,

_{l'dvaporation est}

_{Ia principale}

fagon

par

_{iaquelle l,eau licluide se}

iraa#o,nrre _eil -v-ap€ur

d,eau tL*tis l,aia+trspirlre.

Les ocdans' les mers, les lacs et les rivibres fournissent _{approximativement gu% de}

l,humidit.

dans notre atmosphdre

_via

_{l'6vapor:ation.}

L'6r'apqrr*tior: des acdass est

Ia

fagen prernibre

_pour

_{I'eau d,e:rtrer dsns}

l,atmosphtre;

En

effet' les _{grandes surfaces des oc6ans (plus}

de 70Yo dela Terre est recouverte: par les oc6ans)

permet l'4vapr.rration _{d grande 6chelle.}

Les

la%

restants proviennent _de

_{la transpiration}

_v6g6tale. La _{rh&ls:}}r {6:rergie}, fc*vnie par Ie *+}ei}, est}

*ee.w.sire s },dv*p*re.tj*:i-

_L,s:r*gie

_{est ir$jli*6e}

pour

_{d6tacher les moldcules de}

_H2o

_de

l'eau liquide, _ce

_qui

_{provoque l,6vaporation,}

_qui

est

rapide au-x te'm$.ratures _{61ev6.es plus le.nte aux}

tem$raturaq noins

6le,v6e*s-Rappetrons encor€ qu€,

quand

_l'hr:miditi

_relati'e

_de

_l,air

_est

de r*g%

_{urL

6tat

de

satu_

ration)'l'6vaporation ne

peut

se

r6,aliser.

_En

_{outre, i'6vaporation diminue}

la

chaleur

de

I'envir.mnemestt, c'est ltr

rais*n

pour: l*,qee$e }'eau qui s'dv;-uprxe _de

_tan

_{c$rp$ te}

rafrairsit-Il

est bon _{de pr6ciser que sur l'6chelle globale,}

la quantitd

d,eau

qui

s,6vapore est

ide*tique

d

la

quaatitd

_d'eau

_qui

_{retombe, tri'en que cela varie}

g6ographiquemeat. L,6vaporatjcrn _est

plus commune _{au-dessus des ocdans que}

les

pricipitations,

_{alors qu,au-dessus des terres.}

Ies

prdcipitations _{sont plus frdquentes que}

l,6vaporation.

f.f

_f:9"

_{dtapes de I'eau}

La;plupart

_{de l'eau 6vapor6e}

'des oc6ans se retrouve dans res _{ocdans com.me pr6cipitations.}

seui i0%

d'eau dvapc'rde _{de* oc6*iis esi trarr*lxrride}

au-dessus _{de* iei-res eii}

_retoi*be

coiriine

pr6cipitations.

une

fois 6vapor6e, une moi6cul.e d'eau _{passe en moyenne environ}

10

jours

d.ans

'air.

t.2.21

La

condensation

La

_{condensation est le processus de}

transformation _de

_ia

_{vapeur en}

eau liquide.

La

coiicleiisaii$ii

_esi

_iiap+ii*iiie

_pou.

ie

cycle

de

l'eaii

dt*iie

l,aiirr+spli*re

_et

_surr

_la

_ier=r-e

puisqu'elle forme _{les nuages' Les n.uages provoquent}

les _{pr6cipitations, qui sont}

_ja

_principale faqon

pour

l,eau _{de retourner A}

_la

_Terre.

La

condensation

_{est le contraire de}

_{I'6vaporation}

et

eile est

_{6galement respons',ble du}

brouillrud'

_de

_la

_bu6e

_qui

_{se forme}

sur

_{tes lunettes quand}

_tu

_vas

_d,un

_en<lroit

chaud vers

l'extdrieru lors

c}'une jorun6e

_{froide et}

_humide,

des gouttelettes

_q*i

_{se 1.orment}

A,

l,srt6rieur

de

ton

'verre _{froide ou sur}

f

int6rieur

_{des fenOtres de}

_la

_maison

lors d,une

journ.e

_froicie.

I!{eme rdaas

u$

_{ciel bleu}

_{d6gag6, l!'eau}

_{est pr€eate}

scu"s

_{fer*}e de *apeur.}

_{L.es mcd6cules}

d'eau

s'e

]ient

avec

_de

_{fines particures}

_de

_poussidre,

de

ser

et

de

fum6e _{F,our f.orrn,er des}

gouttelerttes de pluie, lesquelles _{forment les nuages.}

_Etant

donn6 que res gouttelettes

_d*

_pluie

s'&ccurnulent _{et grc;ssissent, ra prdeipitati+n}

;:eut

se

prtxluire.

Les nuages se forment _{dans l'atmosphbre parce que}

l'air

qui contient ies

'apeurs s,eldrent et i.efroi'iisscnt' eii euar'b loi=tx1ue _le

*!eii

_r€ciiaiise

_l'#i=prls

de lr* siii.f*{e tie la Teri.e, _{!,air devieiii}

plus l6ger et _{s'6ldve vers des tempdrretures plus froides;}

comme les _{temp6ratures baissent,}

_la

condenser,tion se

produit

et les nuag€s peuvent _{se former}

1-2-B

Les

prdcipitations

La pr(icipitation

_est

_{la lib6ration}

_{de l'eau}

des nuages sous forme de pluie, _{neige fond.ante,}

neige ou grole'

_c'est

_le

_principai

_cherni*

_qu'uiilise

I'eau de

I'*irr:c*phhe

pCI*o _retour.ne::

_*

_Ia

1.3

La

circulation

_{de lreau}

13

Terrer.

Parn':j _les pr6cipitatioas, _{celle soiis}

_fori*e

de pluie c+nsiitrle _uae

_pariie

_{,joininaiiie.}

Les nuages sup6rieurs _{contiennent souvent}

des gouttelettes,

_qui

_sont

_trop

_petites

pour prG

voquer _{une pr6cipitation,}

mais suffisamment _{grandes pour dtre}

visibres comme nuages. L,eau

s'€-valiore

_ei

_{se cr:iarlei*se}

cr;rri'iriue,lleirieat ciaiis

i'atmr:sllliire;

_{l,ea-ri u{riid€liE€€}

daras le,s _iiuages

tomb*

lentement;

_la

_{vitesse de}

_la

_{chute d6pend}

du

diamdtre _de gouttelette. Pour provoquer _{ia pr6cipitation,}

iJl

faut

_{d'abord que d.e fines gouttelettes}

d,eau s,accumulent,

par

cc'ncleasati+*

_{et par c*agul*ti*u p+iu'p.ad*ire}

des gr:+rtt*lettes _aqE€E

sros.s€s

et

i+u'tles

pour

qu'elles _tombent

_du

_{nuage comme}

pr6cipitation.

Pour 5roduire une seu-le goutte de pluie,

il

faut

des rnillions de gouttelettes.

L.2.4

_{La captation et L'infiltration}

La plus grande

_partie

_{de l'eau ruisselle}

sur le sol et retourne vers

la

rner.

Mais pendant _{ce ruissellement, untl}

_partie

cle l'eau retourne

i

_{l,atmosphbre par 6vaporation.} L'eau

qui torrbe

sur

la

terre sous forme de neige et ne fond pas rapidement _{s,accumrfe sous}

forme cle giace _{sur Ie sol}

_et

_{alimente les}

glaciers en

altitude et

_{dans les zones polaires.}

D'autre part,

une

quantit6

consid6rable _{d'eau de}

_pluie

,,ou

d,e neige fondue,,

_s,infiltre

_ou

g#nbir'e

_tlals

_{]e soj.}

Une partie de cette

eau

est

capt6e

_{par les}

_{racines des}

contimrer A *'dcouler plu.s _{profoncl*rnent dans}

_{le ,s*. L,ea*}

dans les minuscules e$pace$ entre ler* particules _{de sol.}

arbres

et

des

plantes;

_{ler reste}

tr*.ce *era _{chemiu ea .s'infiltrant}

1.3

La circulation

_de

_l,eau

Le cycle globel _{de I'e*tr peut 6tre consid€r6}

col,lr'I€ u,o _{systlrr*e ferrn6. L,eatr change rl,6tat}

mais sa quantit6 _{globale reste inchang6e.}

Le cycle de l'eau

n'a

pas de

point

de _{d6pa,rt, rnai$}

1.3

La

circulation

de

lreau

Ler _{soleil rdchauffe l'eau des}

oc6ans; celle-ci s'dvapore _dans

_l,air.

_{Les courants}

_d,*ir

ascen-danir'$

erit'ai'eiii

_{Ia i'r*peilr dt*iis}

_{I'aiiritrspLli'e,}

+-ri ies

_{i*'1#raiiir-es pliis}

_{besses pi.o-virqrreiii}

ia

condcnsaticm _dc

_la

"'apcur

ct

dc'c

la

forrnation dc nuaqcs. Lcs ccuran+,s d,,air cn+,r:rincnt lcs

nuages

_aut'ur

_de

_la

_{Terre, les gorutellettes}

de _{nuage se heurtent, s,amoncellent}

et

retombent

en

tant

que

precipitation'

_{certainres pr6cipitations retambent}

s+us focme de neige

st

peuvent s'acculmulcr _cn

_tant

_{guc glacicrs.}

Quand arrive

le

printemps,

_Ja

_neige

_fond

_et

_I'eau

ruisselle.

_une

_grande

_partie

_des pr6cipitatioiis retournent _{&ux oc6ans ou}

_{s'i*filtre:ri}

dans le sol. L,eau _{s,6couk: aussi eii surf,ace.}

certains

6courernents

_{retcurnent il}

_{ra rividre et}

cronc .*€rs res ocda,ns.

L'6coulement _{de surface}

_et

_{Ie suintiement}

souterrain _{s'accumulent en}

_{tant q',eau}

douLce _dans

les laci* et

ri*ilres'

Msis _{talus les ru,isselle:ne*ts ne s'6coure*t}

p*s ver-s les

_ri'ilres.

_{LI*e, gr.ande}

partic

_{s'infilt;rc dans}

_{lc sol' unc partic}

d.c

ccttc

cau rcstc

prls

_dc

_{ra surfac,c}

_du

_sor

_{ct pcut}

retourner _{r''e's les masses d'eau de surface}

(et I'oc6an) _{comme rdsurgence d,eau}

souterrraine.

ct'riain'e'ri Bi{'ppe't

_{souie'rraint*}

_{i,rr-F,-11'g,si u.*fi}

d.}i'}'e.riere

_da*s

_i*

_{sq.ri e.t 6,me.rge.ni comme} des sources d'eau douce:

L'eau s'outerraine peu profonde _{peu.t 6tre absorb6e par}

les racines des _{plantes et rejettrSe d.ans}

i'at*rosplilre via la

tr-aiispiraiion _{dss feuilles.}

Uilc

quiultiti

_{dce caux}

_infiltr6m

_dcsccnd

cncorc plus prcfeaCdnrcnt ct (roche souterraine _satur6e),

_{qui st'ckent}

_d'6norrnes

quantit6s _d,eau

pr,rird*r-Bien eiilen,jii. ceiie

eai:

continiie

_i

boiigei-

_ei

iine

I'eau "se term,inet'

_...et

_{"recommence,'.}

pariie ietourne j,

_I,oc6a,n

_{o-i le}

_cvcle

de

L4

riaiimcntc

lce aq uifircG douce

pour

_{de l,rngues}

^1 I

i

-4

T,t:s

_{rdgiurrs tldst}

_r-i,itrrres ti, t

;t

.fl I

il

I t'-I

*t

I

FtcuRp

_1.3

*

_{le cycle de l,eau}

1.4

_{Les rdgions ddsertiques}

Le

terme _{ddsert ddsigne toutesi les regions arides}

ori

les

prdcipitations

_sont

_si

_{rmes que}

I'homme ne peut

y

habiter en per:manence,

Les d6serts _{couvrent environ un septibme de}

_la

_surface

de

la

terre, comme _{la carte de d6sert}

du

inonde iious f

_{iiidiqee. $i}

_crii

_y

_incliit

_{les soaes}

aj,'-aaii une

pi.6cipitaiioii

_{assez rrrcxieste e.r,}

unc

vigftaticn

asscz

ra'riflic,

on

pi:ut

cstimcr _{quc ics}

_rigions

_{dfscrtiqucs cou,;icnt}

3b% dc

la

surface terrestre.

De la

carte

du

_{mmd'e de d6sert,}

_{on peut}

_apprend.re

que une bonne

partie

_de

_{deerts. dits}

d6serts subtropicaux, se trouve entre ra

latitude

15

et

30.

i'es

#giorx

de dd$cri

_{regoivecl u*e}

_{pndefurid*i,las +*r*sslf,g &o.frer$re}

tie

'rri*s

tie

?5g

uril-limltrcs

_{lc

poucco). _{Lcs cartcs}

_di:

_ddscrt

_du

mondc subdii,iscnt dcs

_{discrts du}

_{mcndc cn}

semiarid, aride, les ddserbs _{exir6me:ment arides et secs, bas6s}

sur

la

quantit6 _de

_{pr6cipitation}

totale

en ann6e.

Le

climat

des rdgions ddsertiques eist caract6ris6

_{par i'humidit6}

_{tr6s faibie de}

_l,air

airrsi que

tiu

scl.

l"{ais

il

est aiissi ca^iacidris€ Da-rin€ _{qran,ie exciirsion thernii,riie. aiv=C les}

_nuiis

froides

ei

les

journ6es _chaudes.

Pour le contenu _{de ce chapitre, nous avons consurt6}

_(tg]),

(f4]).

I

il

t--Chapitre

_z

Position du

problbrne

La

_{rnoddlisation est devenue}

_un

_6l6ment

incontournable _de

_toute

_6tude

et

recherclhe dans

ious

les rloriaaiEes' _{1>t''Ur=cela riuils prol){r*rrls}

li:r :ritxi}ie

*ratlii*.traiique _de

_ia

_{circiiia,.r"iuar}

de

I'eau dans les r6gions _d6sertiques.

Le systbme _{d'6quations de ce moutr'ement que}

nous proposons est compos6 par J,6quation _de

la

valiati+n

_{de la} quantitd _{de la vaSe'al et}

celtre de la

variati+*

de tra quantit6 _{de I'eau liquide.}

Nous allons consid6rer

_le

_{systdme d'6quations}

_{pour la}

quantitd _de

_la

.,,rape

_w

q{t)et

celle de

l'eau liquide

_a{*}

f

W

:

-ilfrrtt).-

%"(?}}* +

*[q(t]

-7,"e]!-u{t}

1

*ho

_-

hs(t),

t

W

:

{thU)

_-,1u"tT)l*

_

nfu7{t)

_q",tT)l-u(t)

_

_qu{t).

Nous

consid6rons

_{une regio*}

_D

_de

'a

zone

d.sertiq*e

d6sertificaticn.

ou d'une

uo**

*-e*a*ee

prar

l*

Pour

Ia

commoditd

_du

raisonnement _{mathdmatique nous supposons que}

_n

c

Rz

et

que

n

est

un

ensemble _ouvert

_et

_{born6 de I[R2.}

(2.1)

avec les _{conditions initiales}

?(o)

>

o,

u{o)

>

s.

Ici

_l.}+ ddsigne Ia

partie

posftive

tel

que

:

_lu]-

:

max{e,0), [.J- d6signe la

partie

ndgative

_tel

que

_:

_[uJ-

:

_{max(_r,0).}

2.L

Domaine

2.2

_Qggtit6s

_{physiques h consid6rer}

L7

Nous consid6rons un _{domaine de dimension 3}

(,2.3i

or)

_{r3

:

0}

correspond A

la

surfirce de

la terre

(en n6gligant

la

diff6rence des niveeuux de la

suri'aere

_{tlu lerrtiiu)}

_ei"

ii

_devretii

_eurresp*ldle

_ir

ia iuruLrur tlc

i'af*lrxpir|,re

qus _{*r*rri vouitnu}

consic[6rer.

Nous consid6rons _{6gaiement le domaine}

-8:

_{s

e

Rsf{cr,szi

g

_{D,-€.-_}

_s3

_<

_0}

12,4)

pour

repr6senter

_un

_cadre

_supe:rficiel

_de

_la

_{terre. Pour}

_que

_notre

mod6lisation

puisse repi-6-*eliter *fc

ntalii*-e

efficace les

pii6*o:rii*e

ph-vsiqrie,

ia

r-€gioii

n

cioii

gtre siii{lsanieirt large cle sorte que

l'aire

se

trouvant

dans le domaine ,4 reste dans

y'

pour une dur6e

permet-tant

ler processus _{d'dvaporation}

_et

_{de condensation de}

_H"o.

2.2

_Quantit6s

physi:ques

_{h consid6rer}

DanLs ce modble nous consid6rorrs la quantit6 de la vapeur

ri(t)

_{contenue dans}

_l,air

_se

trou-vant dans

4

h

i'instant t

et laquant;itd de l'eau

tiq*ide

*(t)

se trouvant dans

4u-B

d

l,i*stant

t.

La Plupart

de I'eau

liquide

darrs

A

U

B,

en g6ndral, se

trouve

dans

B;

l,eau

liquide

se

trouverrt clan*

A

est dene Ia ferme de geuttelettes de Rirages eu e*. cours cle

la

pr6c\>itatian

(pluie ou

neige) dans

le

d6placem,ent, en g6n6ra}, vers

la

surface de

la

terre,

L,eau liquide

dans lar

forme

de goutteJettes se

trouvant

dans

I'air

peut

s'dvaporer trds

rapideme't

dans

le

cas

oli

I'humiditd

de

l'air

est inf6rieure

6

celle de sat,.uatioe. tandie gue l,eau

liquide

se

trouvant

dans

B

s'6vapore plus lentement.

L'f*is

is

description

#p*r€e

de

l'6vr4rcr*iion

+les deux ca"s rendr"a r**sez _{c*mplexe le}

_systl*re

d'6quations. En outre en g6n6ra} la quantit+5 de l'eau liquide dans,4 est beaucoup plus pet,ite que celJe dans

B.

Pour cette raison dans notre moddle nous consid6rons

la quantitd

de I'eau

liquide

totale dalls ,4 U

B,

sa*s

il

I

2.5

lrt€"p6t"tlo,

phyriqr*

T_

_

r

____J__-

_r-r

_er

l-r_

_aLn

-i,,(T)l-u.

'r

D'audre ptu'|, cangr$e &$t'rc r'6gia*

_{eqx.me l\}

_{des f&ci,c*r'$ exi,tx*eu,}

_iu

_{qu4.4i,it6 de irt}

o.&tr)e*r

et

la

quantitd _{de I'eau se changent.}

tT

Par

exemple,

_{le vent}

_{disperse une}

_quar$ite

_de

_la

_vapeur

_aux

autres r6gions,

qui peuf

Atre

I

6xprimde

par

_hgt(tj,et

_{ra,mbne u:ae autre guantit6 des}

autres r6gions not6 hs.

I

De plus, la

filtratipn

vers le souterrain

_Yu(t)

_{influe sur le changement de la}

_quantit6

de l,eau.

it

I

t-t'

Pr

-l

-l

I -1 I I

't

I

Chapitre

3

Etude

de

la

s,olution,

comportement

asymptotique

Nous allons consid6rer

le

syrstdme _{d'6quations diff6rentielles ordinaires eua nous avons}

in'r,rotiliit niaiis le cliapi'ure

pr6#tlerrt,

e'est-*-{iise }e sy#u}*ie

W :

-plqtit)

-n,"{T)]*

+

a[q(t)

_{-q,"(T)]-u(t)}

*ho --

hs(t),

:

F'{r1.

ui,

:

_F[rt(t)

_-

_n,,(f)],

_-

"lq(t)

-

n,,lT)l- u\t]

-

w(t),

:

_G(r1,u,).

ar,'ec. Ies conditions initiales

ry(O)

>

0,

u(0)

>

0.

3.1

Etude

de

la

solution

(3.2)

Dans cette

section

on va

d6:montrer l'existence

et

I'unicit6 de Ia solution

dur systbme

ti'dqiiatioi*i i3.1).

Pu-ri,r ce f*ii.e,

on

appiique

tl'al;urd

le

tliuur&*e

_'le

C,auch.y-Gprliiiz _1-ruru

obtenir

i'existence

et

1'unicit6 dr:

la solution

locale

et

puis

on

d6montre que cette solution

l--

peut €tre prolong6e

sur

_[0, +oo[.

Gornmengons psr,r _{le lemme}

slliva,lrt-

t--Lemme 3.1.1

Les _foncti,ons

F

et

C

d,Lfi,nies dans

(3.I)

u€rifi,ent localement

la cordition

d,e

Lip s r:hut

z,

c,' e.st- &- rli.re :

(3 3)

t.)-r I

dtr{t}

dt

3.1

Etude

de

la solution

pour

_|

_ry

_l,l

_{qz l, I}

rr,

_{l, I}

u,l<

U'.

Preuve-Remarquons que

F

et G

sont continues. On a en

outre

:

I

F(rir,,rr)

-

F{rrr,

*r}

I

+

{ G{rlr,

*r}

*

C{rn,or}

t

:l

_-lilqt

_-

rlo,I-

*

_{olrtt -4n"1--ut}

+

ho(t)

_-

hrrh

_{+ tfiq,}

_-in"l+

-c"lrn

-

i,,l-uz

*

ho(t)

+

hp?z |

+

| frLrt,

-

rt,"l+

-

alrh

-

rto"]-w

-

.tut

-t3{.rn-

r?,_.}*

+

cf-rp

_-

_{%,"}-r, +}

r.uz _f .

+l?(lqr*in,l* -lrrr-

%,]*)

-

a([ry-rto,|-ut-lrtr*i,,J-.tz)

-tfut-

uz) _l,

<

2B _Ifry,

_-

_4J*

_-

_tl*

*

q,*I*

_L

_+2o

_I

_lnt

_-

_uJ-u"

_{-'w -}

_uL-u,

L

+h, l,u

-

r,a L

*llq-22

l=41.

V6rifions d'abord _{que I}

_hr

_-1,lorl+

_-

_lrn

_-

_Trr]*

_l<

_Q

_l rn

_-

q2

_l.Pour

cela on

friit

l'6tude

6l6mentaire de

tout

les cas possibies

_{*,

1r, c.

d.

e.

f),

comrne on I'ex^oose ci-dessous

cas

a.

_ry

l

qz

_54o",

1rh_TorSrlz_io"Sa,

+

lryt

-

%"J*

-

[r"

-

Eu,J*-

-

0

<l

itu

-

rntr.

cas

b.

qz

₃

_ry

{ir,

+

ryz

-

D,.,

5

f1

-

ri,,..

{

B,

+

IrA

-

Qo"tr*

:

[*ft

-

qr"]*

--

&

5l

rn

_-

rfz l_

cas

c.

?h

14r" 1

_W,

44t-F""{a1rs2-4r",

+

_lrtr-

_%r]*

:

o

_S

_lqz

-

tlrrl*

:

rt1

-To,

donc _|ry1

_-

_no"]+

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_lrl,

^

_flou)+

:

_To"

_-

rlz i

d'auire part aa

e'-

_ryL-

rn

<To"-

rn

5

fr,

1l

rto"

_-

_nz

_l3l

_h

_-

_\z

_l,

d'ori

_{{ fer}

_-

-ry",1*

-

_Itn

_-

_4,"]*

_l<[

yh

*

rtz _I,

cas

tl.

r1z _!-ryor

!

yft,

1qz-TorlAa,tt -io$

S.L

Etude

de

la solution

+

[rn

-

n,"]+:

o

(

lq,

-n,,1*

:

rtr

-

_i,",

dtrnc _frp

_-

_To*i*

_-

_iri,

_-

_Fl,rr]*

:

TSu"-,Ffr.r

+

lryt

-

nn,,7*

-

_lq,

-

_%"]-t

:

\t

-

rlo"i

d'astre

part

on

a:0

(

_Tr

_-Flo"

{

r}r

_-

ch,

_{=+l Kh-4o"}

_l{lrl,

-

qzl,

d'ori

_{| [U,}

_-

q"1*

_-

_W-

_rL*l+

_l:l

_&

_-

_rh"

_lS[

_srr

_-

WL.

cas

e.

_To"

S

rh

I

rlz,

=+0<

qt-\rs1*z-4nu,

+

Irlr

-

rlruf*

:

Tlt

_-

_io,

_fl[rtz

_-

_rt,r]+

:

_W

_-io,,

+

_lnt

_-

no"l*

*

lq,

-

n,"1)-

:

er

-

rrz,

l1

d'oi

j[ryr-rt*]*

_-[rn-I,*]+

_i5i

rn--rrzi.

cas

f.

rlo"

3

rlz

_S

qt,

=+

Ij=Tz-fin"!uf,-rL,*,

.+

_{rn

_-

_%rJ*

_{-'rlz -Tr"}

_{

_kp

_-

_rlrrJ*

_{:lh -}

_Tpus,

donc _[r71

_-

_4,"]+

_-

_Iq,

_-

_ioJ+

:

_\t

_-

_Tz,

d'ori i

[oi.

-

-ri".]*

-

[rn-

T*]+

i:i

_ryL- {E

_i<i

,i..

*

rpl

.

L'in6galit6

_llqr-i,"1*

_{-[rtr-T,i,r]*}

_lsCrlqr-42

_lavec

_Ct:L

_{est d6montr6e.}

Vrfuifi$nsrnaintenantl,inegalitd

_{l{*lr-Bo"}-at-btu-Tt,,.!-orlg}

_C"

[*r_o"

[+C,

lrn_rfzf

f-^

_sous

_{la condition}

I

q,l,l

Tz

l,l

q

l,l

u2l<

Itt.

De grardiu'e aualogue *.

i'iftdgaiiiii

prer6deerie? -!r{.}uii iaixulrs

i'€lutie

di€lrrerri,aire de t*ui, iex ezr.:

possible (a,

b,

c,

d,

e,

f)

:

cas

_{a. rySW 5}

_%,,

*r;r-%rSW-4rr18,

+

lrl,

-

io"]-

:

rlo"

*

rh

et

_lrn

_{- i,"l-}

:

_i,"

_-

_w,

=+l

ftlr

_-T6it-*4

-

_{I1n -Vlnr'J-,uz}

_i:'t

tTf,,

_-,rlt\ut

-

{=,1o"

-

rnsuz

i

.

:l

(ui

_-

uz)rlo"

-

_Ttut

*

rbuz _l.

34u"l

rr,

_-

r*a _|

*

_|

_-r?r*,

*rpusl"

:4*el

ut

_-

uzl

+

_[

_-nttt

I

rrauz- rbuz+ rpusl.

S

rlu" _I

u,

_-

u,

|

*

|

-qtut .l

qzuz |

+

|

_-rlrw

*

rnuz I.

-

Siiin*+

i.'tt i)

Irnt

-

*zi+

i*,

ii

3.1

Etude

de

la

solution

<

(n,,

₊

I[)

_|

ut

_-

u2 _|

+iltI

I

q,

-

,tr

l.

cas

b.

qz

<

rh

₅

r;n*'

De

la

m6rne manibre que

a.

on obtient

lftlt -%"1-rr

-frn-=ryo"|-uz

l<

{t

_"

+

M>

_l*,

_-

uzl+M

_lry-ynl.

eas

c.

rh

₅

_fio"

_€

rft,

.+

_[iA

_-

_frrrt]-

_-

_Eo"

_-

_{Tr erb}

[A

-

F*rJ-

-

0,

=+l lryr

-

rtu"f-w

-lrn

-

rl","f-uzl

:l4rrut

_-

_Yltlul^

I-sf

ur

_[[

rh

_-q""1.

3l

,t

ll,n

-

qz _l, carT 0n

a

, _Er

_s4u"

_s

rn

)rlr-wSry-%"So

+l

qr

_-

_8,"

_lS[

rlr

_-

qz _I;

cn

a tlt_nrc

_i

_{ry

_-

_4n}-w

-

_lrn

_-

_Tt,}-u,

LS tvt Lrn

_

on L ^

cas

d.

_\z

_S

rlo,

{

ylt,

$rf:-%"<S<rp-=rlo,

+

[tl*

-

%"J-

:

0

et

_lrn

_-

t?""]-

:4,"

_-

rh, =+[ lrlr

-

Tou]-u

-

lrn

-Tr,,l-rn

I

:i

_trn

_-

_4r*)uz

l-Klrzllrn_n,,|.

<l

_{rr, ll}

rl,

_-

rt,

_[, car, on

a i

rh

I

_Tr*

_!.

rh,

*

rlz

-

_ry

l

rh

_{-4u" 1A,}

+l

rB

_-

_%*

_i3{

_Tr

_-

_Tt[;

on a _{donc i I,?,}

_-

_i*f-u,

-

_Vt,

_-

_i,,I-uz

_IS

_{nf l}

_rt,

_-

_{rt2 I} .

cas

e.

,ynrSt44Srp,

=+0<Tr-G" lrlz*4r",

+

_lrlr

_-

_T,"I-

:

_hr

_-

_%"}-

:

0,

23

3.1

Etude

de

la solution

cas

f.

flr"

_S

rlz

1

rh,

De Ia m6ine

raaniire qiie

_{,e.) on ob*iient

I

lqt

-

\o,I-ut

-

lT,

-To,f-ue

IS

u

I

q

-

uz I .

Arrarrt

exar*i'6

tous les _{cas pussibles, orr}

peut

eorrel.oe qile

I lrlr

-

rtn"]-w

-

lrn

_-4o"I-uz

_ls

c,[

*,

_-

uz _I

*ct

_l

rIL

-

_{r]z I}

avec C.i

:

m&x(l,sup%"

₊

_M),,C2:

_lv{.

D'apres ce

qui

pr6clde on corrclut que :

Ar

{

_{Cr

+

Cs} _{I ry,}

_-

_ry,

_l+cz

_I

_ut

_-

_{uz l,}

:!

max(Cr

*

Cs, czl/.l rn

_-

_{ry:z I}

*

_[

_*,

_{- ,,}

_fi.

Le lemme est

d6montrrS.

_il

--

Rappelons maintenant

1e

th6orbme

de

comparaison

_{pour les}

_dquations

_{diff(lrentielles}

crd.inaires-Lem:me

B.L.Z (de

com,para,,ison

₎

(Voi,r _[SJ)

Ss'tent

!

et

J

d,eus i,ntey",:altes ouuert

et

LwrEl€ de

R.-Soi'ent

_f

:

J

-'

R

ane appt'icati'onr, _{tocatement l:ipschi,tzi,enne,}

_y:

_I

->

J,

une sotution de

a':

f

{il

(Jt

6tantun

sous'interuaile

_stri.ctde

_J),

_etts

_unpoi,nt

_d,e

_I.

S<tit,'t: :

f

_-+

k

u{,u"i{ttan{

: r(/,s}

<

_{tr(/,si,.t,(f.}}

i

/{"{e}}-Alors

n(t)

< y(t)

sur _[to,

_+*[n1.

Preuve.

/

est _{une application lipschitzienne (avec}

_un

_{coeffi.cient de lipschit}

_z

_L

bien d6ternrin6J sur

l'intervalle

borad

J.

on

suppose par absurde

qu'il

e'riste

t

€

_[fo,

*oo{

n

.I ter que

"{f)

>

g(t}.

Soit

rr:

sup{r

€

I[V*

€

_{[ro,r];a(:r) S}

y(*]]-Montrons que _{f1 caqncide avec sup_I.}

Notons d'abord que _{par continuit(i}

_n{tL)

_<

_E(tl

_{et,puisque f1 est un maximale, on}

d,oit avoir :r(fr}. == g(*1).

Soit

t2

)

f1 ass€z

petit pour

_{avoir .L{f2}

_ fr}

_<

_{112 ori}

_tr

_{est }a constante de}

Lipschitz de

_/.

24

3.t

Etude

de

la solution

Soit s

>

0, nous allons montrer que

r(t)

<

_aft)

_*

_e(t

_

₁₁₎

_sur

_ltr,trl.

Si a'er*i,

pr*

vrlri,

ii3

e

_[ir,

izl *xrxiunri

i.ej qee :

n(h)

<a(ts)+e(ts-

f1) dans _[ri1,t3]

et

puisque t3 est un maximale, on

doit

avoir

"r{*s}-e(h):s(*3-*1}

Sib>0.ona:

r(te

+

h)

:

*(t")

+

r'(ts)h*

o(rb),

< att{i

+ ,(tz

_-

rr,l

+

f(r[rs))h

*

o(i.J,

<

y(h)

_*

e(t3

_-

rr)

_{+ ffults))h +}

Le(4

_-

tr)h+

o(n),

<

_a(h)

₊

y'(ts)h*

e(r3

*

cr

*

hl2)

+

o(h),

:

gtrii

+

fr)

+

€tte

_-

₄

₊

h/2,).

pour h

assez

petit,

r(ts+

fui

<

g(ts

_+h)

+ r(f3

_-

fi

_*

ht'Zj,

cantredisanb la

maximslitd

de fs.

En

faisant tendre e vers 0, on en

d6duit

que

r(t)

<

_{aO) d,ans 1fu,f2], contredisant}

_la

maxi-malii;d

de t1.

La preuve ci-dessus reste clairement valable sous I'hypoth]se plus faible, puisque ce]Je-ci veut

dire:

pourtout

s)

0, on

a:u(f.-th)

_5*(*)+

_{f{x{*}}h*s/rpour}

A

>

0

assezpetit.

D

-

Th€orbme

3.1".1

On suppose q'ue _?l(0)

>

_o

_etu(0)

_>

_a

_et

_{querT{t),u(t)}

_sont

_la

_{solution d,u}

sy*tenw d' d.qu**i,arus _{3. 1 _}.

Alors

on

ar1(t)

)

0

etu(t) >

0,\lt

>

A

pour

au que Ia soluti,on

(r7\t),u(t))

eri,ste.

De

plus, r1$) et

u(t)

sant barnd,es .

Preuve.

1.

Pour montrer que

_{A(t) et}

_u(t)

sont positives, on

utilise

la d6monstration

par

absurde.

O*

suppose d+nc

qu'il

exi*te nrr f1

>

0

tel

q,le :

rnin(q(t'),u(ti))

(

o.

25

(3.4)

Or,

_4{*i

et

u{t}

soat par hypoth*se

h

s*lutics

d*

€quations dlfidreatielle ordiaairs*

et

doue eiles sont continues.

S.L Etude

de Ia

solution

(i)

IIexiste

_{tr)0 telqrre:}

_r1(tr)

_:0,

?(t)

>0 polrl 0(t(f1,

a{lJ>0

pc'.i,r

0<*{t1-n(t)>0

pour

0<f

(tr.

iiii)

Il

existe

d1

i 0

tel

iiue

:

ii{t}

_

al{*1}

_

C,

z(r)>0, q(t)>0

pour

0(f(t1.

Gn va moni'rer que chaque h3'poi;hdee ttous _{antdne & ulre eoeiradieiion.}

a)

Supposons d,abord

la condition

(i).

Pour la c.ontimdtd de n7{*},

il

_{*xi*te ua}

_i.s, S

<

_fu

{

_{*1, te}} que :

ry{.tn):

co:

_{i:fiq*,"{r{r}}}

er

0

<

rl{r}

{ cs

pourra

{ t

_4l,,.

Dans cet intervalle _[ts, t1]

la

fonction r1(t) v6rifie

la

relation suivante :

[--

_ry\

:

tt[rig]-

_{j-aii)

₊

ieo

-

ttsT{;i},

)

ho

_ htt(t),

>

_h+q(t).

Ditnc

d'apris

le lemme _{de comparaisCIn pou.r les dquatir:ns diff€rentielles ordinaires (}

3-1.2)

on

a

:

q(t)

_>4(16) exp

(-hr(t-

_to))

_>

0

pour

7

)

toi

ce

qui

caatre"dit natre hypoih#se

(i)

_4(*n)

_

g.

b)

Srrpposons _{maintenant Ia}

_condition

_(ii).

_La

_condition

_rl\)

_>

₀

_pour

0

< , <

f1 implique

que _[r7(t)

_-

_no"]-

₃

_\o".

Danc d,arrs

I'ini,en'aiit

_[0,

_{i1j ia}

_fonclirrrr

_uii)

_v6riiic

_{La reiafirxi eui1,1mte}

:

dru{tl

t

> -alq(t)

-

rto,l-u(t)

_-

_w{t)

>

_-(r'+

_cf,")u(t).

Donc doapris Ie lernme de ccrnpe,raison

pour

les dquations diffdrentiellm ordinairesr

_{

3.1.2}

ona:

,.r{tJ>,-r{o'}erp

(-tt-

_o-

_{

_{n*_(f(r,)jrl_c,j}

_>

_0.

JA

ce

qui

contredit notre _{hypoth6se {.ii),}

_z(tr)

:

g.

c)

Supposons

mainte*a*t

la

conditi+n (iii).

De manidre an*ulogue' de

_{ii

et

_{ii}

oa tmuve, une esntrattietion

i

notre supposition..

2.

Montrons _{que ry(t)}

_et

u(t)

sont born6es.

ai

poru

mtrnirer

qut

_ry{ti el,t borrierq on rapgrciie que

_ryo*i?it}i

_**i

_gxitive

_e1