Chapitre 7 Probabilités
Sommaire
7.1 Activités . . . . 59
7.1.1 Arbre pondéré. . . 59
7.1.2 Schéma de BERNOULLI . . . 60
7.2 Probabilités : rappels de Seconde . . . . 61
7.2.1 Vocabulaire des ensembles . . . 61
7.2.2 Expériences aléatoires . . . 62
7.2.3 Probabilités . . . 63
7.3 Loi binomiale . . . . 63
7.3.1 Schéma de BERNOULLI . . . 63
7.3.2 Loi binomiale . . . 63
7.3.3 Espérance . . . 64
7.3.4 Utilisation de la calculatrice. . . 64
7.4 Exercices . . . . 65
7.1 Activités
Pour cette section, on dispose d’une urne contenant quatre boules insdiscernables au toucher dont trois boules bleues portant respectivement les numéros 1, 2 et 3, notéesb1,b2etb3, et une boule rouge unique, notéer.
7.1.1 Arbre pondéré
On considère l’expérience aléatoire suivante : « On prélève de façon équiprobable une boule dans l’urne puis on la remet dans l’urne et on en prélève une seconde, toujours de façon équiprobable.
On note, dans l’ordre, les couleurs des boules extraites ».
On noteΩl’ensemble de toutes issues possibles etp(A) la probabilité d’un évènementA.
1. Construire l’arbre des possibles et en déduireΩ. Est-on dans une situation qu’équiprobabi- lité?
2. (a) Construire un arbre, que nous appelerons « modèle intermédiaire », qui prenne en compte, pour chaque boule extraite, non seulement sa couleur mais aussi son numéro.
7.1 Activités Première STMG
(c) En déduire les probabilités de chacun des évènements élémentaires deΩ. On présentera les résultats sous forme de tableau du type :
ωi ω1 ω2 . . . p(ωi) p(ω1) p(ω2) . . .
Remarque. Lorsqu’on détermine pour chaque évènement élémentaire sa probabilité, on dit qu’on décrit la loi de probabilité.
3. L’arbre du modèle intermédiaire, nous ramenant à une situation d’équiprobabilité, nous a permis de décrire la loi de probabilité. Cependant il est un peu lourd. Essayons de l’alléger.
(a) Refaire l’arbre des possibles en ajoutant devant chaque éventualité des branches mul- tiples : autant qu’on en peut trouver sur le modèle intermédiaire qui mènent à cette éventualité.
(b) Refaire l’arbre des possibles de la manière suivante :
i. Remplacer ces branches multiples par des branches simples mais en indiquant le nombre de branches qu’il devrait y avoir. On obtient alors un arbre pondéré (chaque branche ayant un poids).
ii. Combien de chemins du modèle intermédiaire terminaient sur l’évènement élé- mentaire (b,b)? Comment pourrait-on retrouver ce nombre à partir de l’arbre pré- cédent ?
(c) Refaire l’arbre des possibles de la manière suivante :
i. Pondérer chaque branche, non plus avec le nombre de branches multiples qu’il de- vrait y avoir, mais avec le quotient de ce nombre par le nombre total de branches qu’il devrait y avoir à ce même niveau.
ii. Quelle est la probabilité de l’évènement élémentaire (b,b)? Comment pourrait-on retrouver cette probabilité à partir de l’arbre précédent ?
7.1.2 Schéma de B
ERNOULLIRappel : on considère toujours la même urne contenant 3 boules bleues et une boule rouge.
Première expérience aléatoire : « On prélève de façon équiprobable et avec remise, deux fois de suite une boule dans l’urne. On note le nombre de fois qu’on a obtenu la couleur bleue ».
Seconde expérience aléatoire : « On prélève de façon équiprobable et avec remise, trois fois de suite une boule dans l’urne. On note le nombre de fois qu’on a obtenu la couleur bleue ».
Pour chacune de ces expériences aléatoires : 1. Construire l’arbre pondéré correspondant.
2. Décrire la loi de probabilité correspondante.
Première STMG 7.2 Probabilités : rappels de Seconde
7.2 Probabilités : rappels de Seconde
Ce paragraphe ne comportant que des rappels de Seconde, les exemples seront limités et les preuves des théorèmes et propriétés ne seront pas refaites.
7.2.1 Vocabulaire des ensembles
Définition 7.1(Intersection). L’intersectionde deux ensembles AetB est l’ensemble des éléments qui sont communs àAetB. On la noteA∩B.
A B
×e
Ainsie∈A∩B signifiee∈Aete∈B.
Remarque. LorsqueA∩B=∅, on dit que les ensemblesAetB sont disjoints.
Définition 7.2(Réunion). Laréunionde deux ensembles A et B est l’ensemble des éléments qui sont dansAou dansB. On la noteA∪B.
A B
×e
Ainsie∈A∪B signifiee∈Aoue∈B.
Définition 7.3(Inclusion). On dit qu’un ensembleAestinclusdans un ensembleB si tous les éléments deAsont des éléments deB. On note alorsA⊂B («Ainclus dansB») ouB⊃A(«B contientA»).
A B
On dit alors queAest unepartiedeB ou queAest unsous-ensembledeB. Remarque. ∅etEsont toujours des parties deE(partie vide et partie pleine).
On noteraP(E) l’ensemble de toutes les parties deE.
Définition 7.4(Complémentaire). SoitEun ensemble etAune partie deE. LecomplémentairedeAdansE est l’ensemble des éléments deEqui n’appartiennent pas àA. On le noteA.
A
E A
Remarque. A∪A=EetA∩A=∅.
Définition 7.5. Des parties A1, A2, ..., Ap d’un ensemble E constituent unepartitiondeE si elles sont deux à deux disjointes et si leur réunion estE.
Ainsi :
• Pour tousi etj de {1 ; ... ;p} :i6=j⇒Ai∩Aj=∅;
•
p
a
i=1
Ai =A1∪A2∪...∪Ap=E.
A1 A2 A3 A4 ... Ap E
Propriété 7.1. Soit A une partie d’un ensemble E et A le complémentaire de A dans E . Alors A et A constituent une partition de E .
Définition 7.6(Cardinal). Le nombre d’éléments d’un ensemble finiE est appelécardinal de E. Ce nombre est noté Card(E). On convient que Card(∅)=0.
7.2 Probabilités : rappels de Seconde Première STMG
7.2.2 Expériences aléatoires
Issues, univers
Définition 7.7. L’ensemble de toutes lesissuesd’uneexpérience aléatoireest appeléunivers(ou univers des possibles). On note généralement cet ensembleΩ.
Dans ce chapitre,Ωsera toujours un ensemble fini.
Évènements
Exemple : on lance deux dés et on considère la sommeSobtenue. L’ensemble de toutes les issues possibles (univers) estΩ={2 ; 3 ;···; 11 ; 12}.
Le tableau7.1de la présente page définit le vocabulaire relatif auxévènements(en probabilité).
TABLE7.1: Vocabulaire relatif aux évènements en probabilité Vocabulaire Signification Illustration
Évènement (notation quelconque)
Ensemble de plusieurs issues
Obtenir un nombre pair : A={2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12}
Obtenir un multiple de trois : B={3 ; 6 ; 9 ; 12}
Obtenir une somme supérieure à 10 : C={10 ; 11 ; 12}
Obtenir une somme inférieure à 6 : D={2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}
Évènement élémentaire (notéω)
L’une des issues de la situation étudiée (un
élément deΩ)
Obtenir 7 :ω={7}
Évènement impossible (noté∅)
C’est un évènement qui ne peut pas se produire
« Obtenir 13 » est un évènement impos- sible.
Évènement certain (notéΩ)
C’est un évènement qui se produira obligatoirement
« Obtenir entre 2 et 12 » est un évène- ment certain.
Évènement « A et B » (notéA∩B)
Évènement constitué des issues communes aux 2 évènements
A∩B ={6 ; 12}
Évènement « A ou B » (notéA∪B)
Évènement constitué de toutes les issues des
deux évènements
A∪B ={2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 10 ; 12}
Évènements incompatibles
(on note alors A∩B=∅)
Ce sont des évènements qui n’ont pas d’éléments
en commun
C∩D=∅doncC etD sont incompa- tibles. Par contre,AetB ne le sont pas.
Évènements contraires (l’évènement contraire
deAse noteA)
Ce sont deux évènements incompatibles dont la réunion forme la totalité
des issues (Ω)
Ici, A représente l’évènement « obtenir une somme impaire ». On a alors :
• A∩A=∅(ensembles disjoints)
• A∪A=Ω
Première STMG 7.3 Loi binomiale
7.2.3 Probabilités
Loi de probabilité sur un universΩ
Définition 7.8. SoitΩ={ω1;ω2;···;ωn} l’univers d’une expérience aléatoire.
Définir une loi de probabilitéP surΩ, c’est associer, à chaque évènement élémentaire wi, des nombrespi∈[0 ; 1], appelésprobabilités, tels que :
• X
i
pi=p1+p2+ ··· +pn=1 ;
• la probabilité d’un évènement A, notéep(A), est la somme des probabilitéspi des évène- ments élémentairesωi qui constituentA.
Remarque. On note aussi :pi=p({ωi})=p(ωi).
Propriété 7.2. Soit A et B deux évènements deΩ, alors :
• p(A∪B)=p(A)+p(B)−p(A∩B); • p(A)=1−p(A).
Remarque. Comme, par définition, la probabilité de l’évènement certain est 1 alors la probabilité de l’évènement impossible, qui est son contraire, est 0.
Une situation fondamentale : l’équiprobabilité
Définition 7.9. Lorsque toutes les issues d’une expérience aléatoire ont même probabilité, on dit qu’il y aéquiprobabilitéou que la loi de probabilité estéquirépartie.
Dans ce cas, la règle de calcul de la probabilité d’un évènementAest la suivante :
Propriété 7.3. Dans une situation d’équiprobabilité sur un universΩ, pour tout évènement élé- mentaireωet tout évènement A on a :
p(ω)= 1
Card(Ω) p(A)= nombre d’issues favorables
nombre d’issues possibles =Card(A) Card(Ω) Certaines expériences ne sont pas des situations d’équiprobabilité, mais on peut parfois s’y ramener tout de même, comme par exemple dans l’activité7.1.1.
7.3 Loi binomiale
7.3.1 Schéma de B
ERNOULLIDéfinition 7.10(Schéma de BERNOULLI). SoitEune expérience aléatoire ayant exactement deux issues possibles, qu’on appelle généralement, pour l’une,succès, notéeS, et, pour l’autre,échec, notéeS, et telle quep(S)=pet doncp(S)=1−p.
Répèter n fois cette expérienceE de façon indépendante, c’est constituer ce qu’on appelle un schéma de BERNOULLIde paramètresnetp.
7.3.2 Loi binomiale
Définition 7.11(Loi binomiale). Soit un schéma de BERNOULLIde paramètresnetp.
Si on s’intéresse au nombreX de succèsSde chaque issue, on dit queX est une variable aléatoire qui suit uneloi binomiale de paramètres n et p, généralement notéeB(n;p).
Propriété 7.4. Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomialeB(n;p).
Alors, pour tout entier06k6n :
7.3 Loi binomiale Première STMG
7.3.3 Espérance
Propriété 7.5. Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomialeB(n;p). Alors, si l’on répète un très grand nombre de fois l’expérience, la moyenne du nombre de succès tend vers un nombre appelé espérance mathématique de la loi binomiale et l’on note E(x)et qui vaut E(X)=np.
On l’admettra.
7.3.4 Utilisation de la calculatrice
Les calculatrices permettent d’obtenir les valeurs exactes de¡n
k
¢et, dans le cas où la variable aléa- toire suit la loi binomialeB(n;p), les valeurs approchées dep(X =k) et dep(X 6k).
Pour l’exemple nous supposerons que la loi binomiale est de paramètresn=10 etp=0,25 et que k=2.
Casio anciens modèles Casio modèles récents TI
p(X=2)
Menu STAT DIST BINM Bpd Data : var x: 2
Numtrial : 10 p: 0,25
Inutilisable dans les calculs (noter le résultat pour réuti- lisation)
Menu RUN
(OPTN STAT DIST BINM Bpd pour) BinomialPD(2, 10, 0.25)
DISTR binomFdp(10,0.25,2)
p(X62)
Menu STAT DIST BINM Bcd Data : var x: 2
Numtrial : 10 p: 0,25
Inutilisable dans les calculs (noter le résultat pour réuti- lisation)
Menu RUN
(OPTN STAT DIST BINM Bcd pour) BinomialCD(2, 10, 0.25)
DISTR binomFRép(10,0.25,2)
Première STMG 7.4 Exercices
7.4 Exercices
EXERCICE7.1.
Les expériences aléatoires suivantes sont-elles des épreuves de BERNOULLI? Si oui préciser leur paramètre.
1. On lance un dé cubique équilibré et on gagne si on obtient 6.
2. On lance un dé tétraèdrique équilibré et on note le résultat obtenu.
3. Un automobiliste arrive à un feu et a une probabilité de 0,3 que le feu soit vert.
4. On tire une boule dans une urne contenant quatre boules rouges et six boules noires et on note la couleur de la boule obtenue.
EXERCICE7.2.
On jette trois fois de suite une pièce de monnaie équilibrée et on appelle « tirage »le résultat obtenu.
Ainsi (Face; Face; Pile) est un tirage (qu’on noteraF F P).
1. Faire un arbre décrivant l’ensemble des issues possibles de cette expérience aléatoire et don- ner le cardinal deΩ, l’univers des possibles.
2. On appelleX la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le nombre de « Pile »obtenues.
(a) DécrireΩ′, l’univers des possibles pourX.
(b) Déterminer la loi de probabilité associée àX (on la présentera sous forme de tableau).
(c) DéterminerE(X), l’espérance mathématique deX. EXERCICE7.3.
Pour se rendre à son travail, un automobiliste rencontre trois feux tricolores. On suppose que les feux fonctionnent de manière indépendante, que l’automobiliste s’arrête s’il voit le feu orange ou rouge et qu’il passe si le feu est vert. On suppose de plus que chaque feu est vert durant les deux tiers du temps, rouge un quart du temps et orange le reste du temps. On dit que l’automobiliste a obtenu le feu au vert quand il est passé sans s’arrêter.
On s’intéresse uniquement au nombre de fois où l’automobiliste est passé sans s’arrêter.
1. Faire un arbre représentant toutes les situations possibles.
2. Quelle est la probabilité que l’automobiliste ait les trois feux verts? deux des trois feux verts?
3. Combien de feux au vert l’automobiliste peut-il espérer?
EXERCICE7.4.
Une association comprenant 30 adhérents organise chaque année une assemblée générale. Les sta- tistiques montrent que chaque adhérent assiste à l’assemblée avec la probabilité de 80 %. Les dé- cisions prises par l’assemblée n’ont de valeur légale que lorsque plus de la moitié des adhérents assiste à l’assemblée.
Quelle est la probabilité que, lors de la prochaine assemblée, le quorum soit atteint ? EXERCICE7.5.
À chaque tir, un archer atteint sa cible avec une probabilité égale à 0,7.
Combien de tirs doit-il effectuer pour que, avec une probabilité supérieure ou égale à 0,99, il at- teigne la cible au moins deux fois? Au moins trois fois?
EXERCICE7.6.
On lance une pièce équilibréenfois. On s’intéresse à la probabilité d’obtenir « face » dans 60 % des cas ou plus.
Envisager les casn=10, puisn=100, puisn=1000.
Donner d’abord, sans calcul, une estimation spontanée du résultat, puis solliciter la calculatrice
7.4 Exercices Première STMG
EXERCICE7.7.
Un QCM comporte 20 questions. Pour chaque question, quatre réponses sont proposées dont une seule est juste. Chaque réponse rapporte un point et il n’y a pas de pénalité pour une réponse fausse.
Un candidat répond au hasard à chaque question.
Quel nombre total de points peut-il espérer?
Quelle pénalité doit-on attribuer à une réponse fausse pour que le total espéré, en répondant en- tièrement au hasard, soit égal à 2 sur 20 ?
EXERCICE7.8.
Un texte contientnerreurs. Lors d’une relecture, on considère que chaque erreur a 80 % de chances d’être corrigée.
Peut-on prévoir, en moyenne, le nombre d’erreurs restantes après une relecture, . . . , aprèsk relec- tures,kétant un entier supérieur à 1 ?
EXERCICE7.9(Simulation sur ordinateur).
Cet exercice nécessite un tableur.
On se propose d’utiliser le tableur pour résoudre le problème suivant :
« Monsieur X est invité chez des nouveaux amis qu’il sait très joueurs mais qu’il connait à peine.
Au cours de la conversation il apprend que ses nouveaux amis ont deux enfants mais il oublie de demander leur sexe. Soudain l’un de ces deux enfants entre dans la salle. Il s’agit d’un garçon.
“– Vous avez donc un garçon et ... ? demande-t-il
– Je parie que tu ne devineras pas. Sur quoi mises-tu ? un gars? une fille?”
Sur quoi doit miser monsieur X pour maximiser ses chances de clore le bec à ces amis un peu lourds avant de prendre congé? »
On suppose pour simplifier les choses qu’un enfant sur deux qui nait est une fille et l’autre un gar- çon.
1. Queconjecturez-vousa priori quant au sexe de l’autre enfant ?
2. On se propose d’utiliser la colonne A pour simuler le sexe du premier enfant, la colonne B pour celui du second enfant et la colonne C pour compter le nombre de garçons.
Proposer une formule utilisant la fonction ALEA (ou ALEA.ENTRE.BORNES avec Calc) per- mettant de simuler le sexe d’un enfant dans les cases A1 et B1 et une formule adaptée pour compter le nombre de garçons de la fratrie dans la case C1.
Demander au professeur de valider les deux formules avant d’aller plus loin.
3. « Tirer la poignée » verticalement de façon à simuler 100 familles de deux enfants.
4. Dans la plage F4 : J5 dresser un tableau de la forme suivante : Nombre de garçons 0 1 2 total
Effectif
où les casesEffectif seront automatiquement complétées par le tableur (utiliser la fonction NB.SI)
5. En appuyant plusieurs fois sur la touche F9 (Excel) ou CTRL+MAJ+F9 (Calc), indiquer autour de quels effectifs semblent osciller les types de famille.
6. Puisque l’un des enfants est un garçon, quel type de famille doit-on exclure?
En observant les types de famille restants, déterminer sur quel sexe doit miser Monsieur X et dans quelle proportion il a des chances de gagner son pari.
Votre conjecture est-elle validée?
