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Submitted on 1 Jan 1924
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L’état interne de la terre en relation avec sa radioactivité
A. P. Socolow
To cite this version:
A. P. Socolow. L’état interne de la terre en relation avec sa radioactivité. J. Phys. Radium, 1924, 5
(5), pp.153-160. �10.1051/jphysrad:0192400505015300�. �jpa-00205147�
L’ÉTAT INTERNE DE LA TERRE EN RELATION AVEC SA RADIOACTIVITÉ
Par M. A. P. SOCOLOW.
Université de Moscou.
Je donne ici l’exposé succinct de l’étude que j’ai faite, il y a quelques années, sur l’expli-
cation de l’origine de la chaleur terrestre par les phénomènes radioactifs. Les résultats
auxquels je suis arrivé peuvent, je le crois, apporter quelques contributions à l’éclaircisse-
,
ment de cette question qui reste encore bien obscure, malgré le grand nombre,de savants
éminents qui s’en sont occupés.
En traitant ce problème, je suppose que la Terre n’a jamais eu d’autres sources internes
de chaleur que celle des transformations des substances radioactives, contenues dans son intérieur, et je me demande si on ne peut pas expliquer son état thermique actuel, en se
basant seulement sur cette source incontestable. Je me représente donc que la Terre était
jadis un corps froid, privé de toute activité interne, et que sa température ne différait guère
de celle de l’espace céleste que je prends pour zéro de l’échelle thennométrique. A un
certain moment (qui pouvait en réalité durer des millions d’années) elle se couvre d’une
couche de substances radioactives et dès lors commencent en elle le développement de la
chaleur et l’activité interne. Je prends ce moment pour origine des temps et je nomme âge
de la Terre le temps qui est écoulé depuis lors. Cet âge peut d’ailleurs différer de l’âge .géologique qu’on calcule par des méthodes différentes.
En cherchant la solution la plus générale du problème, j’ai tâché de m’affranchir le plus possible des restrictions qu’on faisait ordinairement jusqu’ici. Ainsi, je ne regarde pas la Terre comme un corps infini, mais comme une sphère de rayon R = 6,37 . l08 cm et je la
suppose constituée de deux parties, selon l’hypothèse bien connue de Wiechert : la partie centrale, qui est un noyau en fer, ayant le rayon ; - 3/4 R et la densité 8,0, et la partie
extérieure ou l’écorce rocheuse, qui enveloppe la première et a l’épaisseur L = 1 /4 R et la
densité moyenne 3,0. Puisque le fer des météorites ne contient aucune trace de radium, je
suppose que les matières radioactives se trouvent seulement dans la partie rocheuse, où elles sont distribuées d’après une loi arbitraire, mais fonction continue f (r) du rayon r de la couche considérée. Je prends aussi en considération que la quantité de ces matières diminue
avec le temps suivant la loi bien connue des transformations radioactives :
Ces substances appartiennent à deux grandes familles, celle de l’uranium et celle du thorium, qui ont des valeurs différentes de la constante radioactive X. Pour ne pas compliquer trop la solution du problème, j’admets seulement la présence dans la Terre de la famille de
l’uranium, comme plus importante pour la production de chaleur, mais je prends en consi-
dération aussi l’effet calorifique de la famille du thorium en le reportant à celui de l’uranium.
Avec ces données, je me propose de chercher la distribution de la température 6 à l’inté-
rieur de la Terre pour un moment donné t et la valeur du gradient thermique G à sa sur - face, en supposant que celle-ci est maintenue tout le temps à la température 8 . - 0.
La solution de ce problème, dans toute sa généralité, présente des difficultés analytiques
presque insurmontables à cause de l’hétérogénéité admise des deux parties constituantes de la Terre, mais le problème devient abordable si l’on suppose que la couche radioactive se termine un peu avant la limite inférieure de l’écorce rocheuse et que l’on restreint le
temps t aux valeurs plus petites que 101 ans. Alors, comme on le verra plus loin, la chaleur
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:0192400505015300
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ne pourra pas encore, pendant ce laps de temps, se propager jusqu’au noyau central, [de
sorte que celui-ci n’aura aucune influence sur le mouvement de la chaleur à l’intérieur de l’écorce. Avec ces restrictions, le problème se réduit à la solution de l’équation :
avec les conditions initiales :
L’équation (1) est celle de la propagation de la chaleur dans une sphère, avec cette diffé-
rence qu’on y a introduit encore le terme ~ r f (r) e-~,’ t qui correspond à la chaleur déve-
loppée par les phénomènes radioactifs.
Les constantes qui y entrent ont les valeurs suivantes :
~, la constante radioactive de l’uranium, est égale à S-1, oi~
’
x == 0,00~~ est la conductibilité thermique de l’écorce rocheuse ; C = 0,2, sa chaleur spécifique et D = 3,0, sa densité ruoyenne ; b représente l’effet calorifique initial (pour t == 0)
des matières radioactives à la surface de la Terre (pour laquelle r = R et f (1» = f). Sa
valeur actuelle est
En introduisant une nouvelles variable u = 8 ~°, on réduit le problème à celui d’une couche indéfinie plane d’épaisseur ~, dont les deux faces sont maintenues tout le temps à la température 2c = 0; alors, 1l doit satisfaire aux conditions suivantes :
On trouve sans difficulté la solution de ce problème, en ’se servant de la méthode de W. Thomson (Lord Kelvin) des sources de chaleur et de leurs images (2). Ainsi, l’expression
est la solution cherchée pour un corps infini, dans lequel, au moment t - 0, ont surgi dans
le plan r .- r’ des sources de chaleur, dont l’intensité varie avec le temps comme 6- ", e.
En multipliant cette expression par ~ 1~’ f (r’) et d2-’ et en intégrant entre p ~ R - L et R, on
aura la solution pour le cas quand les sources sont distribuées selon la loi r f Cr) dans la
couche radioactive d’épaisseur ~~ :
’(1 j 1, RUTIIERFORD. Radioactive substance and lfieir radiations. London, 1913, p. 631.
(’) 11"~ iliath. and Phys. Pa il, p. il.
Nous trouvons ensuite la solution de notre problème pour un corps infini, limité par le
plan 1" = 0, sur lequel tout le temps 0 = 0 :
Enfin, pour satisfaire à la dernière condition, que 0 soit égal tout le temps à 0 sur la
face r = R de la couche plane, nous nous servirons de la méthode des images, en les
obtenant successivement dans les plans r = 0 et r = R jusqu’à l’infini ; alors la solution
finale se présente sous cette forme :
En nous seryant des propriétés des fonctions elliptiques 0 ( 1) et après l’exécution de l’inté-
gration par rapport à t, cette expression de zc se transforme en la suivante
On a posé ici :
Pour le gradient thermique G, on obtient :
Après avoir établi les expressions générales pour 0 et G, je cherche une loi de distribu- tion des substances radioactives f (r) et une valeur de l’àge de la l’erre t telles que les condi- tions thermiques qui existent présentement sur la Terre soient satisfaites. Ces conditions sont :
1. Le gradient thermique à la surface doit avoir sa valeur actuelle, à savoir :
2. Les températures à l’intérieur de la Terre ne doivent pas surpasser de beaucoup les températures des laves fondues, qui varient entre ~.000° et 1 300°C.
3. La valeur actuelle de l’effet calorifique des phénomènes radioactifs doit être égale à bo.
Ce problème ne pouvant être résolu que par tâtonnements, j’essaye tout d’abord l’hypo-
thèse de la distribution uniforme des matières radioactives. On sait que, dans cette hypothèse,
il suffit d’admettre l’épaisseur de la couche superficielle active égale à 20 km seulement (2)
pour que le gradient thermique ait sa valeur actuelle, mais, dans ce cas, la température
(1) Voir, par exemple, H. Théorie de la propagation de la chaleur, p. 91.
{2} IàUTHERFORD, lot:. Cit., p. G.".1.
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maximum à l’intérieur de la Terre atteint à peine 300°, de sorte qu’il est nécessaire
de supposer l’existence en elle d’autres sources de chaleur. Cependant, ces résultats ont été trouvés en supposant que les sources radioactives soient constantes (À = 0) et que la Terre ait déjà atteint l’état d’équilibre thermique. Puisque ces deux hypothèses ne répondent pas strictement à la réalité, il est possible que, si on les abandonne, on arrive à des résultats bien différents : la profondeur de la couche active pouvait se trouver beaucoup plus grande
,
et la température maximum beaucoup plus haute.
Ne pouvant assigner à l’avance aucune valeur déterminée à la profondeur de la couche
active, j’ai entrepris le calcul des valeurs de 0 et de G en supposant tout d’abord que cette couche s’étende jusqu’à la limite de l’écorce rocheuse; mais, pour l’âge de la Terre, j’ai adopté la plus petite valeur qu’on attribue à présent à l’âge géologique, en;,Ie calculant à
partir des données de la géologie, à savoir 101 ans (1). Le calcul de cet âge par les méthodes
plus certaines, basées sur les faits de la radioactivité, donne, comme on sait, des nombres
beaucoup plus grands,
-jusqu’à 1600 millions d’années; mais je me suis arrêté tout de même au plus petit nombre géologique, ayant en vue que si, même avec cette valeur de l’~àge, le calcul nous amène à des valeurs de 0 et de G trop grandes, on pourra être certain que l’hypothèse de la couche active s’étendant jusqu’au noyau central ne répond pas à la réalité. Dans notre hypothèse de t _-__ 108 ans on peut poser ~ = 0, donc e-~ t =1 et b =
,bo; l’erreur commise par cette simplification atteint à peine 0,6 p. 100, par conséquent
elle peut être négligée. Alors, pour le calcul de 0 et de G, nous aurons des séries :
où
~et x = R - r est la profondeur de la couche considérée.
Si la quantité des substances radioactives reste constante (À .= 0), la Terre tendra vers
l’état stationnaire de température (pour t = oo). Dans ce cas, on a la solution exacte du
problème en termes finis, indépendamment de la nature du noyau central, à savoir :
Dans le tableau 1 sont réunis les résultats de mes calculs des valeurs de 0 et de 6o pour les différentes profondeurs x. Le calcul des 6 m’a valu le plus de travail, car il fallait aller
chaque fois jusqu’à ?1 = 60, quelquefois même jusqu’à n =180 (pour x ~ 3,5 km) pour
.
avoir les 8 précis à 0,5 p. 100 près. Les résultats, vérifiés deux fois, sont représentés sur le graphique ci-joint. Le calcul était prolongé au delà de l’écorce rocheuse (x = 0,25 R~ dans
le but de savoir jusqu’où pouvait se propager la chaleur pendant les 108 ans dans la partie centrale, si elle était constituée aussi de matières rocheuses.
( ~ j’ JOLY. Age of the Earth., Phil, Mag., t. 22 (t911), p. 35~.
~
,
TABLEAU 1.
L’examen de ce tableau nous révèle plusieurs faits intéressants et inattendus. Tout
d’abord, en lisant les valeurs de 60 pour l’état stationnaire, on est presque saisi de stupeur
devant leurs grandeurs énormes, malgré les quantités minimes des substances radioactives contenues dans la Terre, qui peuvent à peine être décelées par l’analyse chimique. On pense involontairement à l’apparition subite des étoiles nouvelles et l’on se demande s’il n’est pas
possible de l’expliquer, dans quelques cas au moins, par l’effet des phénomènes radioactifs;
du reste cette idée a déjà été énoncée par quelques
Puis nous voyons que, pendant les 108 ans, la température à l’intérieur de la Terre devait
déjà monter au-dessus de 3 000° et se maintenir à cette valeur sur l’étendue de plus
de 1 000 km, presque jusqu’à la limite inférieure de l’écorce; mais, au delà de cette limite elle tombe brusquement, de sorte qu’à la profonrleur x = 0,30 R elle descend presque
(1) Voir par exemple : JOLY. Radioactivity and Geology, London 1909, p. 172,.
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jusqu’à zéro. Ce résultat justifie notre supposition que l’influence du noyau central, privé
de substances actives, sur la distribution des températures à 1 intérieur de l’écorce, peut
être négligée si la couche active se termine un peu avant ce noyau et si l’âge de la Terre ne
dépasse pas beaucoup 108 ans.
Le gradient thermique G qui était calculé d’après la valeur de 0 pour x= 3,5 km, a
monté pendant ce temps jusqu’à 7,70 par 100 m tandis qu’à l’état stationnaire il atteint la valeur énorme Go = 186, par 100 m. Il faut en conclure que le développement et la pro-
pagation de la chaleur dans l’écorce terrestre se font avec une lenteur excessive; on s’en
,assure aussi en comparant entre elles les valeurs de 8 et de 6o pour la même profondeur.
Cette lenteur devient encore plus frappante si l’on fait le calcul des valeurs de 0 pour le temps
t - 1011 ans, en supposant toujours À ---_ 0. J’ai trouvé que, malgré cet énorme laps de temps, la température à la profondeur x = 35 km est encore de i0,~ p. 100 plus basse, qu’à l’état stationnaire qu’à la profondeur x == R/~, elle est encore de 37,fi p. t00 plus basse, tandis qu’au centre de la Terre elle monte à peine à 7 p. 100 de sa valeur définitive.
Nlais, en réalité, l’état stationnaire ne peut jamais arriver, car après les L0’ ans, la teneur
en uranium dans la Terre est déjà diminuée plus d’un million de fois. Ce ~fait nous prouve suffisamment que l’équilibre thermique qu’on suppose orclinairement en traitant ce pro- blème n’est jamais atteint par la Terre et que, par conséquent, les conclusions qu’on en tire
sont privées de tout fondement.
Quant à notre question principale, l’inspection du tableau 1 nous amène évidemment à la réponse négative. En effet, la valeur de G pour t û t08 ans ( ~,’~0° par 100 m), est déjà 2,5 fois plus grande que sa valeur actuelle (3,1° par 100 m); puis, les températures à l’inté-
rieur de la Terre dépassent déjà 3 000° sur l’étendue de plus d’un millier de kilomètres.
Avec ces températures, la plus grande partie de l’écorce rocheuse serait certainement à l’état de fusion et la mince pellicule solide dont elle serait couverte ne pourrait guère
résister aux marées internes.
Nous sommes donc arrivé ainsi au fait tout à fait certain que la couche radioactive uniforme ne peut pas s’étendre dans toute l’épaisseur de l’écorce rocheuse de la Terre.
-Après cela, j’ai essayé, en second lieu, l’hypothèse d’une loi exponentielle pour la distribution des substances radioactives dans l’écorce :
La constante a caractérise ici la rapidité de diminution de ces substances avec la
profondeur ; pour a == 27,57, par exemple, leur teneur à la profondeur x - est déjà
diminuée jusqu’à 0,001 de sa valeur à la surface, c’est-à-dire que, pratiquement, elle y est
nulle. Pour a == 200, cela arrive déjà à la profondeur x = 220 km. Avec de telles valeur de a, on peut supposer la présence des matières radioactives dans la partie centrale du
globe jusqu’au centre, car leur influence sur l’état thermique de l’écorce sera insignifiante.
Afin de simplifier les formules pour 6 et pour G, on peut aussi, à la loi exponentielle indi- quée, en substituer une autre, un peu différente :
En ce cas, on trouve, pour le calcul de 0 et de G, les formules suivantes (en négli- "
geant e-a
’
(1) Même pOlil" a == 2,5ï on a e-ct - 102013.
Pour l’état stationnaire (a = 0, t = on a la solution en termes finis :
.Pour r = 0 ou a = i (au centre de la sphère), on a :
Pour le gradient Go, on a :
En posant a = 27,57 et en prenant pour l’âge de la Terre de nouveau t = 101 ans, j’ai
-calculé les valeurs de 0 pour x = 35 km et x = 160 km (ici la teneur en uranium diminue à la moitié de sa valeur à la surface) et aussi la valeur du gradient G. J’ai trouvé.
On voit qu’après 101 ans le gradient G est déjà deux fois plus grand que sa valeur
exigée, 3, 1° par 100 m, et les températures à l’intérieur ont déjà monté beaucoup au-dessus
de celles des laves fondues. Il fallait donc augmenter la constante pour arriver à des résul- tats plus satisfaisants. En la posant égale à 200, j’ai trouvé pour G la valeur voulue,
notamment G= 3,20 par 100 m. Mais, avec cela, la température maximum (pour x=3~ km)
montait à peine à ~00°, tandis qu’en état stationnaire elle s’élevait jusqu’à i 522°, et le gradient était alors de 4,75° par 100 m.
On est tenté de croire que ce dernier cas pourrait répondre aux exigences du problème
si l’on augmentait suffisamment l’âge de la Terre, lequel était supposé trop petit par nous,
car les méthodes radioactives de son calcul lui assignent, comme nous avons dit, des valeurs allant jusqu’à i,6,10~ ans. Par suite, j’ai entrepris le calcul de 6 et de G en posant t - i09 ans
et en supposant de nouveau À = 0 (ce qui, rigoureusement, n’est pas permis), mais en
tenant compte de la destruction de l’uranium pendant ce laps de temps. J’ai trouvé ainsi les résultats réunis dans le tableau II.
’
TABLEAU Il.
Avec la valeur 1 ‘ 109 ans, on arrive donc à la température maximum de 1 033°, laquelle se trouve déjà entre les limites demandées 1 000° et 1 800°; mais il ne faut pas oublier qu’elle est mesurée chez nous sur l’échelle dont le zéro se confond probablement
avec le zéro absolu (température de l’espace céleste); mesurée à l’échelle ordinaire, elle
n’est que 7ô0g, c’est-à-dire encore de 250° au-dessous de la plus petite valeur demandée. En
même temps, le gradient monte jusqu’à zi,à6? par 100 m, c’est-à-dire qu’il est déjà 1,5 fois
160
plus grand que sa valeur actuelle. Il faut, par conséquent, conclure que l’augmentation de l’âge de la Terre ne peut pas non plus nous amener à des résultats tout à fait satisfaisants.
Après cela, j’ai essayé encore d’autres lois de distribution des matières radioactives,
mais sans le succès désiré. De mes calculs, il ressortait toujours que, pour les températures
maxima demandées, le gradient thermique était trop grand et, pour la valeur exigée de celui-ci, les températures se trouvaient trop basses.
Ainsi notre analyse nous amène, semble-t-il, à ce résultat que la chaleur des phéno-
mènes radioactifs seuls n’est pas suffisante pour expliquer l’état thermique actuel du globe
terrestre et qu’il faut, par conséquent, recourir aussi aux autres sources de chaleur. Comme telle pourrait figurer tout d’abord la chaleur de son état primitif d’incandescence, suivant i’hypothèse de Laplace, ou encore la chaleur de sa contraction et de sa compression, suivant l’hypothèse planétésimale de Moulton-Chamberlin. Toutefois, je pense qu’on pourrait se
passer de ces hypothèses qui ne sont pas fondées sur des faits bien certains. En effet, il faut
tenir compte que du moment de l’apparition de la couche radioactive sur la Terre, celle-ci a
cessé d’être un corps froid et inactif. Au contraire, sous l’action toujours croissante de la chaleur des transformations radioactives, son intérieur devait devenir un vaste champ
,
