Vous pouvez consulter et télécharger gratuitement la solution de ces exercices sur le site http://sila.e-monsite.com
Le groupe Al-Kashi, seul groupe spécialisé en cours de répétions à domicile et aux préparations à domicile aux concours d’entrée dans les grandes écoles scientifiques. Contact : le coordonnateur aux 75 27 74 32 97 47 64 89 Page 1 sur 2
A
EXAMEN DE : PRO BATOIREBLANC SESSION : 2009 Classe : première D Durée : 3h On tiendra compte des soins apportés aux tracés, de la clarté et du raisonnement
EXERCICE 1
Les question 1 et 2 sont indépendantes
1°Roudre l’équation tan²x+( 3 1− ) tanx − 3 = 0 dans l’intervalle [- Π ;Π ] 2°a) Démontrer que cos 5
12 π = 6 2 4 − et en déduire sin 5 12 π ( on remarquera que 5 3 2 12 =12+12) 3) Résoudre dans IR : a) 4x2+2
(
2 1−)
x− 2=0 et 4x2+2(
2 1−)
x− 2≥0b) En déduire la résolution dans l’intervalle
[
−π π
;[
de l’inéquation :(
)
2
4 cos x +2 2 1 cos− x− 2≥0puis représenter l’ensemble joint des images sur le cercle trigonométrique 1,5pt
Exercice 2.
On considère la suite un définie par 0 1 5 2 5 3 n n u u+ u = = − + .
1. Calculer les 6 premiers termes de cette suite ; que pouvez vous conjecturer sur son comportement (sens de variation, limite) ?
2. On pose vn= −un 3 ; montrer que vn est une suite géométrique, donner l’expression de vn puis celle de un en fonction de n. Prouver les résultats obtenus de manière divinatoire au a.
3. On considère sn =v0+ + +v1 ... vn et Sn =u0+ + +u1 ... un. Donner les expressions de sn et Sn en fonction de n ; déterminer leurs limites quand n tend vers l’infini
PROBLEME PARTIE A
Construire un triangle isocèle ABC tel que AB = AC = 13 et BC = 10. On note G son centre de gravité. 1. Calculer les longueurs AG, BG et GC.
2. Montrer que pour tout point M du plan on a M A2+M B2+M C2=3M G2+GA2+GB2+GC2.
3. Déterminer et construire l'ensemble des points du plan tels que 2 2 2
194 M A +M B +M C = . 4. Déterminer et construire l’ensemble des points M du plan tels que 2M A2−M B2−M C2 =0.
GA
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6. Soient les points A(1 ; 1) et B(1 ; 0). Déterminer l'ensemble des points M(x ; y) tels que 2 2
10 M A +M B = . Représenter cet ensemble.
PARTIE B
La courbe (C) ci-dessous est celle d’une fonction f définie sur I = ]1 ; +∞[ 1. a. Lire les valeurs de f(2), f(3) et f(9).
b. Par lecture graphique, donner une valeur approchée des solutions des équations f(x) = 0 et f’(x) = 0 c. Déterminer le signe de f sur I.
2. a. Que vaut f’(5) ? (Justifier).
b. Donner une équation de la droite (T). Quel nombre dérivé peut-on en déduire ? c. Dresser le tableau de variations de f sur I.
3. f est de la forme ( ) 1 c f x ax b x = + + − . a. Calculer f ’(x) en fonction de a et de c.
b. Exprimer que A et B sont des points de C et qu’en S la tangente est horizontale.
c. En déduire un système d’inconnues a, b et c puis le résoudre pour trouver l’expression de f(x). 4. On admet que ( ) 10 16 1 f x x x = − + − .
a. Montrer que la droite (D) d’équation y = x – 10 est asymptote à la courbe (C) en +∞. b. Etudier la position de (D) par rapport à (C).
c. Déterminer l’équation de la tangente à (C) au point d’abscisse 2.
d. Résoudre par le calcul l’équation f(x) = 0 et retrouver le résultat de la question 1. b.
Examinateur ExaminateurExaminateur
Examinateur : : : : Hugues Sila Hugues Sila Hugues Sila Hugues Sila -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 x y A B S (T)
