Quelques propriétés
des modèles de réalisabilité de ZF
Jean-Louis Krivine
Equipe P.P.S. Université Paris-Diderot, CNRS krivine@pps.univ-paris-diderot.fr 25 janvier 2014, mise à jour 20 avril 2018
Abstract.In [4, 5, 6], we introduce the technique ofclassical realizability, which permits to extend the Curry-Howard correspondence between proofs and programs, to Zermelo-Fraenkel set theory. The models of ZF we obtain in this way, are calledrealizability models; this technique is an extension of the method of forcing, in which the ordered sets (sets ofconditions) are replaced with more complex first order structures calledrealizability algebras.
We show here that every realizability modelN of ZF contains a transitive submodel, which has the same ordinals asN, and which is an elementary extension of the ground model. It follows that the constructible universe of a realizability model is an elementary extension of the constructible uni- verse of the ground model.
We obtain this result by showing the existence of an ultrafilter on thecharacteristic Boolean algebraג2 of the realizability model, which is defined in [5, 6].
Résumé.Dans [4, 5, 6], on a introduit la technique deréalisabilité classique, qui permet d’étendre la correspondance de Curry-Howard, entre les preuves et les programmes, à la théorie des ensembles de Zermelo-Frænkel. Les modèles de ZF ainsi obtenus sont appelésmodèles de réalisabilité; il s’agit d’une extension de la méthode du forcing, où les ensembles ordonnés (ensembles deconditions) sont remplacés par des structures du premier ordre plus complexes appeléesalgèbres de réalisabilité.
On montre ici que tout modèle de réalisabilitéN de ZF contient un sous-modèle transitif, qui a les mêmes ordinaux queN, et qui est une extension élémentaire du modèle de base. Il en résulte que les constructibles d’un modèle de réalisabilité forment une extension élémentaire des constructibles du modèle de base.
Ce résultat est obtenu en montrant l’existence d’un ultrafiltre surl’algèbre de Boole caractéristiqueג2 du modèle de réalisabilité, qui est définie dans [5, 6].
Introduction
On utilise ici les notions de base et les notations de la théorie de laréalisabilité classique, développée dans [4, 5, 6].
On considère un modèleM de ZF + V = L, qu’on appelle lemodèle de base1et, dansM, une algèbre de réalisabilitéA =(Λ,Π,Λ ? Π, QP,⊥⊥).
Λest l’ensemble destermes,Πest l’ensemble despiles,Λ ? Πest l’ensemble desprocessus, QP⊂Λest l’ensemble desquasi-preuves, et⊥⊥est un sous-ensemble distingué deΛ ? Π. Les axiomes d’algèbre de réalisabilitésont donnés dans [4] ou [6].
DansM, on utilise le langage de ZF avec les symboles de relation binaires∉,⊂et des sym- boles de fonction, qu’on définit au fur et à mesure des besoins, au moyen de formules de ZF.
On construit alors (voir [4]) lemodèle de réalisabilitéN , qui a le même ensemble de base queM, dont l’ensemble des valeurs de vérité estP(Π) munie d’une structure d’algèbre de Boole convenable.
Le langage de ce modèle est constitué des mêmes symboles de fonction (avec la même in- terprétation) que pour le modèleM, et des trois symboles de relation binaire ε/ ,∉,⊂.
Lesformulessont construites de façon usuelle, à partir des formules atomiques,à l’aide des seuls symboles logiques⊥,→,∀. On utilise les notations :
¬F pourF→ ⊥;F1, . . . ,Fn→F pour (F1→(. . .→Fn)→F;
∃x F pour¬∀x¬F;∃x{F1, . . . ,Fn} pour¬∀x(F1, . . . ,Fn→ ⊥).
Notation.On utilisera souvent la notation~xpour désigner une suite finiex1, . . . ,xn; par exemple, on écriraF[~x] pourF[x1, . . . ,xn].
Au moyen du théorème de complétude, on obtient, à partir deN , un modèle ordinaireN0, à valeurs de vérité dans {0, 1}. L’ensemble de base deN0 contient, en généralstrictement, celui deN.
Les éléments deN 0(resp.M) seront appelésindividus deN (resp.M). Les individus seront généralement notésa,b,c, . . . ,a0,a1, . . .
Dans [4] ou [5], on définit une théorie ZFε, écrite dans ce langage. On montre qu’elle est une extension conservativede ZF, et que le modèleN satisfait les axiomes de ZFε, au sens que chacun de ces axiomes estréalisé par une quasi-preuve.
Etant donnés un termeτ∈Λet une formule closeF[a1, . . . ,an] du langage de ZFε, à para- mètresa1, . . . ,andansN (ou, ce qui revient au même, dansM), on écrira :
τ||−F[a1, . . . ,an] pour exprimer que le termeτ∈ΛréaliseF[a1, . . . ,an].
La valeur de vérité de cette formule est un sous-ensemble deΠ, notékF[a1, . . . ,an]k.
On écrira ||−F[a1, . . . ,an] pour exprimer queF[a1, . . . ,an] est réalisée par une quasi-preuve.
Le modèleN 0 satisfait donc ZFε; dans N0, on peut donc définir un modèle de ZF, noté N∈0, dans lequel l’égalité est interprétée parl’équivalence extensionnellenotée x'y (pour x⊂y∧y⊂x).
Les propriétés générales des modèles de réalisabilité sont décrites dans [6], dont nous utili- serons les définitions et les notations.
Dans la suite, sauf indication contraire, chaque formule de ZFεdoit être interprétée dansN (sa valeur de vérité est alors une partie deΠ) ou, si on préfère, dansN 0(sa valeur de vérité est alors 0 ou 1). Si la formule doit être interprétée dansM, (elle ne contient alors pas le symbole6ε) on le dira explicitement.
1. Il suffit, en fait, queM satisfasse leprincipe du choix CP, qui s’écrit comme suit, dans le langage de ZF enrichi d’un symbole de relation binaire/:“/ est une relation de bon ordre surM”.
On sait que tout modèle dénombrable de ZFC peut être enrichi en un modèle de ZF + CP. Il en résulte que ZF + CP est uneextension conservativede ZFC.
Symboles de fonction
Notations.La formule ∀z(zε/y→zε/x) est notée x⊆y(inclusion forte) ; la formule x⊆y∧y⊆x est notée x∼=y(équivalence extensionnelle forte).
Rappelons que⊂et'sont les symboles d’inclusion et d’équivalence extensionnelle de ZF : x⊂y≡ ∀z(z∉y→zε/x) ; x'y≡(x⊂y∧y⊂x).
Symboles associés aux axiomes de ZF
εPour chaque formuleF[y,~z] de ZFε, (où~zest une suite finie de variablesz1, . . . ,zn) on définit, dansM, un symbole de fonction d’aritén+1, noté provisoirement ComprF(x,~z), (Compr est une abréviation deCompréhension) en posant :
ComprF(a,~c)={(b,ξ
.
π) ; (b,π)∈a, ξ||−F[b,~c]}.On a montré dans [6] que l’on akbε/ ComprF(a,~c)k = kF[b,~c]→bε/ak. On a donc : I ||− ∀x∀y∀~z(yε/ ComprF(x,~z)→(F[y,~z]→yε/x)) ;
I ||− ∀x∀y∀~z((F[y,~z]→yε/x)→yε/ ComprF(x,~z)).
Au lieu de ComprF(x,~z), nous utiliserons donc, pour ce symbole de fonction, la notation plus intuitive {yεx;F[y,~z]}, dans laquelleyest une variable liée.
De la même façon, on peut définir un symbole de fonction pour chacun des axiomes suivants de ZFε : l’axiome de la paire, de la réunion, des parties, les schémas de collection et de l’infini.
Pour l’axiome de la réunion et l’axiome des parties, on définit ci-dessous deux symboles de fonction unairesS
xetP(x), tels que :
||− ∀x∀z(zεS
x↔(∃yεx)zεy).
||− ∀x(∀yεP(x))(∀zεy)(zεx) ; ||− ∀x∀y(∃y0εP(x))∀z(zεy0↔zεx∧zεy).
Théorème 1. SoientV ,Qles symboles de fonction unaire définis dansM par : V(a)=Cl(a)×Π et Q(a)=P(Cl(a)×Π)×Π
où Cl(a)désigne la clôture transitive de a. On a alors : i) I ||− ∀x∀y∀z(zεy,zε/V (x)→yε/x).
ii) I ||− ∀x∀~z¡
{yεx;F[y,~z]}εQ(x)¢
pour toute formule F[x,~z]de ZFε. i) Soienta,b,c des individus deM, ξ,η∈Λetπ∈Πtels que :
ξ||−cεb,η||−cε/V(a) etπ∈ kbε/ak; on a donc (b,π)∈a. On doit montrerξ?η
.
π∈ ⊥⊥. On montre quekcε/bk ⊂ kcε/V(a)k: en effet, siρ∈ kcε/bk, on a (c,ρ)∈b. Mais on a (b,π)∈a et doncc∈Cl(a), d’oùkcε/V(a)k =Π.Il en résulte queη||−cε/b; par hypothèse surξ, on a doncξ?η
.
π∈ ⊥⊥.ii) Soienta,~c des individus deM; on doit montrer I ||−AεQ(a) avecA={yεa; F[y,~c]}.
On a A={(b,ξ
.
π) ; (b,π)∈a,ξ||−F[b,~c]} et donc A⊂Cl(a)×Π. Or, on a : kAε/Q(a)k ={π∈Π; (A,π)∈Q(a)}=Π et donc I ||−AεQ(a).C.Q.F.D.
On peut alors définir les symboles de fonctionS
etP en posant :
Sx={zεV(x) ; (∃yεx)zεy} ; P(x)={yεQ(x) ; y⊆x}.
De même, nous utiliserons dans la suite, des symboles de fonction associés à une forme forte duschéma de collection.
Pour les définir, il est commode de le décomposer (théorèmes 2, 3 et 4).
Théorème 2. Pour toute formule F(x,~z)de ZFε, on a :
||− ∀~z¡
∃x F(x,~z)→(∃xεφF(~z))F(x,~z)¢
; ||− ∀~z(∀xεφF(~z))F(x,~z) oùφF est un symbole de fonction défini dansM.
On montre λx(x)I||− ∀x(xεΦF(~z)→F(x,~z))→ ∀x F(x,~z) où le symbole de fonctionΦF est défini comme suit :
A l’aide du schéma de collection dansM, on définit un symbole de fonctionΨ(~z) tel que : k∀x F(x,~z)k =S
x∈Ψ(~z)kF(x,~z)k et on pose ΦF(~z)=Ψ(~z)×Π.
Soientξ||− ∀x(xεΦF(~z)→F(x,~z)) et π∈ k∀x F(x,~z)k.
Alors π∈ kF(x,~z)kpour unx∈Ψ(~z), donc I ||−xεΦF(~z) etξ?I
.
π∈ ⊥⊥. En remplaçantF par¬F, on a donc ||− ∃x F(x,~z)→(∃xεΦ¬F(~z))F(x,~z).Il suffit alors de poser φF(~z)={xεΦ¬F(~z) ;F(x,~z)}.
C.Q.F.D.
Théorème 3. Pour toute formule F(y,~z)de ZFε, on a :
||− ∀~z¡
∃x∀y(F(y,~z)→yεx)→ ∀y(F(y,~z)↔yεγF(~z))¢ oùγF est un symbole de fonction défini dansM.
En effet, d’après le théorème 2, on a :
||− ∀~z¡
∃x∀y(F(y,~z)→yεx)→(∃xεφ(~z))∀y(F(y,~z)→yεx)¢ oùφest un symbole de fonction. On a donc, par définition deSφ(~z) :
||− ∀~z³
∃x∀y(F(y,~z)→yεx)→ ∀y(F(y,~z)→yεSφ(~z))´ . Il suffit alors de poser γF(~z)={yεSφ(~z) ;F(y,~z)} (schéma de compréhension).
C.Q.F.D.
Lorsque l’hypothèse ∃x∀y(F(y,~z)→yεx) est satisfaite, on dira quela formule F(y,~z)définit un ensemble.
Pour le symbole de fonctionγF(~z), on utilisera la notation plus intuitive {y;F(y,~z)}, oùyest une variable liée.
Théorème 4.
Soit f(x,~z)un symbole de fonction (défini dansM) à n+1variables. On a alors :
||− ∀a∀y∀~z¡
yεφf(a,~z)↔(∃xεa)(y=f(x,~z))¢ oùφf est un symbole de fonction à n+1variables.
On définit, dansM, le symboleφf de la façon suivante :
Soienta0,y0,~z0des individus, fixés dansM; on pose φf(a0,~z0)={(f(x,~z0),π) ; (x,π)∈a0}.
On a alors immédiatement ky0ε/φf(a0,~z0)k = k∀x(y0=f(x,~z0),→xε/a0)k. Par suite :
||− ∀x(y0=f(x,~z0),→xε/a0)↔y0ε/φf(a0,~z0) ce qui donne le résultat voulu.
C.Q.F.D.
Remarque.Leconnecteur ,→est défini dans [5, 6].
Pour le symbole de fonctionφf(a,~z), on utilisera la notation plus intuitive {f(x,~z) ; xεa}, oùxest une variable liée. On l’appelleimage de a par la fonction f(x).
Symboles de fonctions caractéristiques
SoitR(x1, . . . ,xn) une relation n-aire définie dansM. Safonction caractéristique, à valeurs dans {0, 1}, sera notée〈R(x1, . . . ,xn)〉. On a donc : M |= ∀~x(R(~x)↔ 〈R(~x)〉 =1).
Dans le modèle de réalisabilitéN, le symbole de fonction〈R(~x)〉est donc à valeurs dansג2.
Le théorème 8 ci-dessous, montre que si une relation binairey≺xest bien fondée dansM, alors la relation〈y≺x〉 =1 est bien fondée dansN .
Symboles divers
Dans la suite, on utilisera certains symboles de fonction, dont la définition et les propriétés sont données dans [6]. On donne simplement ci-dessous leur définition.
– le symbole de fonction unaireג, défini dansM parגx=x×Π.
– les symboles de fonctions∧,∨,¬, de domaines {0, 1}×{0, 1} et {0, 1}, à valeurs dans {0, 1}, sont définis dansM au moyen des tables de vérité usuelles.
Ces fonctions définissent, dansN, une structure d’algèbre de Boole surג2.
On l’appellel’algèbre de Boole caractéristiquedu modèle de réalisabilitéN.
– un symbole de fonction binaire de domaine {0, 1}×M, noté (α,x)7→αx, en posant : 0x= ;; 1x=x.
– un symbole de fonction binaire tde domaineM×M en posantxty=x∪y.
Noter que l’extension au modèleN de cette opérationn’est pasl’union∪, ce qui ex- plique l’utilisation d’un autre symbole.
Lemme 5(Linéarité).
Soit f un symbole de fonction binaire, défini dansM. On a alors : i) I ||− ∀αג2∀x∀y(αf(x,y)=αf(αx,y)).
ii) Si, de plus, f(;,;)= ;, alors : I||− ∀αג2∀α0ג2∀x∀y∀x0∀y0¡
α∧α0=0,→f(αxtα0x0,αytα0y0)=αf(x,y)tα0f(x0,y0)¢ .
Remarque.Leconnecteur ,→et lequantificateur restreint∀xגX sont définis dans [5, 6].
Il suffit de vérifier :
pour (i) les deux casα=0, 1 ;
pour (ii) les trois cas (α,α0)=(0, 0), (0, 1), (1, 0) ; ce qui est trivial.
C.Q.F.D.
Relations bien fondées
Dans cette section on étudie les propriétés des relations bien fondées deN . Tous les résul- tats énoncés ici sont, bien entendu, triviaux dans ZF. Les difficultés proviennent du fait que la relation d’appartenance forteεne satisfait pas l’extensionnalité.
Etant donnée une relation binaire≺, un individuasera ditminimal pour≺, si on a :
∀x¬(x≺a). La relation binaire ≺est ditebien fondéesi on a :
∀X¡
∀x(∀y(y≺x→yε/X)→xε/X)→ ∀x(xε/X)¢ .
Le sens intuitif est que tout individuX non vide a unε-élément minimal pour ≺.
Théorème 6.
Si la relation x≺y est bien fondée alors, pour toute formule F[x,~z]de ZFε, on a :
∀~z¡
∀x(∀y(y≺x→F[y,~z])→F[x,~z])→ ∀x F[x,~z]¢ .
On raisonne par l’absurde en considérant, dansN, un individua et une formuleG[x] tels que l’on ait :
(1) G[a] ;∀x¡
G[x]→ ∃y{G[y],y≺x}¢ . On applique le schéma d’axiomes de l’infini de ZFε:
(2) ∃c©
aεc, (∀xεc)¡
∃y F(x,y)→(∃yεc)F(x,y)¢ª
en posantF(x,y)≡G[x]∧G[y]∧y≺x. Soitb={xεc;G(x)} ; d’après (1) et (2), on aaεb.
On obtient une contradiction avec l’hypothèse, en montrant (∀xεb)(∃yεb)(y≺x).
On suppose doncxεcetG[x] ; d’après (2), on a :
∃y{G[x],G[y],y≺x}→(∃yεc){G[x],G[y],y≺x}.
D’aprèsG[x] et (1), on a∃y{G[x],G[y],y≺x}. On a donc (∃yεc){G[y],y≺x} d’où le résultat.
C.Q.F.D.
Pour montrer∀x F[x], il suffit donc de montrer∀x¡
∀y(y≺x→F[y])→F[x]¢ .
On dira alors qu’on a montré∀x F[x]par induction sur x, suivant la relation≺bien fondée.
Théorème 7. La relation binaire x∈y est bien fondée.
On doit montrer ∀x(∀y(y∈x→yε/X)→xε/X)→ ∀x(xε/X).
Le théorème 6 appliqué à la relation bien fondéexεyet à la formuleF[x]≡x∉X, donne :
∀x(∀y(yεx→y∉X)→x∉X)→ ∀x(x∉X).
On a immédiatement ||−x∉X →xε/X. Il reste donc à montrer :
||− ∀x(∀y(y∈x→yε/X)→xε/X)→ ∀x(∀y(yεx→y∉X)→x∉X).
Maisx∉X ≡ ∀x0(x0'x→x0ε/X). Il reste donc à montrer :
||− ∀x(∀y(y∈x→yε/X)→xε/X),∀y(yεx→y∉X),x0'x→x0ε/X ; ou encore :
||− ∀y(yεx→y∉X),x0'x→ ∀y(y∈x0→yε/X).
Or, dex0'x,y∈x0on déduity∈x. Il existe doncy0'ytel quey0εx.
De∀y(yεx→y∉X), on déduit alorsy0∉X, d’oùyε/X.
C.Q.F.D.
Dans ce qui suit, on utilise le fait que, s’il existe un ordinalρtel queF[ρ], il en existe un qui estle premier,F[ρ] étant une formule quelconqueécrite dans le langage de ZFε. Cela résulte du théorème 7.
Conservation de la fondation
Théorème 8. Soit ≺une relation binaire bien fondée dans le modèle de baseM. Alors, la relation 〈y≺x〉 =1est bien fondée dansN. On a en fait :
Y||− ∀X¡
∀x(∀y(〈y≺x〉 =1,→yε/X)→xε/X)→ ∀x(xε/X)¢ où Y=(λxλf(f)(x)x f)λxλf(f)(x)x f (combinateur de point fixe de Turing).
Soitξ∈Λtel que ξ||− ∀x(∀y(〈y ≺x〉 =1,→ yε/X0)→xε/X0), X0 étant un individu quel- conque deM. SoitF[x] la formule (∀π∈ kxε/X0k)(Y?ξ
.
π∈ ⊥⊥) ; il s’agit de montrer∀x F[x].Puisque ≺est une relation bien fondée, il suffit de montrer ∀x¡
∀y(y≺x→F[y])→F[x]¢ , ou encore¬F[x0]→(∃y≺x0)¬F[y], pour un individux0quelconque.
D’après l’hypothèse¬F[x0], il existeπ0∈ kx0ε/X0ktelle queY?ξ
.
π0∉ ⊥⊥, et donc : ξ?Yξ.
π0∉ ⊥⊥. Par hypothèse surξ, on en déduit Yξ6||− ∀y(〈y≺x0〉 =1,→yε/X0).Il existe doncy0≺x0tel queYξ6||−y0ε/X0. On a donc (∃π∈ ky0ε/X0k)(Y?ξ
.
π∉ ⊥⊥), c’est-à- dire¬F[y0].C.Q.F.D.
Définition d’une fonction de rang
Définitions.Unefonction de domaine D est un individuφtel que : (∀zεφ)(∃xεD)∃y(z=(x,y)) ; (∀xεD)∃y((x,y)εφ) ;
∀x∀y∀y0((x,y)εφ, (x,y0)εφ→y=y0).
Soientφune fonction de domaineDetF[y,~z] une formule de ZFε. Alors, la formule :
∃y{(x,y)εφ,F[y,~z]} est notée F[φ(x),~z].
Remarque.Attention, la notationφ(x) peut faire croire qu’il s’agit d’un symbole de fonction, ce qui n’est pas le cas.
Au moyen du théorème 3, on définit le symbole de fonction binaire Im en posant : Im(φ,D)={y; (∃xεD) (x,y)εφ}.
Lorsqueφest une fonction de domaineD, on utilisera, pour Im(φ,D), la notation plus intui- tive {φ(x) ;xεD}, qu’on appelleimage de la fonctionφ.
SoitD0⊆D, c’est-à-dire∀x(xε/D→xε/D0) ;une restriction deφà D0est, par définition, une fonctionφ0de domaineD0telle que φ0⊆φ.
Par exemple, {zεφ; (∃xεD0)∃y(z=(x,y))} est une restriction deφàD0. Siφ00,φ01sont des restrictions deφàD0, alorsφ00∼=φ01.
Définition.
Une relation binaire ≺est diterangéesi on a∀x∃y∀z(z≺x→zεy), autrement dit : les mi- norants d’un individu forment un ensemble.
D’après le théorème 3, si la relation≺est rangée et définie par une formuleP[x,y,~u] de ZFε avec paramètres~udansN, on a :
N |= ∀x∀y(x≺y↔xεf(y,~u)),pour un symbole de fonction f , défini dansM. Dans ce qui suit, on suppose que≺est une relation binaire rangéetransitive.
Une fonctionφde domaine {x; x≺a} sera ditea-inductive pour ≺, si on a : φ(x)'{φ(y) ; y≺x} pour toutx≺a. Autrement dit :
(∀x≺a)(∀y≺x)φ(y)∈φ(x) ; (∀x≺a)(∀zεφ(x))(∃y≺x)z'φ(y).
Siφesta-inductive pour ≺, on pose O(φ,a)={φ(x) ; x≺a} (image deφ).
Lemme 9. Soientφ,φ0deux fonctions a-inductives pour≺. Alors : i) φ(x)'φ0(x)pour tout x≺a.
ii) O(φ,a)'O(φ0,a).
iii) (∀x≺a)On(φ(x)); O(φ,a)est un ordinal, appeléordinal deφ.
i) Preuve par induction surφ(x) suivant∈: siuεφ(x), alors u'φ(y) avec y ≺x. Puisque φ(y)∈φ(x), on a φ(y)'φ0(y) par hypothèse d’induction ; doncφ(y)∈φ0(x) etφ(x)⊂φ0(x).
Inversement, siuεφ0(x), alorsu'φ0(y) avecy≺x. On a doncφ(y)∈φ(x), donc φ(y)'φ0(y) par hypothèse d’induction ; doncu∈φ(x) etφ0(x)⊂φ(x).
ii) Immédiat, d’après (i).
iii) On montre On(φ(x)) par induction surφ(x), pour la relation bien fondée∈: Siuεφ(x), on au'φ(y) avecy≺x; on a donc On(u) par hypothèse d’induction.
Sivεu, alorsvεφ(y), doncv'φ(z) avecz≺y; doncv∈φ(x).
Par suite,φ(x) est un ensemble transitif d’ordinaux, donc un ordinal.
Il en résulte queO(φ,a) est aussi un ensemble transitif d’ordinaux, donc un ordinal.
C.Q.F.D.
Lemme 10. Siφest a-inductive pour ≺, et si b≺a, alors toute restrictionψdeφau domaine {x;x≺b}est une fonction b-inductive pour ≺.
On a, en effet,ψ(x)=φ(x)'{φ(y) ; y≺x}'{ψ(y) ;y≺x}.
C.Q.F.D.
Au moyen du théorème 2, on définit un symbole de fonctionΦunaire, tel que l’on ait :
∀x(∀f εΦ(x))(f est une fonctionx-inductive) ;
∀x∀f³
f est une fonctionx-inductive→ ∃f(f εΦ(x))´ .
Autrement dit,Φ(x) est un ensemble de fonctionsx-inductives, qui est non vide dès qu’il en existe une.
On définit enfin le symbole de fonction unaire Rg, à l’aide du théorème 4, en posant : Rg(x)=S
{O(f,x) ; f εΦ(x)}
(le symboleS
est défini après le théorème 1).
Rg(x) est donc la réunion des ordinaux des fonctionsx-inductives de l’ensembleΦ(x).
Comme tous ces ordinaux sont extensionnellement équivalents d’après le lemme 9(ii), leur réunion Rg(x) est aussi un ordinal équivalent.
Remarques.
S’il n’existe aucune fonctionx-inductive, alors Rg(x) est vide.
Les symboles de fonctionO,Φ, Rg ont, comme arguments supplémentaires, les paramètres~u de la formuleP[x,y,~u] définissant la relationy≺x.
On suppose maintenant que≺est une relation transitive rangée qui estbien fondée. C’est donc unerelation d’ordre strict.
Lemme 11. Toute restriction de Rg au domaine{x;x≺a}est une fonction a-inductive pour≺.
Preuve par induction surasuivant ≺; soit f une restriction de Rg au domaine {x; x≺a} et soit x≺a. On doit montrer que f(x)'{f(y) ; y≺x}, autrement dit, que l’on a :
Rg(x)'{Rg(y) ; y≺x}.
Soitψune restriction quelconque de Rg au domaine {y; y≺x}. Par hypothèse d’induction, ψest une fonctionx-inductive pour ≺.
On peut alors montrer que Rg(x)'{Rg(y) ; y≺x} :
i) SiuεRg(x) alorsuεO(φ,x) pour une fonctionφqui estx-inductive pour≺,à condition qu’il existe une telle fonction. Or, il en existe bien une, sinon Rg(x) serait vide.
Par définition deO(φ,x), on a doncu=φ(y) avecy≺x. Or, Rg(y)'φ(y), puisqueφ,ψsont deux fonctionsx-inductives pour≺, etψ(y)=Rg(y) (lemme 9(i)).
On a doncu'Rg(y), avecy≺x.
ii) Inversement, si on ay≺x, alors Rg(y)=ψ(y). SoitφεΦ(x) ; alorsφ,ψsontx-inductives
pour≺, doncφ(y)'ψ(y) (lemme 9(i)).
Or φ(y)εO(φ,x), doncφ(y)εRg(x) par définition de Rg(x).
Par suite, on a Rg(y)=ψ(y)∈Rg(x).
C.Q.F.D.
Théorème 12. On a Rg(x)'{Rg(y) ; y≺x}pour tout x.
Preuve par induction surxsuivant≺; soitψune restriction quelconque de Rg au domaine {y; y≺x}. D’après le lemme 11,ψest une fonctionx-inductive pour ≺.
On termine alors la preuve, en répétant les paragraphes (i) et (ii) de celle du lemme 11.
C.Q.F.D.
Rg est appelée lafonction de rangde la relation ≺transitive, rangée et bien fondée. Rg(x) est, pour toutx, un représentant de l’ordinal de n’importe quelle fonctionx-inductive pour ≺. Les valeurs prises par la fonction de rang Rg forment un segment initial de On, que nous appelleronsl’image de Rg. C’est donc,soit un ordinal, soit On tout entier.
Proposition 13. Soient≺0,≺1deux relations transitives bien fondées rangées, et f une fonc- tion telle que ∀x∀y(x≺0y→f(x)≺1f(y)).
Si Rg0,Rg1sont leurs fonctions de rang, alors∀x¡
Rg0(x)≤Rg1(f(x))¢
et l’image de Rg0est un segment initial de l’image de Rg1.
On montre immédiatement∀x¡
Rg0(x)≤Rg1(f(x))¢
par induction suivant≺0. D’où le résul- tat, puisque l’image d’une fonction de rang est un segment initial de On.
C.Q.F.D.
Un ultrafiltre sur ג 2
Dans toute la suite, on écrit y<x poury ∈Cl(x) dansM, où Cl(x) désigne la clôture tran- sitive dex. C’est une relation d’ordre strict bien fondée (on pourrait en utiliser d’autres, par exemple la relation rg(y)<rg(x)).
Le symbole de fonction binaire〈y<x〉est donc, dansN , à valeurs dansג2.
D’après le théorème 8, la relation binaire〈y<x〉 =1 est bien fondée dansN . Théorème 14. ||− Il existe un ultrafiltreDsurג2, qui est défini par :
D={αεג2 ; la relation〈y<x〉 ≥αest bien fondée}.
Remarque.D’après le lemme 5, la formule〈y<x〉 ≥αpeut s’écrire aussi〈αy<αx〉 =α. La formuleαεD, qu’on écrira aussiD[α], est donc :
D[α]≡ ∀X¡
∀x(∀y(〈y<x〉 ≥α,→yε/X)→xε/X)→ ∀x(xε/X)¢ Remarque.On a :
D[1]≡ ∀X¡
∀x(∀y(〈y<x〉 =1,→yε/X)→xε/X)→ ∀x(xε/X)¢ . D[0]≡ ∀X((;ε/X→ ;ε/X)→ ;ε/X).
On a immédiatement : λx xI||− ¬D[0] ;Y||−D[1] ; I ||− ∀αג2∀βג2¡
α≤β,→(D[α]→D[β])¢
(plus précisément : kD[1]k ⊂ kD[0]k).
Pour prouver le théorème 14, il suffit donc de montrer :
||− ∀αג2∀βג2¡
α∧β=0,→(D[α∨β]→D[α]∨D[β])¢
; voir le théorème 15 ;
||− ∀αג2∀βג2¡
α∧β=0,→(D[α],D[β]→ ⊥)¢
; ou même seulement :
||− ∀αג2(D[α],D[¬α]→ ⊥) ; voir le théorème 22.
Notation.Pourαεג2, on écrira x<αy pour 〈x<y〉 ≥α.
Théorème 15.
i) ||− ∀αג2∀βג2¡
α∧β=0,→(D[α∨β]→D[α]∨D[β])¢ . ii) ||− ∀αג2∀βג2¡
D[α∨β]→D[α]∨D[β]¢ .
i) Soientα,βεג2 tels queα∧β=0,¬D[α],¬D[β]. Il s’agit de montrer¬D[α∨β].
Par hypothèse surαetβ, il existe des individusa0,A(resp.b0,B) tels quea0εA(resp.b0εB) etA(resp.B) n’a pas deε-élément minimal pour<α(resp. pour<β). On pose :
c0=αa0tβb0 etC={αxtβy;xεA,yεB}.
On a doncc0εC; il suffit de montrer queC n’a pas deε-élément minimal pour<α∨β. Soit donccεC,c =αatβb, avec aεA,bεB. Par hypothèse sur A,B, il existea0εA etb0εB tels quea0<αa,b0<βb. Si on posec0=αa0tβb0, on a bienc0εC. On a aussi :
〈c0=a0〉 ≥α,〈a0<a〉 ≥α,〈c=a〉 ≥α; il en résulte que〈c0<c〉 ≥α.
On a de même〈c0<c〉 ≥βet donc, finalement,〈c0<c〉 ≥α∨β.
ii) On poseβ0=β∧(¬α) ; on aα∧β0=0 etα∨β0=α∨β. On a doncD[α∨β]→D[α]∨D[β0].
Or, on a β0≤βet doncD[β0]→D[β].
C.Q.F.D.
Lemme 16.
i) I ||− ∀x∀y(〈x<y〉 6=1→xε/y).
ii) SiM |=u∈v, alors I||−uεגv.
iii) I||− ∀x∀y∀αג2¡
〈x<y〉 ≥α,→αxεגCl({y})¢. iv) ||− ∀x∀y¡
〈x<y〉 =1↔xεגCl(y)¢. Soienta,bdeux individus.
i) Soientξ||− 〈a<b〉 6=1,π∈ kaε/bk; alors, (a,π)∈b, donc〈a<b〉 =1 etξ||− ⊥. Doncξ?π∈ ⊥⊥.
ii) En effet, on akuε/גvk ={π∈Π; (u,π)∈v×Π}=Π. iii) Soientα∈{0, 1} eta,b∈M tels que〈a<b〉 ≥α.
Siα=0, on doit montrer I ||− ;εגCl({b}) ce qui découle de (ii).
Siα=1, alors〈a<b〉 =1, c’est-à-direa∈Cl(b), donca∈Cl({b}).
D’après (ii), il en résulte que I ||−aεגCl({b}).
iv) En effet, sia,bsont deux individus deM, on a trivialement : k〈a<b〉 6=1k = kaε/גCl(b)k.
C.Q.F.D.
Lemme 17.
La relation bien fondée〈x<y〉 =1est rangée et sa fonction de rangRa pour image On.
Le lemme 16(iv) montre que la relation est rangée.
Soientρun ordinal etr un individu'ρ. On montre, par induction surρ, queR(r)≥ρ. En effet, pour toutρ0∈ρ, il exister0εrtel quer0'ρ0. On a R(r0)≥ρ0par hypothèse d’induction, et〈r0<r〉 =1 d’après le lemme 16(i). On a doncρ0∈R(r) par définition deR, et finalement R(r)≥ρ. Cela montre que l’image deRn’est pas majorée dans On, donc est On tout entier.
C.Q.F.D.
Théorème 18. Soit F(x,y)une formule de ZFε, avec paramètres. On a alors : I||− ∀x∀y¡
∀$גΠF(x,f(x,$))→F(x,y)¢
pour un symbole de fonction f convenable, défini dansM, de domaineM×Π.
CommeM satisfait V=L (ou seulementle principe du choix), on peut définir un symbole de fonction f tel que l’on ait :
∀x∀y(∀$∈Π)¡
$∈ kF(x,y)k →$∈ kF(x,f(x,$))k¢ . Soienta,bdeux individus,ξ||− ∀$גΠF(a,f(a,$)) etπ∈ kF(a,b)k. On a donc π∈ kF(a,f(a,π))k, doncξ?π∈ ⊥⊥.
C.Q.F.D.
Définitions.Soientaun individu deN etκun ordinal (qui n’est donc pas un individu deN , mais une classe d’équivalence pour').
Unefonctionouapplicationdeκdansaest, par définition, une relation binaireR(ρ,x) telle que : ∀x∀x0(∀ρ,ρ0∈κ)¡
R(ρ,x),R(ρ0,x0),ρ'ρ0→x=x0)¢
; (∀ρ∈κ)(∃xεa)R(ρ,x).
C’est uneinjectionsi on a ∀x(∀ρ,ρ0∈κ)¡
R(ρ,x),R(ρ0,x)→ρ'ρ0¢ . Unesurjectiondeasurκest une fonctionf de domaineatelle que : (∀ρ∈κ)(∃xεa)f(x)'ρ.
Théorème 19.
Pour tout individu a, il existe un ordinal κtel qu’il n’existe aucune surjection de a surκ. Soit f une surjection dea sur un ordinalρ. On définit une relation d’ordre strict≺f en po- sant x≺f y⇔xεa∧yεa∧f(x)<f(y). Il est clair que cette relation est bien fondée, que f est une fonctiona-inductive, et queO(f,a)'ρ.
On peut considérer cette relation comme une partie dea×a.
Au moyen des axiomes de la réunion, des parties et de collection donnés ci-dessus (théo- rèmes 1 à 4), on définit l’ordinalκ0qui est la réunion desO(f,a) pour toutes les fonctions f qui sonta-inductives pour une relation d’ordre strict bien fondée sura.
Pour cela, on considère l’ensemble :
B(a)={XεP(a×a) ; X est une relation d’ordre strict bien fondée sura}.
On pose alorsκ0=S
{O(f,a) ; XεB(a),f εΦ(X,a)}.
On utilise, dans cette définition, le symbole de fonctionΦ, défini après le lemme 10, qui as- socie à chaque relation d’ordre strict bien fondéeX sura, un ensemblenon videde fonctions a-inductives pour cette relation.
Il n’existe alors aucune surjection deasurκ0+1.
C.Q.F.D.
On désigne par∆le premier ordinal deN tel qu’il n’existe pas de surjection deגΠsur∆: pour toute fonctionφ, il existeδ∈∆tel que∀xגΠ(φ(x)6'δ).
Pour chaqueαεג2, on désigne parNαla classe définie par la formule x=αx.
Lemme 20. Soientα0,α1εג2,α0∧α1=0et R0(resp. R1) une relation fonctionnelle de domaine Nα0 (resp.Nα1) à valeurs dans On. Alors, ou bien R0, ou bien R1, n’est pas surjective sur∆. On raisonne par l’absurde, en supposant queR0etR1sont surjectives sur∆.
D’après le théorème 18 appliqué à la formuleF(x0,x1)≡ ¬(R0(α0x0)'R1(α1x1)), on a :
∀x0¡
∃x1(R0(α0x0)'R1(α1x1))→ ∃$גΠ(R0(α0x0)'R1(α1f(x0,$)))¢
oùf est un symbole de fonction convenable (doncdéfini dansM).
En remplaçantx0parα0x0, on obtient :
∀x0¡
∃x1(R0(α0x0)'R1(α1x1))→ ∃$גΠ(R0(α0x0)'R1(α1f(α0x0,$)))¢ . Or, d’après le lemme 5(i), on a α1f(α0x,$)=α1f(α1α0x,$)=α1f(;,$). Par suite :
∀x0
¡∃x1(R0(α0x0)'R1(α1x1))→ ∃$גΠ(R0(α0x0)'R1(α1f(;,$)))¢ . Par hypothèse, on a (∀ρ∈∆)∃x0∃x1(ρ'R0(α0x0)'R1(α1x1)). Par suite : (∀ρ∈∆)∃x0∃$גΠ¡
ρ'R0(α0x0)'R1(α1f(;,$))¢
et on a donc : (∀ρ∈∆)∃$גΠ¡
ρ'R1(α1f(;,$))¢ .
La fonction$7→R1(α1f(;,$)) est donc une surjection deגΠsur∆. Mais cela contredit la définition de∆.
Remarque.On devrait écriref(α0,α1,x0,$) au lieu def(x0,$), car le symbole de fonctionf dépend des quatre variablesα0,α1,x0,$. En fait, il dépend aussi des paramètres éventuels apparaissant dans R0,R1. Cela ne change rien à la démonstration.
C.Q.F.D.
Corollaire 21. Soientα0,α1εג2,α0∧α1=0, et≺0,≺1deux relations d’ordre strict de domaines respectifsNα0,Nα1 qui sont bien fondées et rangées. Soient Rg0, Rg1 leurs fonctions de rang.
Alors, ou bien l’image de Rg0, ou bien celle de Rg1est<∆.
Pour pouvoir définir les fonctions de rang Rg0, Rg1, on considère les relations≺00,≺01, de do- maineN tout entier, définies par x≺0i y≡(x=αix)∧(y=αiy)∧(x≺i y) pouri=0, 1.
Ces deux relations d’ordre strict sont bien fondées et rangées.
Leurs fonctions de rang Rg00, Rg01prennent la valeur 0 en dehors deNα0,Nα1respectivement : en effet, tous les individus hors deNαi sont minimaux pour≺0i.
D’après le lemme 20, l’une des deux, par exemple Rg00n’est pas surjective sur∆.
Comme l’image d’une fonction de rang est un segment initial de On, l’image de Rg0est un ordinal<∆.
C.Q.F.D.
Théorème 22.
i) ||− ∀αג02∀αג12(α0∧α1=0,→(D[α0],D[α1]→ ⊥)).
ii) ||− ∀αג02∀αג12(D[α0],D[α1]→D[α0∧α1]).
i) DansN, soientα0,α1εג2 tels queα0∧α1=0 et les deux relations〈x<y〉 ≥α0,〈x<y〉 ≥α1
soient bien fondées. On a doncα0,α16=0, 1.
Les deux relationsx≺i y≡(x=αix)∧(y=αiy)∧(〈x<y〉 =αi) pouri=0, 1, sont donc des ordres stricts bien fondés.
Il résulte du lemme 16(iii), que ces deux relations sontrangées.
Or, d’après le lemme 5, on a : ||− ∀x∀y∀αג2(〈x<y〉 =1→ 〈αx<αy〉 =α).
Mais, d’après le lemme 17, la fonction de rang de la relation bien fondée〈x<y〉 =1 a pour image On tout entier. D’après la proposition 13, il en est donc de même pour les fonctions de rang des relations d’ordre strict bien fondéesx≺0yetx≺1y.
Mais cela contredit le corollaire 21.
ii) On aα0≤(α0∧α1)∨(¬α1). D’aprèsD[α0] et le théorème 15, on a doncD[α0∧α1] ouD[¬α1].
MaisD[¬α1] est impossible, d’aprèsD[α1] et (i).
C.Q.F.D.
Corollaire 23. D[α]équivaut à chacune des propriétés suivantes :
i) Il existe une relation d’ordre strict≺de domaineNαqui est bien fondée, rangée et dont la fonction de rang a une image≥∆.
ii) Il existe une fonction de domaineNαqui est surjective sur ∆. D[α]⇒(i) :
Par définition deD[α], la relation binaire (x=αx)∧(y=αy)∧(〈x<y〉 =α) est bien fondée.
D’après le lemme 16(iii), cette relation est rangée. Dans la preuve du théorème 22, on a vu que sa fonction de rang a pour image On tout entier.
(i)⇒(ii) : évident.
(ii)⇒D[α] :
Puisque D est un ultrafiltre, il suffit de montrer ¬D[¬α]. Or, (ii) et D[¬α] contredisent le lemme 20.
C.Q.F.D.
Théorème 24.
Siג2est non trivial, il n’existe aucun ensemble totalement ordonné parε, de cardinal≥∆. Soientαεג2,α6=0, 1 etX un ensemble totalement (donc bien) ordonné par ε, qui est équi- potent à∆. On montre que l’applicationx7→αxest alors une injection deX dansNα: En effet, d’après le lemme 16(i), on axεy→ 〈x<y〉 =1 et, d’après le lemme 5, on a :
〈x< y〉 =1→ 〈αx <αy〉 =α. Donc, si x,yεX et x 6=y, on aura, par exemple, xεy, donc
〈αx<αy〉 =αet doncαx6=αypuisqueα6=0.
Il existe donc une fonction de domaineNαqui est surjective sur∆. Le même raisonnement appliqué à¬αdonne le même résultat pour¬α. Mais cela contredit le lemme 20.
C.Q.F.D.
Le modèle M
DPour chaque formuleF[x1, . . . ,xn] de ZF, on a défini, dans le modèle de baseM, un symbole de fonctionn-aire, à valeurs dans {0, 1}, noté〈F[x1, . . . ,xn]〉, en posant, quels que soient les individusa1, . . . ,andeM : 〈F[a1, . . . ,an]〉 =1 ⇔ M|=F[a1, . . . ,an].
DansN , le symbole fonctionnel〈F[x1, . . . ,xn]〉est à valeurs dans l’algèbre de Booleג2.
On définit, dansN , deux relations binaires∈Det=Den posant : (x∈D y)≡D[〈x∈y〉] ; (x=Dy)≡D[〈x=y〉].
La classeN, munie de ces deux relations sera notéeMD.
Pour chaque formuleF[~x,y] de ZF, àn+1 variables libres x1, . . . ,xn,y, on peut, à l’aide du principe du choixdansM, définir un symbolefF de fonctionn-aire, tel que :
M |= ∀~x¡
F[~x,fF(~x)]→ ∀y F[~x,y]¢
; fF est appelé lafonction de Skolemde la formuleF[~x,y].
Lemme 25.
i) I ||− ∀~x∀y¡
〈∀y F[~x,y]〉 ≤ 〈F[~x,y]〉¢ ii) I ||− ∀~x∀y¡
〈∀y F[~x,y]〉 = 〈F[~x,fF(~x)]〉¢ .
Trivial.
C.Q.F.D.
Pour chaque formuleF[~x] de ZF, on définit par récurrence une formule de ZFε, qui a les mêmes variables libres, et que l’on note MD|=F[~x].
• F est atomique :
(MD|=x1∈x2) est x1∈Dx2; (MD|=x1=x2) est x1=Dx2; (MD|= ⊥) est ⊥.
• F ≡F0→F1: alors (MD|=F) est la formule (MD|=F0)→(MD|=F1).
• F[~x]≡ ∀y G[~x,y] : alors (MD|=F[~x]) est la formule ∀y(MD|=G[~x,y]).
Lemme 26. Pour chaque formule F[~x]de ZF, on a ||− ∀~x³
(MD|=F[~x])↔D〈F[~x]〉´ . Preuve par récurrence sur la longueur deF.
SiF est atomique, on a I||− ∀~x³
(MD|=F[~x])→D〈F[~x]〉
´
et I ||− ∀~x³
D〈F[~x]〉 →(MD|=F[~x])´
puisque (MD|=F[~x]) est identique àD〈F[~x]〉. SiF ≡F0→F1, la formule (MD|=F)↔D〈F〉s’écrit :
((MD|=F0)→(MD|=F1))↔D〈F0→F1〉.
PuisqueDest un ultrafiltre, cette formule équivaut à :
((MD|=F0)→(MD|=F1))↔(D〈F0〉 →D〈F1〉), qui est conséquence logique de : (MD|=F0)↔D〈F0〉et de (MD|=F1)↔D〈F1〉.
D’où le résultat, d’après l’hypothèse de récurrence.
SiF[~x]≡ ∀y G[~x,y], soitfG(~x) la fonction de Skolem deG.
On a alors (MD|= ∀y G[~x,y])≡ ∀y(MD|=G[~x,y]) et donc : I ||−(MD|= ∀y G[~x,y])→(MD|=G[~x,fG(~x)]).
Par hypothèse de récurrence, on a donc :
||−(MD|= ∀y G[~x,y])→D〈G[~x,fG(~x)]〉.
En appliquant le lemme 25(ii), on obtient ||−(MD|= ∀y G[~x,y])→D〈∀y G[~x,y]〉.
Inversement, d’après le lemme 25(i), on a ||− ∀y¡
D〈∀y G[~x,y]〉 →D〈G[~x,y]〉¢ . En appliquant l’hypothèse de récurrence, on obtient donc :
||−D〈∀y G[~x,y]〉 → ∀y(MD|=G[~x,y]), et donc, par définition de (MD|= ∀y G[~x,y]) :
||−D〈∀y G[~x,y]〉 →(MD|= ∀y G[~x,y]).
On peut traiter le casF[~x]≡ ∀y G[~x,y] sans utiliser les fonctions de Skolem, donc sans sup- poser queM |=AC. On doit montrer ||− ∀y(MD|=G[~x,y])↔D〈∀y G[~x,y]〉.
Par hypothèse de récurrence, on a ||− ∀y(MD|=G[~x,y]↔D〈G[~x,y]〉).
Il suffit donc de montrer ||− ∀~x(∀yD〈G[~x,y]〉 ↔D〈∀y G[~x,y]〉). On montre en fait : k∀yD〈G[~a,y]〉k = kD〈∀y G[~a,y]〉kquel que soit~a∈M.
SiM |= ∀y G[~a,y], on a〈∀y G[~a,y]〉 =1 et〈G[~a,b]〉 =1 pour toutb∈M. Donck∀yD〈G[~a,y]〉k = kD〈∀y G[~a,y]〉k = kD(1)k.
SiM |= ¬∀y G[~a,y], on a〈∀y G[~a,y]〉 =0 et〈G[~a,b]〉 =0 pour au moins unb∈M. De plus
〈G[~a,c]〉 =0 ou 1 quel que soitc∈M. On a donc : i) kD〈∀y G[~a,y]〉k = kD(0)k;
ii) k∀yD〈G[~a,y]〉k =S
ckD〈G[~a,c]〉ket donckD(0)k ⊂ k∀y D〈G[~a,y]〉k ⊂ kD(0)k ∪ kD(1)k. Par suitek∀yD〈G[~a,y]〉k = kD(0)kcarkD(1)k ⊂ kD(0)k.
C.Q.F.D.
Théorème 27. MDest une extension élémentaire du modèle de baseM. SoitF[~a] une formule close de ZF, à paramètresa1, . . . ,andansM.
SiM |=F[~a], on a〈F[~a]〉 =1 (par définition), et donc évidemment ||−D〈F[~a]〉. D’après le lemme 26, on a donc ||−(MD|=F[~a]).
SiM 6|=F[~a], alorsM |= ¬F[~a] ; on a donc ||−(MD|= ¬F[~a]).
C.Q.F.D.
Remarque.Le théorème 27 est, en fait, valable pour n’importe quel ultrafiltre surג2, avec la même démonstrationlorsqueM satisfait le principe du choix.
Théorème 28. Soit @une relation binaire bien fondée, définie dans le modèle de baseM. Alors la relationD〈x@y〉est bien fondée dans le modèle de réalisabilitéN .
Remarque.Le théorème 28 est une amélioration du théorème 8.
Notations.On écrira x@Dy pour 〈x@y〉εD.
On rappelle quex<ysignifiex∈Cl(y) ; et que x<αysignifie〈x<y〉 ≥α, pourαεג2.
On définit, dans le modèleM, une relation binaire@@sur la classe {0, 1}×M, en posant, pour α,α0∈{0, 1} eta,a0quelconques dansM :
(α0,a0)@@(α,a)⇔(α0<α)∨(α=α0=1∧a0@a)∨(α=α0=0∧a0<a).
La relation@@est lasomme directe ordonnéedes deux relations @,<. On montre aisément qu’elle estbien fondée dansM.
Le symbole fonctionnel binaire associé à cette relation, de domaine {0, 1}×M à valeurs dans {0, 1}, est donné par :
〈(α0,a0)@@(α,a)〉 =(¬α0∧α)∨(α0∧α∧〈a0@a〉)∨(¬α0∧¬α∧〈a0<a〉).
Cette définition donne, dansN , un symbole fonctionnel à deux arguments dansג2×N , à valeurs dansג2.
D’après le théorème 8,la relation binaire〈(α0,a0)@@(α,a)〉 =1est bien fondée dansN. Preuve du théorème 28.
On raisonne par l’absurde, en supposant que la relation binaire @D n’est pas bien fondée.
Il existe donca0,A0tels quea0εA0etA0n’a pas deε-élément minimal pour @D. On définit, dansN , la classeX des couples (α,x), tels que :
Il existe X tel que xεX et X n’a pas deε-élément minimal pour@Dni pour<¬α. La formuleX(α,x) est donc :
αεג2∧ ∃Xn
xεX, (∀uεX){(∃vεX)(v@Du), (∃wεX)(w<¬αu)}o .
Si (α,x) est dansX, alors on a D(α) : en effet, l’ensemble X est non vide et n’a pas deε- élément minimal pour<¬α. On a donc¬D(¬α), doncD(α), puisqueDest un ultrafiltre.
On obtient la contradiction cherchée en montrant que la classeX est non vide et n’a pas d’élément minimal pour la relation binaire 〈(α0,x0)@@(α,x)〉 =1.
Le couple (1,a0) est dansX : en effet, on ax<0xpour toutx, doncA0n’a pas deε-élément minimal pour<0.
Soit maintenant (α,a) dansX ; on cherche (α0,a0) dansX tel que 〈(α0,a0)@@(α,a)〉 =1.
Par hypothèse sur (α,a), il existeAtel queaεAetAn’a pas deε-élément minimal pour @D
ni pour<¬α. Il existe donca0,a1εAtel que l’on ait D〈a0@a〉eta1<¬αa.
