TD 2 – Arithm´ etique des ordinaux

Th´eorie des ensembles TD 2 M2 LMFI - automne 2018

TD 2 – Arithm´ etique des ordinaux

1) Montrer l’´equivalence des deux d´efinitions de l’addition et de la multiplication des ordinaux donn´ees en cours.

2) Montrer les propri´et´es suivantes des op´erations arithm´etiques : (a) (α+β) +γ =α+ (β+γ) ;

(b) α6β =⇒ ∃!γ α+γ =β; (c) β < β⁰ =⇒ α+β < α+β⁰; (d) α(β+γ) =αβ+αγ;

(e) α(βγ) = (αβ)γ;

(f) α6= 0 etβ < β⁰ =⇒ αβ < αβ⁰.

3) Donner des contre-exemples pour les propri´et´es suivantes : (a) Commutativit´e de l’addtion et de la multiplication ; (b) (α+β)γ =αγ+βγ;

(c) λα= sup_ξ<λξα,λlimite.

4) (Division euclidienne) Soit α et β des ordinaux. Montrer qu’il existe une unique paire (γ, ρ) avec ρ < αtelle que β =αγ+ρ.

5) (Exponentielle) Soit (A, <) et (B, <) deux bons ordres et d´enotons par 0 le plus ´el´ement deA. On d´efinit l’exponentielle (faible) de A parB,A^(B) comme suit :

A^(B)={f:B →A: suppf est fini}, o`u suppf ={b∈B :f(b)6= 0}. On d´efinit un ordre surA^(B) par

f < g ⇐⇒ f(b0)< g(b0), o`ub0 = max{b:f(b)6=g(b)}.

Montrer que A^(B) avec cet ordre est un bon ordre. On d´efinit l’exponentielle des ordinaux par α^β est l’unique ordinal isomorphe `a l’exponentielle de (α,∈) par (β,∈). Montrer que cette d´efinition est ´equivalente `a celle donn´ee en cours.

6) (Forme normale de Cantor) Soitα >1. Montrer que : (a) α^γ >γ pour toutγ;

(b) Siβ >0, alors il existe γ tel queα^γ 6β < α^γ+1;

(c) Tout ordinalβa un d´eveloppement en baseα: il existen∈N, des ordinauxβ₁ > β₂ >· · ·> β_n et des ordinaux ki avec 0< ki < αtels que

β =α^β1k1+· · ·+α^βnkn.

Quandα =ω, cette ´ecriture s’appelle la forme normale de Cantor.

7) (Suites de Goodstein) Un entier est ´ecrit dans la notation h´er´editaire en basebs’il est d’abord

´

ecrit dans la base b, apr`es toutes les exposantes sont ´ecrites dans la base b, apr`es toutes les ex- posantes des exposantes, etc., jusqu’`a ce qu’on n’obtienne une expression qui ne contient que des chiffres 6b. Par exemple, 324 s’´ecrit dans la notation h´er´editaire en base 3 comme 3³⁺²+ 3³⁺¹.

La suite de Goodstein`a partir de m est la suitem₀, m₁, . . .d’entiers d´efinie par :

— m0 =m;

— si m_k est d´efini (et non z´ero), on ´ecrit m_k dans la notation h´er´editaire en base k+ 2 et pour obtenirm_k+1 on remplace tous lesk+ 2 par desk+ 3 et soustrait 1.

Universit´e Paris Diderot 1 UFR de math´ematiques

Th´eorie des ensembles TD 2 M2 LMFI - automne 2018 Par exemple, si m₀ = 21, on obtient :

m₀= 21 = 2²² + 2²+ 1 m₁= 3³³ + 3³ ≈7,6×10¹²

m2= 4⁴⁴ + 4⁴−1 = 4⁴⁴ + 4³·3 + 4²·3 + 3≈1,3×10¹⁵⁴ m₃= 5⁵⁵ + 5³·3 + 5²·3 + 2≈1,9×10²¹⁸⁴

...

D´emontrer le th´eor`eme de Goodstein : pour toutm, la suite de Goodstein `a partir de m termine toujours `a 0. (Indication : Remplacer les chiffres k+ 2 dans mk parω.)

Paris et Kirby ont montr´e que ce th´eor`eme n’est pas d´emontrable dans l’arithm´etique de Peano.

Universit´e Paris Diderot 2 UFR de math´ematiques