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LOGIQUE TD 4 : Arithm´etique de Presburger Exercice 4.1

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Universit´e Bordeaux 1

Master d’Informatique 1, 2013/2014

LOGIQUE

TD 4 : Arithm´etique de Presburger Exercice 4.1 Construction d’automates

1- Ecrire un automate fini reconnaissant chacun des langages suivants : ν

−1

({(x, y) ∈ N

2

| 2x = y}); ν

−1

({(x, y) ∈ N

2

| x ≤ y}) 2- Soit α ∈ N un entier fix´e. D´ecrire un automate fini reconnaissant

ν

−1

({(x, y) ∈ N

2

| αx = y}) Exercice 4.2 Equations lin´eaires

On consid`ere le syst`eme d’´equations (et in´equations) en nombres entiers : 2x + y = z, x ≤ y

1- Comment d´ecrire l’ ensemble de ses solutions au moyen d’un automate fini ?

2- Supposons que l’on veuille r´esoudre un syst`eme d’´equations et in´equations sur N en utilisant la th´eorie des automates.

2.1 en combien de temps peut-on d´ecider l’existence de solutions ? 2.2 majorer la taille minimale d’une solution, s’il en existe.

Exercice 4.3 Langage des carr´es On consid`ere le pr´edicat C(x) d´efini par :

C(n) ⇔ ∃y, x = y × y

1- Montrer que le pr´edicat x × y = z est d´efinissable dans le langage L

1

(+, =, C ).

2- En d´eduire que la th´eorie du premier ordre de h N , +, =, Ci est ind´ecidable.

3- Montrer que le langage

{u ∈ Σ

∗2

| ν(u) est un carr´e } n’est pas rationnel.

Exercice 4.4 Entiers relatifs

Montrer que la th´eorie du premier ordre de

h Z , +, 0, 1, ≤, =i est d´ecidable.

Exercice 4.5 Arithm´etique de Skolem

Montrer, en vous appuyant sur les propri´et´es de clˆ oture et de d´ecidabilit´e des automates finis de termes, que la th´eorie du premier ordre de

h N , ×, =i

est d´ecidable.

(2)

Exercice 4.6 Logique sur les mots

1- Montrer, en vous appuyant sur les propri´et´es de clˆ oture et de d´ecidabilit´e des automates finis de mots, que la th´eorie du premier ordre de

hX

∗

, ≈, , (S

x

)

x∈X

i

[o` u u ≈ v signifie |u| = |v|, d´enote l’ordre pr´efixe et u = S

x

(v) signifie u = v · x] est d´ecidable.

2- Tout langage rationnel de X

∗

est-il d´efinissable dans cette logique ? Exercice 4.7 Logique sur le monoide libre

Montrer, en vous appuyant sur l’ind´ecidabilit´e du PCP, que la th´eorie du premier ordre de h{a, b, c}

∗

, a, b, c, ·, =i

est ind´ecidable.

2

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