IntroductionIntroduction Identification Identification des Paramètres des Paramètres Influents dans l’Optimisation d’un Influents dans l’Optimisation d’un Modèle Mathématique des Plaques Modèle Mathématique des Plaques de Croissancede Croissancede Croissa

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Identification

Identification des Paramètres des Paramètres Influents dans l’Optimisation d’un Influents dans l’Optimisation d’un Modèle Mathématique des Plaques Modèle Mathématique des Plaques

de Croissance de Croissance de Croissance de Croissance

Roxanne Wosu Roxanne Wosu

MTH6301 MTH6301 15 décembre 2008 15 décembre 2008

Introduction Introduction

• Les plaques de croissance cartilagineuses sont situées aux extrémités des os longs et des vertèbres.

vertèbres.

•Elles sont responsables pour la croissance jusqu’à la maturité – où les plaques s’ossifient et la

croissance arrête.

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• La croissance est réglée, entre autres, par les charges mécaniques.

•La compression est essentielle pour la stimulation de croissance des os.

•Les compressions excessives causent des anomalies infantiles et juvéniles des anomalies infantiles et juvéniles telles que la scoliose idiopathique adolescente et le tibia vara.

•La progression rapide de ces

déformations coïncide souvent avec des périodes de croissance accélérée (ex: puberté)

Projet de Maîtrise Projet de Maîtrise

Objectif

Objectif: Déterminer comment le comportement : Déterminer comment le comportement mécanique des plaques de croissances varie avec mécanique des plaques de croissances varie avec le temps.

le temps.

n

Procédure: Procédure: L’extraction des propriétés

n

Procédure: Procédure: L’extraction des propriétés

mécaniques intrinsèques à partir d’un recalage avec modèle biphasique élastique isotrope

transverse avec des données expérimentales à

quatre stades de développement.

(3)

Plan d’expériences : Problématique Plan d’expériences : Problématique

n

n L’erreur des moindres carrés L’erreur des moindres carrés a été choisie comme critère a été choisie comme critère initial

initial pour l’optimisation du pour l’optimisation du modèle.

modèle.

n

n Même si l’erreur était Même si l’erreur était

n

n Même si l’erreur était Même si l’erreur était minimale, il n y avait pas minimale, il n y avait pas nécessairement une bonne nécessairement une bonne corrélation.

corrélation.

n

n Résolution: Additionner Résolution: Additionner

d’autres critères de contrôle à d’autres critères de contrôle à la procédure d’optimisation.

la procédure d’optimisation.

Objectif Objectif

Déterminer quelles propriétés mécaniques sont Déterminer quelles propriétés mécaniques sont significatives pour chaque critère de contrôle afin de significatives pour chaque critère de contrôle afin de

rendre l’optimisation plus efficace.

Procédure Procédure

Y1: σ Détermination de nouveaux critères de contrôle

Modèle Mathématique sur MATLAB X1: E1

X2: v31 X3: v21 X4: k

Y1: σ_maximum Y2: Pente de Montée Y3: Pente de descente Y4: Temps de

Relaxation Y5: RMS Détermination de nouveaux critères de contrôle

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σmax : Contrainte Maximum

Temps de Relaxation Pente de Descente instantée à

150, 250 et 350 ms

Pente de Montée instantée à 25, 50 et 75 ms

[ms]

n

Pour Tamisage: Un plan factoriel complet de 4 Pour Tamisage: Un plan factoriel complet de 4

²²

est est choisi avec les 5 valeurs de sortie sans randomisation.

choisi avec les 5 valeurs de sortie sans randomisation.

n

Les valeurs de sortie sont définies comme une erreur Les valeurs de sortie sont définies comme une erreur relative à une courbe théorique.

relative à une courbe théorique.

Détermination du Détermination du

Plan

(5)

• La courbe théorique utilise des valeurs déterminées à partir d’une optimisation pour une courbe de relaxation de contraintes nouveau-née.

k E1 v21 v31

Courbe Théorique 1.82E-15 8.65E+06 0.24 0.08

1.64E-15 7.79E+06 0.216 0.072 2.00E-15 7.79E+06 0.216 0.072 1.456E-15 6.92E+06 0.192 0.064

Paramètres d'Entrée

Variation de 10%

Niveaux de Variation Niveaux de Variation

•Quatre niveaux de variation ont été choisis pour voir si la tendance est la même pour chaque.

•L’écart type correspond à celui des valeurs de la courbe nouveau- née.

1.456E-15 6.92E+06 0.192 0.064 2.184E-15 6.92E+06 0.192 0.064 1.365E-15 6.4875E+06 0.18 0.06 2.275E-15 6.4875E+06 0.18 0.06 1.150E-15 6.9300E+06 0.17 0.05 2.490E-15 6.9300E+06 0.17 0.05 Variation de 20%

Variation = l'écart type Variation de 25%

Analyse des Résultats Analyse des Résultats

n

Ex: Variation de 10% et Y1 = Ex: Variation de 10% et Y1 = σσ

_max_max

-- on ne considère pas on ne considère pas les interactions.

les interactions.

Pareto Chart of Standardized Effects; Variable: Sigma M ax 2**(4-0) design; M S Residual=.0002411

DV: Sigm a M ax

-17.9969 (4)v31

n

Tous les paramètres sont significatifs. Le plus influent Tous les paramètres sont significatifs. Le plus influent est v31.

est v31.

-3.95678 -7.49684

-13.7885

p=.05

Standardized Effect Estim ate (Absolute Value) (2)E1

(3)v21 (1)k

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Analyse des Résidus Analyse des Résidus

No rm a l P ro b . P l o t; Ra w Re si d u a l s 2 **(4 -0 ) d e si g n ; M S Re si d u a l =.0 0 0 2 4 1 1

DV : S i g m a M a x

-3 .0 -2 .5 -2 .0 -1 .5 -1 .0 -0 .5 0 .0 0 .5 1 .0 1 .5 2 .0 2 .5 3 .0

Expected Normal Value

.0 1 .0 5 .1 5 .3 5 .5 5 .7 5 .9 5 .9 9

P re d i cte d vs. Re si d u a l V a l u e s 2 **(4 -0 ) d e si g n ; M S Re si d u a l =.0 0 0 2 4 1 1

-0 .3 -0 .2 -0 .1 0 .0 0 .1 0 .2

-0 .0 3 -0 .0 2 -0 .0 1 0 .0 0 0 .0 1 0 .0 2 0 .0 3

Raw Residuals

-0 .0 3 -0 .0 2 -0 .0 1 0 .0 0 0 .0 1 0 .0 2 0 .0 3

Re si d u a l -3 .0

-0 .3 -0 .2 -0 .1 0 .0 0 .1 0 .2

P re d i cte d V a l u e s

Re si d u a l s vs. De l e te d Re si d u a l s 2 **(4 -0 ) d e si g n ; M S Re si d u a l =.0 0 0 2 4 1 1

-0 .0 3 -0 .0 2 -0 .0 1 0 .00 0 .0 1 0 .0 2 0 .0 3

Ra w Re si d u a l s -2 .5

-2 .0 -1 .5 -1 .0 -0 .5 0 .0 0 .5 1 .0 1 .5 2 .0

Studentized Del. Residuals

Les données suivent une distribution normale.

Il n y a aucun tendance dans les données, ni donnée aberrante.

Sommaire des Résultats Sommaire des Résultats

Variation Paramètre σmax Pente de Montée Pente de Descente Temps de Relaxation RMS Total

E1 4 3 1 1 2

v₂₁ 3 4 4 4 4

v31 1 1 3 3 3

k₁ 2 2 2 2 1

E1 4 3 2 1 2

Valeurs de Sortie

10%

Tableau des paramètres influents pour chaque niveau de variation

E1 4 3 2 1 2

v₂₁ 3 4 4 4 4

v31 1 1 3 3 3

k₁ 2 2 1 2 1

E1 4 3 2 1 2

v₂₁ 3 4 4 4 4

v31 1 1 3 3 3

k₁ 2 2 1 2 1

E₁ 4 4 3 3 2

v₂₁ 3 3 4 4 3

v₃₁ 1 1 2 2 4

k1 2 2 1 1 1

Écart type 20%

25%

Légende: 1 = plus influent 4= moins influent

(7)

n

v31 est toujours le paramètre le plus influent pour la v31 est toujours le paramètre le plus influent pour la contrainte maximum et la pente de montée.

contrainte maximum et la pente de montée.

n

E1 est le paramètre le plus influent pour le temps de E1 est le paramètre le plus influent pour le temps de relaxation, sauf dans le dernier cas.

relaxation, sauf dans le dernier cas.

n

v21 est le moins influent pour la plupart des cas. v21 est le moins influent pour la plupart des cas.

n

k est le paramètre le plus influent pour la pente de k est le paramètre le plus influent pour la pente de descente pour tous les cas sauf 10%. Dans le dernier descente pour tous les cas sauf 10%. Dans le dernier cas, il est aussi le plus influent pour le temps de

cas, il est aussi le plus influent pour le temps de relaxation.

relaxation.

n

Il est aussi intéressant de noter qu’aucun paramètre Il est aussi intéressant de noter qu’aucun paramètre n’est influent pour le RMS (celui avec le plus de n’est influent pour le RMS (celui avec le plus de signifiance à été mis comme significatif).

signifiance à été mis comme significatif).

Conclusion Conclusion

n

n Cette étude a donné des résultats préliminaires sur les paramètres Cette étude a donné des résultats préliminaires sur les paramètres d’influence pour les nouvelles critères de contrôle.

d’influence pour les nouvelles critères de contrôle.

n

n On a trouvé que v21 est le moins influent de tous les paramètres On a trouvé que v21 est le moins influent de tous les paramètres dans la plupart des cas. Pendant l’optimisation on peut mettre dans la plupart des cas. Pendant l’optimisation on peut mettre moins de poids sur ce facteur.

moins de poids sur ce facteur.

Aucun paramètre n’influence le RMS

Aucun paramètre n’influence le RMS –– possiblement la raison possiblement la raison

n

n Aucun paramètre n’influence le RMS Aucun paramètre n’influence le RMS –– possiblement la raison possiblement la raison pour laquelle il n y avait pas une bonne corrélation entre les pour laquelle il n y avait pas une bonne corrélation entre les courbes analytiques et expérimentales.

courbes analytiques et expérimentales.

n

n Un autre plan d’expérience plus détaillé peut être fait Un autre plan d’expérience plus détaillé peut être fait –– en en

ajoutant des points au centre ou bien trois niveaux de variation.

Cela permettra d’investiguer plus vigoureusement les hypothèses Cela permettra d’investiguer plus vigoureusement les hypothèses mentionnés.

mentionnés.