avec la végétation riveraine

Interaction de l’écoulement

avec la végétation riveraine

Interaction de l’écoulement

avec la végétation riveraine

Effet et types de végétation riveraine Effet et types de végétation riveraine

¾ L’écoulement est influencé par la densité, la rigidité et le degré de submersion de la végétation riveraine

¾ La résistance exercée par la végétation riveraine dépend de la hauteur, de l’âge, de la densité de la végétation selon la saison

¾ L’écoulement contourne, traverse ou submerge la végétation

¾ La végétation flexible est pliée par l’écoulement ou même mise en oscillation

¾ La végétation rigide est un obstacle proprement dit à l’écoulement

¾ La végétation complètement pliée se comporte hydrauliquement comme

une surface rugueuse

Végétation rigide (1) Végétation rigide (1)

C_T = 1.5 et v = Q/A

avec A : section sans végétation

avec : C

_T,i

: coefficient de traînée pour arbre ou arbuste i

A

_V,i

: section s’opposant à l’écou- lement pour arbre ou arbuste i v

_i

: vitesse d’approche à l’amont

d’un un arbre ou arbuste g

A v C

g

F

_{T i T i V i} ⁱ

2

2 , ,

,

= ρ ⋅ ⋅ ⋅

Force de résistance (traînée) produite par un élément de végétation

Approche pratique : valeurs moyennes

v A FT,1

FT,2 F T,i

lv

A

Végétation rigide (2) Végétation rigide (2)

V P

R

I I

F = τ ⋅ ⋅

Force de cisaillement sur les berges ou le lit (due à la rugosité sans végétation)

J R

g ⋅

_h

⋅

⋅

= ρ τ

avec

I

_p

: périmètre mouillé R

_h

: rayon hydraulique J : pente de frottement

v A FT,1

FT,2 F T,i

lv

A

Végétation rigide (3) Végétation rigide (3)

3 / 1 2

2

h

St

R

k g v

⋅ ⋅

= ρ τ

En admettant l’écoulement uniforme et stationnaire (selon Strickler), la contrainte de cisaillement devient :

La dynamique des forces accélérant (gravité) et freinant (rugosité, végétation), l’écoulement donne :

∑

⋅

⋅ +

⋅

⋅

=

⋅

⋅

⋅

⋅ _{P V T} ⁿ _{V i}

h St

V g

A v C

g I

R I k g v J

I A g

0

2 3 ,

/ 1 2

2

ρ

2

ρ

ρ (A)

Végétation rigide (4) Végétation rigide (4)

2 / 3 1

/ 2

,

R J

k

v =

_StV

⋅

_h

⋅

2 / 1 3 / 1 ,

, 2

1 2 ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ + ⋅

=

h hy V St

St V

St

R g D

k k k

La résolution de cette formule (A) pour la vitesse moyenne selon la formule de Strickler, en définissant un coefficient de Strickler tenant compte de la végétation rigide k

_St,V

et une densité de la végétation hydrauliquement effective D

_v,hy

peut être obtenu par les équations suivantes :

V P

h i V T

hy

V I I

A C

D ⋅

⋅

=

∑

0 , ,

Densité de la végétation hydrauliquement effective (Végétation rigide)

Densité de la végétation hydrauliquement effective (Végétation rigide)

g D R

k_{St h Vhy}

rigide

2

, 3 / 1

2 ⋅ ⋅

χ =

1a : Fruitiers peu dense 1b : Fruitiers dense

2 : Saules 3 : Arbres et saules 4a : Chênes, cyprès et gommiers en été 4b : Chênes, cyprès et gommiers en hiver 5 : Millet 6 : Froment, blé

La végétation rigide peut être caractérisée par la variable

et selon la formule de Strickler

rigide sv St

V St

v v k

k =

= +

χ 1

,

1

avec k_St,V: coefficient de Strickler tenant compte de la résistance de la végétation

v_sV : vitesse de l’écoulement sans végétation

Végétation flexible Végétation flexible

La végétation flexible est déformée en fonction de la vitesse de l’écoulement

Déformation des saules en fonction de la vitesse de l’écoulement selon Oplatka (gauche : vue de côté ; droite : vue par-dessus)

Force de résistance d’un élément de végétation flexible Force de résistance d’un élément de végétation flexible

v A

C

F

_T,k

=

_T,flex

⋅

_V,flex,o,k

⋅ 8

ρ

avec C

_{T, flex}

:

coefficient de traînée pour élément de végétation flexible

A

_V,flex,o,k

:

section s’opposant à l’écoulement par l’élément de végétation flexible k avant sa déformation (en eau calme)

(selon Indlekofer basé sur Oplatka)

V A

lv

FT,1 FT,k

A

Vitesse moyenne selon la dynamique des forces Vitesse moyenne selon la dynamique des forces

v A

C I

R I k g v J

I A

g _{v flexok}

n flex T V

P h

St

V ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

⋅

⋅

⋅

∑

^{, , ,}

0 3 ,

/ 1 2

2

8

ρ ρ

ρ

V P

n

k o flex v flex

T flex

hy

v

I I

A C

D = ∑ ⋅

0

, , , ,

, ,

Avec la définition d’une densité de la végétation flexible hydrauliquement effective

on obtient l’équation quadratique pour la vitesse moyenne v :

0 0

. 8

3 / 4 , 2

, 3

/ 1 2

2 ⋅ − ⋅ ⋅ =

⋅

⋅

+ ⋅ v k R J

g D R

v k^{St h V hy flex} _{St h}

Dynamique des forces :

Caractérisation de la végétation flexible par une variable χ Caractérisation de la végétation flexible par une variable χ

2 / 3 1 / 1

, ,

16 g R J D

k

h flex hy V St flexible

⋅

⋅

= ⋅

χ

(

²

¹ ) ^{k R}

^2/3

^J

^1/2

v = χ

flexible

+ − χ

_{flexible St}

⋅

_h

⋅

La végétation flexible peut être caractérisée par la variable

La vitesse moyenne selon la formule de Strickler devient ainsi

On peut écrire également sur la base de formule de Strickler

sV flexible

flexible St

flex v St

v v k

k ^{, ,} = χ² +1− χ =

avec k

_St,V,flex

: coefficient de Strickler tenant compte de la résistance de la

végétation flexible

k

_St

: coefficient de Strickler sans végétation

v

_sV

: vitesse d’écoulement sans végétation

Végétation mixte – dynamique des forces (1) Végétation mixte – dynamique des forces (1)

V P

n n

i v rig

T k

o flex V flex

T hy

V

I I

A C

A C

D ⋅

+

= ∑ ∑

0 0

, ,

, , , ,

,

La densité de la végétation mixte hydrauliquement effective correspond à la somme de la végétation rigide et flexible :

rig hy V flex

hy

V

D

D

_{, ,}

+

_{, ,}

=

Végétation mixte – dynamique des forces (2) Végétation mixte – dynamique des forces (2)

flexible T

rigide T

R

e

F F F

F = +

_,

+

_,

J I

A g

F

_e

= ρ ⋅ ⋅ ⋅

_V

⋅

V P h

St

R

l l

R k

g v

F = ρ ⋅

₂ ² _1/3

⋅ ⋅

La dynamique des forces s’écrit :

2 ,

,

,

^{= C} ∑ 8 ^{A ⋅ v}

F

_{T rigide T rig}

ρ

_{V i}

∑ ^⋅

= C A v

F

_{T,flexible T,flex V,flex,o,k}

8

ρ

avec (force de l’écoulement)

(résistance due à la rugosité de surface)

Végétation mixte – vitesse moyenne Végétation mixte – vitesse moyenne

1 0 2 1

2

2 =

− + + ⋅

+

rigide sV rigide

flexible

sV v

v v

v χ χ

χ

sV rigide

flexible rigide

rigide flexible

v

v ⋅

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

− + + +

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

= +

χ χ χ

χ χ

1 1

1 1

2

2 / 3 1 /

2 J

R k

v_sV = _St ⋅ _h ⋅

En utilisant les variables χ

_rigide

et χ

_flexible

on obtient

avec la solution pour la vitesse moyenne selon Strickler

Il suit également :

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

− + + +

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

= +

=

rigide flexible rigide

rigide flexible sV

St mix V St

v v k

k

χ χ χ

χ χ

1 1

1 1

2 ,

,

avec

Découpage des sections pour considérer l’hétéorogénité de l’écoulement Découpage des sections pour considérer l’hétéorogénité de l’écoulement But : Obtenir des sous-sections dans lesquelles les vitesses peuvent être considérées

comme plus ou moins homogènes

Exemples des profils combinés des cours d’eau

a) Séparation fictive entre lit mineur et lit majeur (seulement à gauche) b) Séparation fictive entre lit mineur

et zone de végétation

(La contrainte de cisaillement fictive τ_T agissant sur la sous-section sur le lit mineur est considérée dans le calcul hydraulique comme coefficient de

résistance χ_T ou coefficient de frottement équivalent selon Strickler k_{St, T})

Lit mineur

Lit majeur Sˇ paration

fictive A_Maj

AMin

Lit mineur

Sˇ paration fictive

AV

Zone de vˇ gˇ tation AMin

Considération de la surface de séparation fictive pour le lit mineur selon la formule de Strickler (1)

Considération de la surface de séparation fictive pour le lit mineur selon la formule de Strickler (1)

∑

=

=

ⁿ

i

i Min

Min

A

A

1

,

2 / 3

2 / 1 ,

, , ,

,

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

= ⋅

J k

I v A

Min i St

Min i i

P i

Min

∑

=

=

ⁿ

i St Mini

i Min P Min

St Min P

k I k

I

1 3/2 , ,

, , ,

2 / 3

,

La surface de séparation fictive divise le profil entre le lit mineur et les lits majeurs avec des vitesses d’écoulement beaucoup plus faibles, comme c’est le cas d’une végétation riveraine.

Pour le lit mineur, la continuité des surfaces donne

A_min,I : sous-section du lit mineur

I_P,Min,i : périmètre dans la sous-section i du lit mineur

v_Min,i : vitesse dans la sous-section

K_St,i : rugosité selon Strickler dans la sous-section i Pour la formule de Strickler resp. Darcy-Weisbach, on obtient ainsi

∑

=

⋅

=

⋅

ⁿ

i

i Min P i Min Min

P

Min

I I

1

, , ,

,

λ

λ

avec

resp.

(B) (C)

Considération de la surface de séparation fictive pour le lit mineur selon la formule de Strickler (2)

Considération de la surface de séparation fictive pour le lit mineur selon la formule de Strickler (2)

2 / 3 1 / 2 , , ,

,

, k R J

v

v_Min = _Mini = _StMini ⋅ _hMini ⋅

2 / 2 1 / 1 , , 2 / 1

, ,

8 g R J

v

v _hMini

i Min i

Min

Min ⎟⎟ ⋅

⎠

⎞

⎜⎜⎝

=⎛ ⋅

=

λ

(

StMini StMin

)

^{MinMini PPMinMini}

Min P i Min P

I I k

k

l I

, , , ,

2 / 3 , ,

,

, , ,

/

/ = ⋅

λ λ

Pour la totalité du lit mineur et pour chaque sous-section du lit mineur, la vitesse correspondante peut être calculée qui doit être identique

En divisant les équations (B) et (C) par le quotient droite on obtient les relations valables pour chaque sous-section :

3 / 2

, ,

,

, ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎝

=⎛

i Min

Min Min

St i Min St

k k

λ

et

λ

(Strickler)

(Darcy-Weisbach)

(D)

(E)

Considération de la surface de séparation fictive pour le lit mineur selon la formule de Strickler (3)

Considération de la surface de séparation fictive pour le lit mineur selon la formule de Strickler (3)

( ^k

_St,Min,i

^{= k}

_St,T

^{resp . λ}

_Min,i

^{= λ}

_T

)

3 / 2 ,

,

⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

T Min Min

St T

St

k

k λ

λ

2 / 2 1

/ 1 , 2 / 1 2

/ 3 1

/ 2 , ,

8 g R J

J R

k

v

_hMin

Min Min

h Min St

Min

⎟⎟ ⋅

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛ ⋅

⋅

⋅

= λ

En utilisant l’indice T pour la séparation fictive du lit mineur

on obtient la rugosité équivalente de la séparation fictive :

Selon les équations (D) et (E), on obtient pour la moyenne pondérée du coefficient de résistance λ_Min du lit mineur

3 / 1 , 2

,

8

Min h Min

St

Min

k R

g

⋅

= ⋅ λ

donc

Considération de la surface de séparation fictive pour le lit mineur selon la formule de Strickler (4)

Considération de la surface de séparation fictive pour le lit mineur selon la formule de Strickler (4)

Par conséquence le coefficient de frottement correspondant selon Strickler pour la surface de séparation contre le lit mineur :

3 / 2 3 / 1 , 2

/ 1 , ,

8 1

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

⋅

⋅ ⋅

=

Min h Min

T St T

St

k R

k g

λ

Le coefficient de résistance λ_T de la surface de séparation peut donc être facilement transformée dans un coefficient de frottement (selon Strickler) correspondant k_St,T.

(F)

Considération de la surface de séparation fictive pour le lit mineur selon la formule de Strickler (5)

Considération de la surface de séparation fictive pour le lit mineur selon la formule de Strickler (5)

3 / 2

1

2 / 3 ,

, , , ,

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

= ∑

= n

i StT i Min P

Min P Min

St

k I k I

Min p

Min Min

h

I

R A

,

,

=

Pour le calcul de k_St,T, le coefficient de frottement moyen pondéré sur le périmètre k_St,Min et le rayon hydraulique correspondant R_h,Min doivent être déterminés par :

∑

=

=

ⁿ

i

i Min P Min

P

I

I

1

, , ,

L’équation (F) peut être résolue que interactivement car k_St,T est également inclus dans le coefficient de frottement du lit mineur k_St,Min selon l’équation (G).

avec

(G)

Méthode de Schröder en utilisant l’approche de Strickler (1) Méthode de Schröder en utilisant l’approche de Strickler (1)

Min T

eff Maj Maj

h Maj

o Min o

T h b

b R

v v

⋅

⋅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

= ⎛ ^{, ,}

,

log ,

λ

2

Sur la base de nombreux essais en laboratoire avec diverses configurations de section et végétation, Schröder propose pour le coefficient de résistance λ_T de la surface de séparation

avec

v_o,Min : vitesse sur le lit mineur sans interaction avec le lit majeur, resp. végétation riveraine (λ_T=0)

v_o,Maj : vitesse sur le lit majeur sans interaction avec le lit mineur (λ_T=0) h_T : profondeur d’eau à la séparation fictive

b_Min : largeur du lit mineur défini par

largeur de la surface de l’eau sur lit mineur

b_Maj,eff : largeur effective du lit majeur ou largeur effective de la zone de végétation

≤

= _{Min T}

Min A h

b /

Méthode de Schröder en utilisant l’approche de Strickler (2) Méthode de Schröder en utilisant l’approche de Strickler (2)

(

_,

)

^1/2

2 .

3

_{x P m}

N

a d

b = ⋅

La largeur effective du lit majeur b_Maj,effoù la zone de végétation effective dépend de la largeur de la zone des tourbillons b_N à l’aval des éléments de végétation

avec

b_N : zone de tourbillons à l’aval des éléments de végétation

a_x,a_y :espacement des éléments de végétation sur la rive resp. lits majeurs (x : parallèle à la direction de l’écoulement ; y : perpendiculaire à l’écoulement)

d_P,m : diamètre moyen de l’élément de végétation

Méthode de Schröder en utilisant l’approche de Strickler (3) Méthode de Schröder en utilisant l’approche de Strickler (3)

T Maj Maj

eff

Maj

b A h

b

_,

≤ = /

y

N

a

b ≥

La largeur effective du lit majeur bMaj,eff est ainsi définie par les critères suivants :

b

_Maj,eff

= b

_N

pour b

_N

< a

_y

b

_Maj,eff

= a

_y

pour

avec des limites supérieures et inférieures

T eff

Maj

h

b

_,

> 0 . 15

Méthode de Schröder en utilisant l’approche de Strickler (4) Méthode de Schröder en utilisant l’approche de Strickler (4)

Maj P Maj Maj

h

A I

R

_,

= /

_,

V P V V

h

A I

R

_,

= /

_,

3 / 2

3 / 1 , 2 / 1 , 2

, , ,

8 log

2

1

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎝

⎛

⋅

⎟ ⋅

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

= ⎛

Min h Min

St Maj

o Min o T

St

k R

g

v v k

γ

Le rayon hydraulique du lit majeur ou de la zone de végétation riveraine est défini par ou

En utilisant la formule de Strickler, le coefficient de frottement correspondant est obtenu pour la surface de séparation fictive :

Min St T

St

k

k

_,

<

_,

Min T

eff Maj Maj

h

b h

b R

⋅

=

^,

⋅

^,

γ

avec et

(I_p,Maj : périmètre mouillé du lit majeur) (I_p,v : périmètre mouillé de zone de végétation)