Première S2 Exercices sur le chapitre 23 : E5. page n ° 1 2007 2008
E5 Images de figures simples.
P 279 n ° 32.
Voir feuille à petits carreaux. C ' est le cercle de centre O ' et de rayon 6.
p 280 n ° 43.
ABCD est un rectangle.
P est un point du plan non situé sur le droite ( AB ).
C ' est le projeté orthogonal de C sur la droite ( AP ) D ' est le projeté orthogonal de D sur la droite ( BP ) P ' est le projeté orthogonal de P sur la droite ( AB ).
1. L'image de la droite ( CC ' ) par la translation de vecteur ÄCB est la droite parallèle à ( CC' ) et passant par B.
L'image de la droite ( DD ' ) par la translation de vecteur ÄCB est la droite parallèle à ( DD' ) et passant par A.
L'image de la droite ( PP ' ) par la translation de vecteur ÄCB est la droite ( PP ' ).
2. Considérons le triangle ABP.
Alors la droite ( PP ' ) est une hauteur de ce triangle.
C ' est le projeté orthogonal de C sur la droite ( AP ) donc ( CC ' ) est perpendiculaire à ( AP ).
Or ( CC ' ) est parallèle à son image par t.
Or si deux droites sont parallèles toute perpendiculaire qui coupe l'une coupe l'autre.
Donc l'image de ( CC' ) est la droite passant par B et perpendiculaire à la droite ( AP ).
Autrement dit l'image de ( CC' ) est la hauteur issue de B dans le triangle ( ABP ).
D ' est le projeté orthogonal de D sur la droite ( BP )
L'image de la droite ( DD ' ) par la translation de vecteur ÄCB est la droite parallèle à ( DD' ) et passant par A.
Donc l'image de la droite ( DD' ) est la hauteur issue de A dans le triangle ABP.
Or les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes.
Donc les trois droites t ( CC' ) , t ( DD' ) et t ( PP ' ) sont concourantes en l'orthocentre H ' du triangle ABP.
Donc leurs images par la translation de vecteur ÄBC sont aussi concourantes.
p 282 n ° 56.
A, B, C, et D sont quatre points d'une droite ∆.
B est le milieu de [ AD ] C est le milieu de [ BD ].
M est un point non situé sur la droite ∆.
La parallèle à ( AM ) passant par B et celle à ( BM ) passant par C se coupent en N.
h est l'homothétie de centre D et de rapport 0,5.
1. B est le milieu de [ AD ] ce qui signifie que h ( A ) = B.
C est le milieu de [ BD ] ce qui signifie que h ( B ) = C.
2. h ( A ) = B. donc l'image de la droite ( AM ) par h est la droite parallèle à ( AM ) et passant par B.
donc l'image de la droite ( AM ) par h est la droite ( BN ).
h ( B ) = C. donc l'image de la droite ( BM ) par h est la droite parallèle à ( BM ) et passant par C.
donc l'image de la droite ( BM ) par h est la droite ( CN ).
Or M est le point d'intersection des droites ( AM ) et ( BM ).
Donc h ( M ) est le point d'intersection des droites ( BN ) et ( CN ).
Donc h ( M ) = N.
Donc les points M, N et D sont alignés. Et ÄDN = 0,5 ÄDM donc N est le milieu de [ MD ].
Première S2 Exercices sur le chapitre 23 : E5. page n ° 2 2007 2008
P 282 n ° 57.
ABC est un triangle.
A' , B ' et C ' sont les milieux respectifs de [ BC ] , [ AC ] et [ AB ].
I est le projeté orthogonal de A sur ( BC ).
H est l'orthocentre du triangle ABC.
O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
G est le centre de gravité du triangle ABC.
h est l'homothétie de centre G et de rapport -0,5.
a. G est le centre de gravité du triangle ABC donc G est le point de la droite ( AA ' ) tel que ÄGA ' = - 0,5 ÄGA . Donc h ( A ) = A '.
Donc l'image de la droite ( AI ) par h est la parallèle à la droite ( AI ) passant par A '.
Or I est le projeté orthogonale de A sur ( BC ). Donc ( AI ) est perpendiculaire à ( BC ).
Donc l'image de la droite ( AI ) par h est la perpendiculaire à ( BC ) passant par A '.
Donc c'est la médiatrice du segment [ BC ].
b. L'image de la hauteur issue de B dans le triangle ABC par h est la médiatrice de [ AC ].
L'image de la hauteur issue de C dans le triangle ABC par h est la médiatrice de [ AB ].
c. Les trois hauteurs du triangle ABC sont concourantes en H.
Or les trois médiatrices sont concourantes en O.
Donc h ( H ) = 0. Or G est le centre de l'homothétie. donc les points O, G et H sont alignés.
p 283 n ° 63.
Soit t la translation de vecteur Åu ( 4 ; - 3 ).
a. Déterminons une équation de la droite image par t de la droite d'équation y = 2x + 4.
Soit M de coordonnées ( x ; y ) Soit M ' = t ( M )
Alors ÄMM ' = Åu ⇔ x ' − x = 4 et y' − y = - 3 ⇔ x = x' − 4 et y = y' + 3
M ∈ D ⇔ y = 2x + 4 ⇔ y ' + 3 = 2 ( x' − 4 ) + 4 = 2x ' − 8 + 4 = 2 x' − 4 ⇔ y ' = 2 x ' − 7.
b. Déterminons une équation du cercle image par t du cercle de centre A ( 1 ; 8 ) et de rayon 5.
M ∈ C ⇔ AM² = R ² ⇔ ( x − 1 ) ² + ( y − 8 )² = 25 ⇔ ( x ' − 4 − 1 )² + ( y ' + 3 − 8 )² = 25
⇔ ( x ' − 5 )² + ( y ' − 5 )² = 25 ⇔ x' ² + y ' ² − 10x' − 10 y' + 25 = 0 p 285 n ° 80.
Soit g l'homothétie de centre I ( 0 ; 0 ; 5 ) et de rapport -3.
a. Soit M un point de l'espace de coordonnées ( x ; y ).
Soit M ' = h ( M ).
Alors ÄIM ' = -3 ÄIM ⇔ x ' = -3 x et y ' = -3 y et z ' − 5 = - 3 ( z − 5 ) cad z' = - 3z + 20..
b. Déterminons une équation du cylindre de révolution G d'axe ( O z ) et de rayon 3.
M ∈ G ⇔ x² + y² = 9 .
c. M ' appartient à l'image de G si et seulement si x ²' / 9 + y ²' / 9 = 9 ⇔ x² + y² = 81.
Donc G ' est le cylindre de révolution d'axe ( Oz ) et de rayon 81.
Première S2 Exercices sur le chapitre 23 : E5. page n ° 3 2007 2008
p 287 n ° 94.
Soient A et B deux points.
Le point C décrit le cercle C de diamètre [ AB ].
Soit D le symétrique de B par rapport à C.
Alors on a ÄBD = 2 ÄBC .
Considérons h l'homothétie de centre B et de rapport 2.
Alors l'image d'un cercle par une homothétie est un cercle.
Donc lorsque C décrit le cercle C alors l'ensemble des points D est le cercle de diamètre [ A' B ] où A ' = h ( A ).
P 287 n ° 95.
Soient trois points A, B et C non alignés.
Un point M variable décrit le segment [ AC ].
On note I le milieu du segment [ BM ].
Alors ÄBI = 1 2ÄBM.
Soit h l'homothétie de centre B et de rapport 1 2
Alors l'image d'un segment par une homothétie est un segment.
Soit A ' et B ' les milieux respectifs de [ AB ] et de [ AC ].
L'ensemble des points I quand M décrit [ AC ] est donc le segment [ A ' B ' ].
p 288 n ° 103.
Soit f une application du plan dans lui - même telle que M'N' = k ÄMN . 1. On suppose k = 1.
Alors M'N' = k ÄMN ⇔ M'N' = ÄMN ⇔ MNN' M' est un parallélogramme ⇔ ÄMM ' = ÄNN ' f est donc une translation.
2. Soit A un point fixé du plan et A ' son image par f.
a. I est un point invariant par f ⇔ I ' est confondu avec I ⇔ I'A' = k ÄIA ⇔ ÄIA ' = k ÄIA ⇔ ÄIA ' − k ÄIA = Å0
⇔ k ÄIA − ÄIA ' = Å0⇔ or k − 1 ≠ 0 donc il existe un et un seul point I vérifiant cette égalité : I barycentre de ( A ' ; - 1 ) ; ( A ; k ) .
b. On a : ÄIM ' = k ÄIM donc f est l'homothétie de centre I et de rapport k.
3. a. Soit t une translation et soit h une homothétie de rapport k.
Soit f = h o t notons M ' = t ( M ) et M" = f ( M ) et N ' = t ( N ) et N" = f (N ).
Alors on a : M'N'= ÄMN car t est une translation et M"N" = k M'N' car h est une homothétie de rapport k.
Donc M"N"= k ÄMN avec k ≠ 1 donc f est une homothétie de rapport k.
( même raisonnement avec g = t o h ) g est une homothétie de rapport k.
3. b. Soit f une homothétie de rapport k et soit g une homothétie de rapport k '. soit h = g o f . Soit M ' = f ( M ) et M " = h ( M ) et N ' = f ( N ) et N " = h ( N ).
Alors M'N' = k ÄMN et M"N" = k ' M'N' donc M"N"= k ' × k ÄMN.
Si k k ' ≠ 1 alors h est une homothétie de rapport k k' Si k k' = 1 alors h est une translation.
Première S2 Exercices sur le chapitre 23 : E5. page n ° 4 2007 2008
p 284 n ° 79.
Soit f l'homothétie de centre O et de rapport 5.
a. Soit M un point de l'espace de coordonnées ( x ; y ).
Soit M ' = h ( M ).
Alors ÄOM ' = 5 ÄOM ⇔ x ' = 5 x et y ' = 5y et z ' = 5z.
b. Déterminons une équation du cône de révolution F d'axe ( Ox ) et de demi angle au sommet π 3 . x² tan² P = z² + y²
