Première STG Exercices sur le chapitre 11 : E6. page n ° 1 2007 2008
E6 Savoir déterminer un encadrement de la solution d'une équation du type f ( x ) = k.
Exemple résolu :
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = x3 − 12x + 5.
Le tableau de variation est donné dans l'exemple du cours.
Soit α la solution de l'équation f ( x ) = 10 dans l'intervalle [ - 2 ; 2 ].
1. Donnons un encadrement de α par deux entiers consécutifs.
Je programme la fonction dans la calculatrice et, à l'aide d'un tableau de valeurs, je détermine l'encadrement cherché :
x - 2 - 1 0 1 2
f ( x ) 21 16 5 -6 -11
f ( - 1 ) = 16 et f ( 0 ) = 5. 10 ∈ [ 5 ; 16 ]. Donc - 1 < α < 0.
2. Etablissons un tableau de valeurs de f ( x ) avec un pas d'amplitude 0,1 pour x ∈ [ - 1 ; 0 ].
x -1 -0,9 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0
f ( x ) 16 15.071 14.088 13.057 11.984 10.875 9.736 8.573 7.392 6.199 5 Déduisons en un encadrement de α d'amplitude 0,1.
D'après le tableau, f ( -0,4 ) < 10 < f ( -0,5 ). Donc -0,5 < α < -0,4.
N ° 13 Soit la fonction f définie sur par f ( x ) = x4 + 4x + 4. Le tableau de variation de f est donné :
x −2 - 1 1
12 9
f
1
On note α la solution de l'équation f ( x ) = 6 dans l'intervalle [ - 1 ; 1 ].
1. Donnons un encadrement de la solution par deux entiers consécutifs.
x -1 0 1
f ( x ) 1 4 9
f ( 0 ) = 4 et f ( 1 ) = 9 6 ∈ [ 4 ; 9 ]. Donc on a 0 < α < 1.
2. Etablissons à la calculatrice un tableau de valeurs de f ( x ) avec un pas d'amplitude 0,1 pour x ∈ [ 0 ; 1 ].
x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
f(x) 4 4.4001 4.8016 5.2081 5.6256 6.0625 6.5296 7.0401 7.6096 8.2561 9 Déduisons en un encadrement de α d'amplitude 0,1.
D'après le tableau, f ( 0,4 ) < 6 < f ( 0,5 ). Donc 0,4 < α < 0,5.
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N ° 14 Soit f la fonction définie sur ] - 2 ; + ∞ [ par f ( x ) = 2 xx²
+ . 1. Complétons le tableau de valeurs suivant :
x -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
f ( x ) 4.50 1.00 0.17 0.00 0.10 0.33 0.64 1.00 1.39 1.80 2.23 2.67
2. Traçons la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormé d'unités graphiques 1 cm.
3. Déterminons à l'aide du graphique les abscisses des points de la courbe d'ordonnée 1.
Je trace la droite d'équation y = 1. Cette droite coupe la courbe de f en deux points d'abscisses respectives -1 et 2.
Ce qui correspond au tableau des valeurs.
Donc les abscisses recherchées sont - 1 et 2.
( x + 1 ) ( x − 2 ) = x² − 2x + x − 2 = x² − x − 2.
Or rechercher les abscisses des points de la courbe d'ordonnée 1 cela signifie résoudre par le calcul f ( x ) = 1.
f ( x ) = 1 ⇔ 2 x
²
x+ = 1 ⇔ x² = x + 2 ⇔ x² − x − 2 = 0 ⇔ ( x + 1 ) ( x − 2 ) = 0 ⇔ x + 1 = 0 ou x − 2 = 0.
L'ensemble des solutions est { - 1 ; 2 }.
4. On note α et β les solutions de l'équation f ( x ) = 2.
D'après le graphique α ∈ [ -1,5 ; -1, 1 ] et β ∈ [ 3,1 ; 3,5 ]
x -1.5 -1.4 -1.3 -1.2 -1.1 f ( x ) 4.50 3.27 2.41 1.80 1.34 D'après le tableau, f ( -1,2 ) < 2 < f ( -1,3 ). Donc -1,3 < α < -1,2.
x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
f ( x ) 1.88 1.97 2.05 2.14 2.23 D'après le tableau, f ( 3,2) < 2 < f ( 3,3). Donc 3,2 < β < 3,3.
