FM 02 : Comparaison de nombres
1/2 Seconde – Lycée Desfontaines – Melle
Fiche méthode 02 – Comparaison de nombres
I. Règles élémentaires (a, b et c désignent des réels)
• Ajouter ou soustraire un même réel à chaque membre d’une inégalité ne change pas le sens de l’inégalité.
• Multiplier ou diviser chaque membre d’une inégalité par un même réel strictement positif ne change pas le sens de l’inégalité.
• Multiplier ou diviser chaque membre d’une inégalité par un réel strictement négatif change le sens de l’inégalité.
Traduction mathématique :
• Si a<b alors a+c<b+c et a−c<b−c
• Si a<b alors a×c<b×c si c>0 a×c>b×c si c<0 et
ac<bc si c>0a c>b
c si c<0
II. Critères de comparaison de deux nombres
Comparer deux nombres revient à déterminer le plus grand du plus petit, ou dire s’ils sont égaux.
1- Comparer deux décimaux
• Lorsque les deux nombres décimaux sont positifs, on compare leurs parties entières. Si elles sont égales, on compare leurs parties décimales.
• Lorsque les deux nombres décimaux sont négatifs, on compare leurs opposés et on multiplie l’inégalité par -1.
• Lorsque les deux nombres sont de signes contraires, le négatif est le plus petit.
Exemples :
• 3,45<5,27 car 3<5.
• 7,207<7,21 car 0,207<0,210
• -3,45>-5,27 car 3,45<5,27.
2- Comparer deux fractions de même numérateur ou de même dénominateur
• Lorsque deux fractions ont le même dénominateur positif, ils sont rangés dans le même ordre que leurs numérateurs.
• Lorsque deux fractions ont le même numérateur positif, ils sont rangés dans l’ordre contraire que leurs dénominateurs.
Exemples :
• -7 2<-5
2 car ces deux fractions ont le même dénominateur positif et -7<-5
• -7 3<-7
4. En effet, -7 3= 7
-3 et -7 4= 7
-4. -4<-3 donc 1 -4
> 1 -3
3- Comparer deux nombres à 1 (resp à 0)
• On peut facilement comparer deux réels lorsque un des deux est supérieur à 1 (resp 0) et l’autre est inférieur à 1 (resp 0) Exemples :
• 3 8<5
4. En effet, 3<8 donc 3
8<1 et 5>4 donc 5 4>1
• 1−π< 2+1 car 1−π<1 et 2+1>1
4- Signe de la différence de deux nombres (ce critère est valable dans tous les cas)
• Lorsque a−b<0 alors a<b et lorsque a−b>0 alors a>b. Exemple :
• 5 6>4
5. En effet, 5 6−4
5=5×5 6×5−4×6
6×5=25 30−24
30= 1 30>0
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5- Comparer les puissances d’un même réel
•
si a>1 alors a<a2<a3 si 0<a<1 alors a>a2>a3 si a=1 alors a=a2=a3=1III. Exercices
Exercice 1
En choisissant un critère de comparaison adapté, comparer les deux nombres donnés : 1. a=13,5 et b=13,51
2. a=31
18 et b=53 18 3. a= n−2
n+3 et b=n−1
n+3 avec n☻É 4 . a=(x−5)2 et b=25−10x
5 . a=1 21
1 20 et b=139 140 6 . a= n
n+2 et b= n
n+4 avec n☻É 7 . a=1 7
2 1 et b=-19 20
Exercice 2
Durant trois ans, la population d’une colonie d’insectes est multipliée chaque année par a=1,25. Par quels nombres faut-il multiplier cette population d’insectes pour obtenir le nombre d’insectes durant chacune des trois années. Comparer ces trois nombres.
Exercice 3
1. Soit y un réel tel que 0<y<1. Comparer 1+y ; (1+y)2 et (1+y)3 2. Soit z un réel tel que 0,6ÂzÂ0,7. Comparer (3−4z), (3−4z)2 et (3−4z)3 3. Soit x un réel tel que 0ÂxÂ1
2. Comparer
x+1 2 ;
x+1 2
2
et
x+1 2
3
4. Soit t un réel tel que -4
7<t<-3
7. Comparer 2+7t ; (2+7t)2 et (2+7t)3
