31 Conversion électro-magnétique
31.1 Avant-propos
On a vu dans le chapitre précédent que deux circuits pouvaient échanger de l’énergie entre eux grâce aux champs magnétiques générés par les bobines. On peut donc théoriquement concevoir un chargeur sans fil ou un pass Navigo®...
Mais peut-on utiliser les champs magnétiques pour déplacer ou freiner les objets métalliques ?
31.2 Rails de Laplace
Une fois n’est pas coutume, ce chapitre ne contient ni définition, ni théorème à retenir. Nous allons y illustrer par l’exemple les conversions de puissance électro-mécanique à travers le classique rail de Laplace.
31.2.1 Bilan mécanique
On a vu au chapitre précédent que la circulation d’un courant électrique dans un conducteur rigide, placé dans un champ magnétique fait apparaître une force, appelée force de Laplace, que l’on peut exprimer par la relation :
F#”L= ˆ B
A
i#”
d`∧ #”
Bext
où i est le courant mis en jeu, A et B les extrémités du conducteur écrites dans le sens du courant, et B#”ext est le champ magnétique extérieur, par exemple imposé par un aimant.
Le dispositif des rails de Laplacepermet de tirer parti de cette force pour déplacer une tige rigide :
i
•A
•B
`
O y
x z
⊗
B#”ext #”
FL
x|
⊗
#”g
31. Conversion électro-magnétique 31.2. Rails de Laplace
Fig. 31.1 – Dispositif des rails de Laplace
En effet dans ce dispositif, la tige colorée en bleu est conductrice, en contact électrique parfait avec les tiges noires, et libre de se déplacer le long de ces mêmes tiges.
Commeiest uniforme dans la tige, le calcul de la force deLaplace est immédiat : F#”L=
ˆ B
A
idy#”uy∧(−Bext#”uz) =iBext`#”ux
L’application du principe fondamental de la dynamique au système {tige mobile} est également im- médiat :
m#”a =m#”g +#”
RN+ #”
FL
Ce qui laisse en projection sur l’axeOx, et en supposant que #”v(t= 0) = #”0 et que # ”
OM(t= 0) = #”0 : mx¨=iBext`
Les intégrations successives, aidées des conditions initiales donnent alors : x= iBext`
2m t2
On obtient un mouvement uniformément accéléré tant que la tige reste en contact avec les rails ou qu’elle reste dans la zone d’influence du champ magnétique.
https://www.youtube.com/watch?v=y6ow-CMG39M
31.2.2 Bilan électrique
Le bilan précédent a été grandement simplifié par l’usage d’un générateur de courant idéal. Rapprochons- nous un peu plus des réalités expérimentales et remplaçons ce générateur de courant idéal par un géné- rateur de tension de résistance interner. Les phénomènes en jeu ne vont pas fondamentalement changer, mais il va falloir être un peu plus prudent dans la résolution du problème.
Commençons par représenter le nouveau schéma mécanico-électrique :
U i r
•A
•B
`
O y
x z
⊗
B#”ext #”
FL
x|
⊗
#”g
Fig. 31.2 – Dispositif des rails de Laplace
La différence est subtile mais fondamentale. Le bilan des forces est identique, et l’expression de la force de Laplace est inchangée. Le principe fondamental de la dynamique en projection sur Ox reste donc :
mx¨=iBext` 2/4
31. Conversion électro-magnétique 31.2. Rails de Laplace
mais l’intégration n’est plus aussi simple car rien ne nous dit maintenant queiest constant...
Il faut donc établir l’équation électrique du problème. Il y a un générateur de tension, une résistance...
et une f.e.m. induite due au flux de #”
Bext à travers la spire formée par les rails et la tige.
Le flux de #”
Bext se calcule en conservant l’orientation donnée par i: Φ =
¨
S
B#”ext·# ” dS=
¨
S
Bext(−#”uz)dS(−#”uz) =BextS=Bext`x La f.e.m. s’en déduit :
eind=−dΦ
dt =−Bext`x˙
En conservant la convention générateur poureind, le circuit électrique équivalent est donc le suivant :
U i
r
eind
Fig. 31.3 – Circuit électrique équivalent des rails deLaplace
La loi des mailles donne alors :
U =Ri−eind=Ri+Bext`x˙ On obtient un système d’équations couplées qu’il faut résoudre :
( m¨x=iBext`
U =Ri−eind=Ri+Bext`x˙
Sa résolution passe, par exemple, par isoleridans la seconde équation et l’injecter dans la première. On retrouve une équation différentielle à coefficients constants du premier ordre en ˙x, que l’on peut résoudre avec les mêmes conditions initiales qu’au calcul précédent :
mx¨+ Bext2 `2
R x˙ =Bext`U R Les intégrations successives nous mènent à la relation :
x(t) = U
Bext` t+ mR B2ext`2 e−
B2 ext`2 mR t−1
!!
31.2.3 Bilan énergétique
Au-delà des techniques de calcul mise en œuvre, on peut s’interroger sur les échanges énergétiques entre un générateur et une masse mobile. En réutilisant les méthodes développées en mécanique et électrocinétique (multiplier l’équation du principe fondamental de la dynamique par ˙x et celle du bilan électrique pari), il vient :
( m¨xx˙ =Bext`ix˙ U i=Ri2+Bext`xi˙
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31. Conversion électro-magnétique 31.3. Généralisation
Soit, en soustrayant les deux relations :
U i=Ri2+mx¨x˙ ⇔U i=Ri2+dEc dt = 0
La puissance électrique fournie par le générateur U i est dissipée par effet Joule dans la résistance interne, et transmise à la tige sous forme de puissance cinétique dEc
dt .
31.3 Généralisation
Voyons maintenant quels enseignements on peut tirer de l’exemple des rails de Laplace. 31.3.1 Conversion électro-mécanique
La démarche réalisée ci-dessus est très générale et permet également d’étudier tout système électro- mécanique de conversion d’énergie en prenant en compte les phénomènes mécaniques ou électriques pertinents (frottements, auto-induction, ...).
Le rendement de cette conversion entre énergie électrique et mécanique est généralement excellent et
« relativement » réversible (techniquement un micro peut servir de haut-parleur et vice-versa même si leur conception favorise un sens de fonctionnement).
Convertisseur / Transducteur électro-mécanique
On appelle transducteur électro-mécanique tout dispositif permettant le transfert d’énergie élec- trique en énergie mécanique. En principe, ces dispositifs sont réversibles et le rendement théorique maximal de cette conversion est de un, soit bien meilleur que ceux que permet d’obtenir la ther- modynamique.
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