Université de Picardie Jules Verne A.U. 2019-2020 Master 2 3EA Surveillance Distribuée de Systèmes Multi-agents
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Devoir Surveillé : noms EM-LA
1 juillet 2020
Consignes pour le contrôle:
• Durée: 2h30 à partir de 9h00. Le barème est donné à titre indicatif
• Uniquement le matériel disponible sur la page web du cours est consultable
• Envoyez votre copie en format numérique (nom du fichier: votre_nom_de_famille.pdf) avant 11h30 à l'adresse e-mail: fabio.morbidi@u-picardie.fr
Exercice 1 : [4 pts]
Soit X = [X, Y, Z]T un vecteur aléatoire d'espérance [0, 1, 0]T et de covariance σ2I3 où I3 dénote la matrice identité 3 × 3 et σ est un paramètre positif. Soit X' le vecteur aléatoire:
où a et b sont deux scalaires. Déterminer les expressions (approchées) de l'espérance et de la covariance de X'.
Exercice 2 : [4 pts]
Un chariot à roues est muni d'un télémètre laser qui lui permet de mesurer sa position x par rapport à un mur (voir la Figure 1 ci-après).
On dispose de deux mesures statiques non corrélées z1 et z2. Les deux mésures sont entachées
d'un bruit blanc gaussien de moyenne zéro et de variance σ12 et σ22, respectivement.
On considère que le meilleur estimé de x obtenu à partir de ces deux mesures est donné par z = z1 + w(z2 − z1) où 0 ≤ w ≤ 1.
1. Appliquer la loi de la propagation d'incertitude pour exprimer la variance σz2 de z en fonction de σ12, σ22 et w.
2. Que doit valoir w pour que σz2 soit minimale ? Justifiez votre réponse.
Figure 1: Chariot à roues avec laser embarqué.
Exercice 3 : [4 pts]
On considère le système dynamique avec vecteur d'état,
qui évolue dans les temps selon l'équation,
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avec condition initiale x0 = [0, 10]T. Cela représente un mouvement unidimensionnel avec position p et vitesse
€
p ˙ , échantillonné à intervalles réguliers T. Le bruit de modèle, qui sert à modéliser l'accélération, est une séquence blanche à moyenne zéro avec variance,
Les mesures consistent en la composante de position du vecteur d'état, entachée par un bruit additif,
où vk est une séquence blanche à moyenne zéro avec variance,
Le bruit de modèle et le bruit de mesure sont mutuellement indépendants.
1. Écrire les équations du filtre de Kalman qui permettent d'éstimer le vecteur d'état du système à chaque instant k.
2. Qu'est-ce qu'il faut changer dans les équations du filtre de Kalman, si on dispose que de mesures de vitesse (au lieu de mesures de position) ?
Exercice 4 : [4 pts]
La matrice laplacienne du graphe G est,
1. Dessiner G et déterminer sa matrice d'adjacence. Le graphe G est-il régulier ?
2. Calculer la matrice laplacienne normalisée LN = D–1L où D–1est l'inverse de la matrice des degrés de G.
3. Écrire l'équation de mis à jour de l'état de l'agent 4 à l'instant t selon le protocol de consensus.
4. A l'instant t = tc la communication entre l'agent 4 et l'agent 5 est interrompue. Écrire l'équation de mis à jour de l'état de l'agent 4 à l'instant tc selon le protocol de consensus
Exercice 5 : [2 pts]
Un ensemble de n capteurs échange des informations sur un réseau de communication sans fils G (voir la Figure 2). L'état du système dynamique linéaire à temps discret,
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est observé par les n capteurs grâce à l'équation de mesure,
où ri est un bruit blanc gaussien à moyenne zéro et avec matrice de covariance Ri et w dénote le
bruit de modèle, un bruit blanc gaussien à moyenne zéro et avec matrice de covariance Q.
1. Sous l'hypothèse de bruits de mesure statistiquement indépendants, écrire les équations du filtre de Kalman qui permettent d'estimer l'état x(k) du système dynamique à l'aide d'un centre de fusion qui combine les n mesures brutes des capteurs.
2. Étudier l'évolutivité (ou scalabilité) du filtre de Kalman pour n → ∞. Quels sont les avantages d'une solution distribuée par rapport à une centralisée, et comment la mettre en œuvre ?
Figure 2: Ensemble de n capteurs en réseau. Les capteurs observent l'état x(k) d'un système dynamique linéaire à temps discret.
Questions à réponse ouverte : [2 pts]
1. Décrire les différences entre une architecture centralisée et une architecture décentralisée pour la fusion multi-capteurs. Motivez votre réponse avec quelques exemples.
2. Recenser les principaux avantages et inconvénients du DACE passe-haut et proportionnel- intégral.
