TDn 2 ◦ InformatiqueThéorique:Automates

Polytech Paris Sud - ET4 Année 2018-2019

Informatique Théorique : Automates

TD n ^◦ 2

Semaine du 24 septembre

Les exercices avec un trèe (♣) doivent être faits dans la séance de TD. Les exercices avec un pique (♠) sont plus diciles et ne seront pas traités en priorité dans la séance.

Construction d'automates déterministes

Exercice 1. (♣) On considère dans cet exercice l'alphabetA={0,1}. Pour chacune des questions de1 à4, donner un automate déterministe accessible complet qui reconnaît le langage décrivant :

1. l'ensemble des mots de A^∗ dans lesquels tout0 est toujours immédiatement suivi d'un1;

2. l'ensemble des mots de A^∗ avec au moins une occurrence du mot0101; 3. l'ensemble des mots de A^∗ qui se terminent par0101;

4. l'ensemble des mots de A^∗ dans lesquels toute occurrence de0 est immédiatement suivie d'un 1et qui n'ont aucune occurrence de 0101.

Démonstration. 1.

1

start 2 P

1

0

1

0

0,1

2.

1

start 2 3 4 5

1

0 1 0 1

0,1 0

1

0

3.

1

start 2 3 4 5

1

0 1 0 1

0 1

0

1

0

4. On veut faire l'intersection du langage de la question 1 et le complément de la question 2 (qui s'obtient en inversant état terminaux et non terminaux car on a un automate complet). La construction est la suivante :

start 1 2 3 4 5

1

0 1 0 1

0,1 0

1

0

start 1,1 2,1 3,1 4,1 5,1

1,2 2,2 3,2 4,2 5,2

1,P 2,P 3,P 4,P 5,P

1

0

0

1 0

1

0

1

1

0 1

0

0,1 0

1

0 1 0 1

1

0 start 1

2

P 1

0 1

0

0,1

Exercice 2 (Division par3). (♠)

1. Construisez un automate déterministe ni qui reconnaît l'ensemble des représen- tations binaires des entiers positifs divisibles par 3, en lisant de la gauche vers la droite.

2. Construisez un automate déterministe ni qui reconnaît l'ensemble des représenta- tions décimales (lues de la gauche vers la droite ou droite vers gauche) des entiers positifs divisibles par3.

Démonstration. 1. Pour gauche vers la droite, pensez que décaler correspond à mul- tiplier par2. Donc décaler et trouver 0 multiplie par2, décaler et lire1 consiste à faire×2 + 1.

≡0[3]

start ≡1[3] ≡2[3]

1 0

1 0

0 1

droite vers gauche ? ?

2. On utilise là encore les congruences modulo 3, le sens de lecture n'a pas d'impor- tance comme10≡1[3]donc seul le chire est important et non la puissance (règle de primaire).

≡0[3]

start ≡1[3] ≡2[3]

1,4,7 1,4,7

1,4,7

2,5,8 2,5,8

2,5,8

0,3,6,9 0,3,6,9 0,3,6,9

Déterminisation d'automates asynchrones

Exercice 3. (♣) Déterminiser et compléter l'automate asynchrone hA, Q, q₀, F, δi sui- vant :

A={a, b}

Q={0,1,2,3,4,5}

q0 = 0 F ={4}

δ={(0, ε,1); (0, ε,5); (1, a,2); (1, b,1); (2, b,3); (3, a,4); (5, b,3)}

Démonstration. Etat initial :

start 0 1 2 3 4

5 ε

ε

a b a

b

b

Après déterminisation etcomplétion :

0,1,5

start 1,3

2 3 4

b

a

b

a b 1

b

a

2,4 a

b P

a

a

b a, b

Exercice 4. Déterminiser l'automate asynchronehA, Q, q₀, F, δi suivant : A={a, b}

Q={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

q0 = 0 F ={10}

δ={(0, ε,1); (1, ε,2); (2, a,3); (3, ε,6); (1, ε,4); (4, b,5); (5, ε,6); (0, ε,6); (6, ε,1);

(6, ε,7); (7, a,8); (8, b,9); (9, b,10)}

Démonstration. Etat initial :

start 0 1 2 3 6

4 5

7 8 9 10

ε ε a ε

ε

b

ε ε

ε

ε a b b

Déterminisation (conseil : regarder uniquement les transitions qu'on essaie de faire, par exemple b. Voir qu'à partir d'une transitionbon a5si on avait4,9si on avait8,10si on avait9et ensuite prendre lesε-clôtures. On mets en gras ceux qui génèrent parε-clôture les états.)

0,1,2,4,6,7

start 1,2,3,4,6,7,8

1,2,4,5,6,7

1,2,4,5,6,7,9 1,2,4,5,6,7,10 a

b a

a

b a

b

b a

Expression rationnelle associée à un automate

Exercice 5. (♣) Pour chacun des automates déterministes sur l'alphabet{a, b}suivants, déterminer le système d'équations linéaires droites associé, le résoudre par élimination et utilisation du lemme d'Arden et en déduire une expression rationnelle du langage qu'il reconnaît :

1.

1

start 2

a b

a, b

2.

1

start 2

a

b

b

a

Démonstration. On rappelle que

X=eX +f a pour solution (unique siε /∈e) X =e^∗f On ajoute +εaux états terminaux

le langage obtenu se fait à partir de l'état initial

Les états non co-accessibles ne sont pas pris en compte 1. On a le système

X1 = aX1+bX2

X₂ = (a+b)X₂+ε d'oùX₂ = (a+b)^∗. AinsiX1=aX1+b(a+b)^∗ =a^∗b(a+b)^∗

2. On a le système

X₁ = aX₁+bX₂+ε

X2 = aX2+bX1 On peut d'abord calculer en passant parX1 ou en passant par X2 :

a. X₁ =aX₁+ (bX₂+ε) =a^∗(bX₂+ε).

D'où en réinsérant : X2 =aX2+bX1 = (a+ba^∗b)X2+ba^∗ = (a+ba^∗b)^∗ba^∗. FinalementX1 =a^∗((a+ba^∗b)^∗ba^∗+ε).

b. De même X2 =aX2+bX1=a^∗bX1 d'oùX1 = (a+ba^∗b)X1+ε= (a+ba^∗b)^∗.

Exercice 6. Pour chacun des automates sur l'alphabet{a, b} ci-dessous construits dans l'exercice6du TD1, dériver, par la même méthode, une expression rationnelle du langage qu'il reconnaît.

1.

1

start 2 3

a b a

b a, b

2.

1

start 2 3

a b a

b a, b

3.

1

start 2 3

4

5 a

b a

b

b a b

a, b

a

4.

start 1 2

a, b

a, b

Démonstration. On applique la même méthode, on fait attention aux états co-accessibles ! 1. Correspond à {w∈A^∗|w ne contient aucune occurrence de la chaînebb}

Calcul :(a+ba)^∗(ε+b)

2. Correspond à {w∈A^∗|w contient au moins une occurrence de la chaîne bb}

Intuition : (a+ba)^∗bb(a+b)^∗.

Calcul :(a+ba)^∗bb(a+b)^∗ ou encore :a^∗b(aa^∗b)^∗b(a+b)^∗.

3. Correspond à {w∈A^∗|w contient exactement une occurrence de la chaîne bb}

Intuition :a^∗b(aa^∗b)^∗b(a^∗b)^∗a^∗ ou(a^∗+a^∗ba)^∗bb(aba^∗+a)^∗ou(ba+a)^∗bb(ab+a)^∗. Calcul :a^∗b(aa^∗b)^∗b(aa^∗b)^∗(ε+aa^∗)

4. Correspond à {w∈A^∗| les nombres deaet de bont même parité dans w}

Calcul :((a+b)²)^∗

Constructions abstraites d'automates

Exercice 7 (Shue). (♠) Pour toute paire de mots(u, v), on appelle mélange de uetv le langageuv déni comme suit :

uv ={u₁v₁u₂v₂. . . u_nv_n | n∈N, u=u₁. . . u_n etv=v₁. . . v_n} où lesu_i et les v_i sont des mots éventuellement vides. Par exemple,

abcd={abcd, acbd, cabd, acdb, cadb, cdab}.

Pour deux langagesL etK leur mélange est le langageLK suivant : LK :={w|w=uv, u∈L, v ∈K}.

1. Donner une expression rationnelle du langage(ab)^∗{c}.

2. Montrer que si L, K sont reconnus par deux automates, alors on peut aussi construire un automate qui reconnaît le langage LK.

Indice:

fairedes pairesd'états,

etun automatenon

déterministe

Démonstration. 1. (ab)^∗{c}= (ab)^∗c(ab)^∗∪(ab)^∗acb(ab)^∗.

2. SoitA₁= (Q1, A, I1, F1, E1)un automate reconnaissantLetA₂= (Q2, A, I2, F2, E2) un automate reconnaissant K. On dénit l'automate suivant :

A:= (Q₁×Q₂, A, I₁×I₂, F₁×F₂, T), oùT est déni par :

T := {(q₁, q₂)−→^a (q₁⁰, q₂) | (q₁, q₂)∈Q₁×Q₂, a∈A, q₁−→^a q⁰₁∈E₁}

∪ {(q₁, q2)−→^a (q1, q₂⁰) | (q1, q2)∈Q1×Q2, a∈A, q2 a

−→q⁰₂∈E2}.

Cet automate convient.

Exercice 8 (Racine). (♠) PourL un langage on dénit :

√

L:={w|w·w∈L}.

Montrer que si L est reconnu par un automate déterministe complet, alors on peut construire un automate qui reconnaît le langage √

L.

Indice:

ilfaut essayer desuiv re simultanémen tl'action

dec haquegénérateur surc

haqueé tat

Démonstration. Soit A = (Q, A,{q₀}, F, E) un automate reconnaissant L. Et on note q₀, . . . , q_n sesn+ 1états. On dénit alors l'automate :

A⁰ := (Qⁿ⁺¹, A,{(q₀, q₁, . . . , q_n)}, F⁰, E⁰),

où E⁰ est déni par

E⁰ ={(p₀, . . . , pn)−→^a (p⁰₀, . . . , p⁰_n) | (p0, . . . , pn)∈Qⁿ⁺¹, a∈A,(p0

−a

→p⁰₀, . . . , pn

−a

→p⁰_n)∈Eⁿ⁺¹}.

Ses états naux sont de la forme (p₀, . . . , p_n) où, siiest l'indice deq_i tel que p₀=q_i, on api∈F.

Le langage est bien le bon, en eet un mot u nous amène dans un état nal si q₀·u=p₀=q_i et alorsq_i·u=p_i∈F donc q₀·(uu)∈F.

Autre proposition (par Evangelos) : les états sont Q³. On devine au début qui va être la racine et on suit l'évolution à partir deq0 et de cet état. Ainsi un triplet décrit le chemin depuisq₀, le guess initial, le chemin depuis le guess. Le guess ne change pas dans les transitions. Celui-ci est non-déterministe.