L’étude des systèmes comprend

Systèmes : définitions et propriétés élémentaires Cédric RICHARD

Université Côte d’Azur

Définition

Un système est défini par une opération appliquée à un signal d’entrée x(t) conduisant à un signal de sortie y(t) :

⊲ en vue de répondre à un objectif donné

⊲ pour faciliter l’extraction d’informations

⊲ auquel les transformations apportées sont indésirables Un système peut être implanté de façon :

⊲ hardware (composants physiques)

⊲ software (algorithmes numériques)

Représentation

Représentation par blocs (entrée/sortie) :

Système

x₁(n) x₂(n) x₃(n)

xN(n)

y₁(n)

y₂(n)

y_M(n) ..

.

.. .

L’étude des systèmes comprend :

⊲ modélisation mathématique

⊲ analyse

⊲ synthèse

Classification des systèmes

Linéarité

x₁(t) → y₁(t) x₂(t) → y₂(t)







⇒ a₁ x₁(t) + a₂ x₂(t) → a₁ y₁(t) +a₂ y₂(t)

Classification des systèmes : systèmes linéaires

Exemple : y(t) = 2t x(t − 1)

x₁(t) → y₁(t) = 2t x₁(t − 1) x₂(t) → y₂(t) = 2t x₂(t − 1)

En conséquence :

a₁ x₁(t) +a₂ x₂(t) → 2t[a₁ x₁(t −1) + a₂x₂(t − 1)]

= a₁y₁(t) + a₂ y₂(t)

Le système considéré est donc linéaire

Classification des systèmes : systèmes linéaires

Exemple : y(t) = x²(t)

x₁(t) → y₁(t) = x²₁(t) x₂(t) → y₂(t) = x²₂(t)

En conséquence :

a₁ x₁(t) +a₂ x₂(t) → [a₁ x₁(t) + a₂ x₂(t)]² 6= a₁ y₁(t) + a₂ y₂(t)

Le système considéré est donc non-linéaire

Classification des systèmes

Invariance dans le temps

x(t) → y(t) ⇒ x(t − t₀) → y(t −t₀)

Exemple : y(t) = sin(x(t))

x(t) → y(t) = sin(x(t))

x₁(t) = x(t − t₀) → y₁(t) = sin(x(t− t₀)) = y(t −t₀)

Le système considéré est invariant dans le temps

Classification des systèmes : systèmes invariants dans le temps

Exemple : y(t) = sin(t)x(t − 2)

x(t) → y(t) = sin(t)x(t− 2)

x₁(t) = x(t − t₀) → y₁(t) = sin(t)x(t − t₀ −2) 6= y(t −t₀) car y(t − t₀) = sin(t − t₀)x(t − t₀ − 2) Le système considéré n’est donc pas invariant dans le temps

Classification des systèmes

Système instantané (ou sans mémoire)

y(t₀) dépend exclusivement de x(t₀)

Exemple : y(t) = (t − 3)x(t)

y(t₀) = (t₀ − 3)x(t₀)

Puisque y(t₀) depend de x(t) seulement en t = t₀, le système est sans mémoire

Exemple : y(t) = (t − 3)x(t + 1)

y(t₀) = (t₀ − 3)x(t₀ + 1)

Puisque ( ) depend de ( + 1), le système est avec mémoire

Classification des systèmes : systèmes sans/avec mémoire

Exemple : résistance constante (sans mémoire)

v(t) = R i(t) entrée : i(t) sortie : v(t) i(t) = G v(t) entrée : v(t) sortie : i(t)

Exemple : capacité constante (avec mémoire) v(t) = 1

C Z ^t

−∞

i(τ)dτ

Classification des systèmes

Système causal

y(t₀) dépend exclusivement de x(t), t ≤ t₀

Exemple : y(t) = R^t

−∞x²(τ −1)dτ

Puisque y(t) depend de x(t) avec t ∈] − ∞, t₀ −1], le système est causal Exemple : y(t) = 3x²(t − 1) + 2x(t + 3)

Puisque y(t₀) depend de x(t₀ −1) et x(t₀ + 3), le système n’est pas causal

Classification des systèmes

Système invertible

x(t) peut être retrouvé de manière unique à partir de y(t)

Exemple : y(t) = 4x(t)

x(t) = 1 4 y(t)

Le système est invertible car x(t) peut être déterminé à partir de y(t)

Classification des systèmes

Système stable (BIBO : bounded input bounded output) toute entrée x(t) bornée → sortie y(t) bornée

Exemple : y(t) = e^−|x(t)|

Puisque |y(t)| < ∞ pour tout x(t), le système est stable

Exemple : y(t) = t x(t)

Pour x(t) = K, on observe que lim^t_→∞ y(t) → ∞ Le système est donc instable

Pour prouver qu’un système est instable, il suffit d’exhiber un exemple

Classification des systèmes

Système continu ou discret

Continu : l’entrée et la sortie sont des signaux continus Discret : l’entrée et la sortie sont des signaux discrets

Système analogique ou numérique

Analogique : l’entrée et la sortie sont des signaux analogiques Numérique : l’entrée et la sortie sont des signaux numériques