[ Corrigé du baccalauréat STI Antilles–Guyane \ Génie électronique, électrotechnique et optique
20 juin 2011
EXERCICE1 5 points
1. Équation 9z2−6z+2=0; ∆=36−4×9×2= −36=(6i)2<0. l’équation a donc deux racines complexes conjuguées :
6+6i 2×9 =1
3+i1 3 et1
3−i1 3.
S=
½1 3+i1
3 ; 1 3−i1
3
¾
2. zB= 1
32+32i=
3 2−32i
¡3
2+32i¢ ¡3
2−32i¢=
3 2−32i
94+94 =
3 2−32i
92
=29¡3
2−32i¢
=1 3−1
3i.
3. On a|zA|2=94+94=184 ⇒ |zA| =3p 2 2 . On peut ensuite écrirezA=3p
2 2
Ãp 2 2 +i
p2 2
!
On reconnaît le cosinus et le sinus deπ 4. Un argument dezAestπ
4. DezB= 1
zA, on déduit que|zB| = 1
|zA|= p2
3 et qu’un argument dezBest− π 4. 4. a. Voir à la fin.
b. On a³−−→OB ;−−→OA´
=π4−¡
−π4¢
=π2. Donc le triangle OAB est rectangle en O.
5. a. zC′= 1 zC= 1
e−iπ8 =eiπ8.
b. On a eiπ4×zC=eiπ4×e−iπ8=eiπ8 =zC′. Cette égalité montre que le point C′ est l’image de C par la rotation de centre O et d’angleπ
4.
6. L’affixe du vecteur de la translation qui transforme D en A estz−−→DA =zA−zD= 3
2+3 2i−
µ
−1 3−1
3i
¶
=3 2+1
3+i µ3
2+1 3
¶
=11 6 +i11
6.
1
−1
1
−1
−2 −→
u
−
→v
b
b
b
A
B D O
Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique et optique A. P. M. E. P.
EXERCICE2 5 points
1. On ap(A1)=1
4, doncp³ A1
´
=1−1 4=3
4. 2. On ap³
A1∩A2
´
=3 4×1
4= 3 16. 3. On ap(A1∩A2)=1
4×1 4= 1
16.
4. a. La probabilité de n’avoir aucun tirage A est égale à3 4×3
4= 9
16. Doncp(G=
−2)= 9 16.
b. On aG∈{−2 ; 1 ; 10}.
c. Le joueur reçoit 12(avec une probabilité´dep(A1∩A2)= 1 16. Le résultat A est obtenu au deuxième lancer avec la probabilitép³
A1∩A2´
= 1
4×3 4= 3
16.
Donc la probabilité d’avoir un seul résultat A est égale àp³ A1∩A2
´ +p³
A1∩A2
´
= 3
16+ 3 16= 6
16.
On a donc le tableau de la loi de probabilité de la variableGsuivant :
valeurs deG −2 1 10
p¡ G=gi
¢ 9
16
6 16
1 16 d. On ap(G>0)= 6
16+ 1 16= 7
16. e. On a E(G)= −2× 9
16+1× 6
16+10× 1 16= − 7
16≈0,44(.
Sur un grand nombre de parties le joueur perdra à peu près 44 centimes d’euro par partie.
PROBLÈME 10 points
Partie A
hest définie et dérivable surR+eth′(x)=a x. La droite T a un coefficient directeur égal à3−1
1−0=2. On a doncf′1)=2 ⇐⇒ a 1 = 2⇐⇒ a=2.
D’autre parth(1)=3 ⇐⇒aln 1+b=3 ⇐⇒b=3.
La fonctionhest donc définie par :h(x)=2lnx+3 surR+. Partie B
1. gsomme de produits de fonctions dérivables sur ]0 ;+∞[ est dérivable et sur cet intervalle :
g′(x)=2lnx+2x×1
x+1=2lnx+3=h(x).
2. Sur ]0 ;+∞[, 2lnx+3>0 ⇐⇒ 2lnx> −3 ⇐⇒ lnx> −3
2et par croissance de la fonction exponentiellex>e−32.
DoncS=
ie−32 ;+∞
h.
Antilles–Guyane 2 20 juin 2011
Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique et optique A. P. M. E. P.
3. Déterminer les limites de la fonctiongen 0 et en+∞. On sait que lim
x→0xlnx= 0, donc lim
x→0g(x)= −1.
D’autre part lim
x→+∞lnx= lim
x→+∞x= +∞donc par somme de limites lim
x→+∞g(x)= +∞.
4. On a vu que suri
e−32 ;+∞h
,g′(x)>0, doncgest croissante sur cet intervalle.
On montre de même que suri 0 ; e−32h
,g′(x)<0, doncgest décroissante sur cet intervalle.
D’où le tableau de variations suivant :
x 0 e−32 +∞
g′(x) − 0 +
−1
−2e−23−1
+∞
0 1
5. Le tableau de variations montre que sur ]0 ; 1[, on ag(x)<0 et sur ]1 ;+∞[, g(x)>0.
Partie C
1. On af(x)=x(xlnx−1)+1. Donc comme lim
x→+∞lnx= lim
x→+∞x= +∞, on ob- tient par produit de limites lim
x→+∞f(x)= +∞. 2. a. On af′(x)=2xlnx+x2×1
x−1=2xlnx+x−1=g(x).
b. Le signe def′(x) est donc celui deg vu à la question 5 de la partie B.
Donc :
f′(x)<0 sur ]0 ; 1[, doncf est décroissante sur cet intervalle etf′(x)>0 sur ]1 ;+∞[, doncf est croissante sur cet intervalle.
3. x 0,2 0,5 1 1,5 2 2,5 3
f(x) 0,7 0,3 0 0,4 1,8 4,2 7,9
4. Voir à la fin.
Partie D
1. a. Voir la figure
b. Chaque petit carré a une aire de 4
25 cm2. La surface hachurée contient à peu près 14 petits carrés soit 14× 4
25=56
25=2,24cm2. On a donc 2<A<
3.
2. La fonction f est positive, donc l’aireA de∆en unité d’aire est égale à l’in- tégrale :
Z2
1 f(x)dx=[F(x)]21=F(2)−F(1)=23 3 ln2−23
9−22 2 +2−
·13
3 ln1−13 9 −12
2 +1
¸
= 8
3ln2−8
9−2+2−
·
−1 9−1
2+1
¸
= 8 3ln2−8
9+1 9+1
2−1= 8 3ln 2−7
9−1 2 ≈ 0,5706 unité d’aire.
Or une unité d’aire vaut 2×2=4 cm2. DoncA=4
µ8 3ln 2−7
9−1 2
¶
=32
3 ln2−28
9 −2≈2,282 cm2.
Antilles–Guyane 3 20 juin 2011
Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique et optique A. P. M. E. P.
1 2 3 4 5 6 7
−1
1 2 3 4
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