Durée : 4 heures
[ Corrigé du baccalauréat STI La Réunion juin 2011 \ Génie électronique, électrotechnique, optique
EXERCICE1 5 points
1. PuisquezA=p
3eπ3 etzB=3eiπ4, alorszA×zB=3p
3e¡π3+π4¢=3p
3e¡π3+π4¢. 2. L’image du point C(2 ; 4) par la rotationr est le point C′ tel que :zC′−0=
eiπ4(2+4i−0)⇐⇒ zC′=
³p 2 2 +i
p2 2
´
(2+4i)=p 2−2p
2+i(2p 2+p
2)=
−p 2+3ip
2. Réponsec.
3. 1
2+i= 2−i
(2−i)(2+i)= 2−i 4+1=2−i
5 =2 5−i1
5. Réponseb.
4. On reconnaît le cosinus et le sinus de π3, doncz=eiπ3etz2 011=
³ eiπ3´2 011
= ei2 0113π =eiπ3 car 20113π=20103π+13π=670π+13π=335×2π+13π. Réponseb.
5. Réponsec.
EXERCICE2 5 points
1. Voir à la fin.
2. a. La probabilité est égale à 324 1200= 27
100=0, 27.
b. La probabilité est égale à 6 1200= 1
200=0, 005.
3. a. On aX∈{−5 ;−2 ;−1 ; 2 ; 5}.
b. On ap(X= −5)= 576
1200, p(X= −2)= 144
1200, p(X= −1)= 324
1200, p(X= 2)=36+114
1200 = 150
1200, p(X=5)= 6
1200. D’où le tableau suivant :
X=. . . −5 −2 −1 2 5
p(X=xi) 576 1200
144 1200
324 1200
150 1200
6 1200 c. On a E(X)= −5× 576
1200−2× 144
1200−1× 324
1200+2× 150
1200+5× 6 1200 =
−2880−288−324+300+30
1200 =3162
1200=2, 635.
4. Sur un grand nombre de parties un joueur perdra à chaque partie en moyenne à peu près 2,64(.
PROBLÈME 10 points
Partie A
1. Le maximum de la fonction vaut à peu près−1, 3 : la fonction est donc néga- tive sur l’intervalle [0 ; 10].
2. On af′x)=1 x+a
Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique A. P. M. E. P.
3. On af′(2)=0 ⇐⇒ 1
2+a=0⇐⇒ a= −1 2. De plusf(2)= −2+ln 2 ⇐⇒ln 2−1
2×2+b= −2+ln 2 ⇐⇒ −1+b= −2 ⇐⇒
b= −1.
Conclusion : sur [0 ; 10], f(x)=lnx−x 2−1.
Partie B
1. a. On ag(x)=lnx(lnx−2)−x. Comme lim
x→0lnx= −∞, lim
x→0lnx−2= −∞et par produit de limites lim
x→0lnx(lnx−2)= +∞, donc finalement lim
x→0g(x)= +∞.
b. Le résultat précédent signifie géométriquement que la droite d’équation x=0 (axe des ordonnées) est asymptote verticale àC au voisinage de zéro.
2. a. gest dérivable sur ]0 ; 10] et sur cet intervalle : g′(x)=2lnx×1
x−1−2×1 x =2lnx
x −1−2 x = 2
x
³ lnx−x
2−1´
=2 xf(x)= 2f(x)
x . b. Comme 2
x >0 sur ]0 ; 10], le signe deg′(x) est celui def(x) qui est né- gatif d’après la question 1 de la partie A. Or g′(x)<0 signifie queg est décroissante sur ]0 ; 10].
3. La tangenteT contient le point de cordonnées (1 ;g(1))=(1 ;−1).
Le coefficient directeur deT est égal àg′(1)= −3.
Une équation réduite deT est doncy= −3x+bet comme le point (1 ;−12) appartient àT, on a−1= −3+b ⇐⇒b=2.
Une équation deTest doncy= −3x+2.
4. a. La fonctiongest dérivable sur [0,1 ; 10] et strictement croissante ; comme f(0, 1)≈9, 8 etf(10)≈ −9, 3, il existe un réel uniqueα∈[0, 1 ; 10] tel que g(α)=0.
b. La calculatrice donne 0, 72<α<0, 73.
Partie C
1. Gest dérivable sur ]0 ; 10] et sur cet intervalle : G′(x)=(lnx)2+x×2×lnx×1
x−4lnx−4x×1 x+4−1
2×2x=(lnx)2+x× 2×lnx×1
x−4lnx−4x×1 x+4−1
2×2x=lnx)2+2lnx−4lnx−4+4−x= (lnx)2−2lnx−x=g(x).
ConclusionGest une primitive degsur ]0 ; 10].
2. Voir à la fin
3. La courbeC étant située au dessus deT, l’aire (en unité d’aire de la surface
∆est égale à l’intégrale : Ze
1 [g(x)−(2−3x) dx=
·
G(x)−2x+3 2x2
¸e 1 e 1= e(ln e)2−4e ln e+4e−1
2e2−2e+3 2e2−
·
1(ln 1)2−4ln 1+4−1 2−2+3
2
¸
=
e−4e+4e−1
2e2−2e+3
2e2−4+1 2+2−3
2= e2−e−3 (u. a.)≈1, 7 (u. a.)
La Réunion 2 juin 2011
Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique A. P. M. E. P.
ANNEXE 1 à rendre avec la copie Joueurs
ayant validé :
le niveau 1 uniquement
les niveaux 1 et 2
les trois niveaux
Total
avec bonus 144 36 6 186
sans bonus 576 324 114 1 114
Total 720 360 120 1 200
ANNEXE 2 à rendre avec la copie
1 2 3 4 5 6 7
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
−10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
O
C e
T
La Réunion 3 juin 2011
