Durée : 4 heures
[ Baccalauréat STI La Réunion juin 2006 \ Génie électronique, électrotechnique, optique
EXERCICE1 4,5 points
Cest l’ensemble des nombres complexes et i désigne le nombre complexe de module 1 et d’argument π
2.
1. Résoudre dans l’ensembleCl’équation :
z2−4z+16=0.
2. On considère les nombres complexes : z1=2+2ip
3 et z2=2−2ip 3.
a. Déterminer le module et un argument dez1. b. écrirez1, puisz2sous forme exponentielle.
3. Le plan est muni d’un repère orthonormal direct³ O ;−→
u,−→ v´
d’unité 1 cm.
On considère la rotationrde centre O et d’angle−2π 3 .
a. Placer les points M1, et M2d’affixes respectivesz1etz2dans le repère³ O ;−→
u,→− v´
. b. Montrer que le point M2est l’image du point M1par la rotationr.
c. On appelle M3le point image du point M2par la rotationr.
Calculer l’affixez3du point M3. Placer le point M3dans le repère³
O ;−→ u,−→
v´ . d. Démontrer que le triangle M1M2M3est équilatéral.
4. Vérifier que les nombres complexes (z1)6et(z1)4
(z2)2sont des entiers naturels.
On utilisera la forme dez1etz2la plus adaptée.
EXERCICE2 4,5 points
I.On considère l’équation différentielle :
(E0) : y′′+4y=0
oùydésigne une fonction de la variable réellet, définie et deux fois dérivable sur l’ensembleRdes nombres réels, ety′′sa dérivée seconde.
1. Résoudre l’équation (E0).
2. Déterminer la solution particulièref de (E0) vérifiant : f(0)=p
3 et f′(0)=2 oùf′désigne la fonction dérivée de la fonctionf.
Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique A. P. M. E. P.
3. Montrer que pour tout réelt, f(t) peut s’écrire sous la forme : f(t)=2cos³
2t−π 6
´.
4. Calculer la valeur moyenne def sur l’intervalleh 0 ; π
2 i. II.On considère maintenant l’équation différentielle :
(E1) : y′′+4y=3sint
oùydésigne une fonction de la variable réellet, définie et deux fois dérivable sur l’ensembleR, ety′′
sa dérivée seconde.
1. Montrer que si une fonctiongest solution de l’équation (E0), alors la fonctionhdéfinie surR par :h(t)=g(t)+sintest solution de l’équation (E1).
2. Donner une solution particulière, ne s’annulant pas pourt=0, de l’équation (E1).
PROBLÈME 11 points
Sur la feuille annexe,qui doit être remise avec la copie, on donne, dans le plan muni d’un repère or- thonormal³
O ;−→ ı,−→
´
, la courbe représentativeCf d’une fonctionf définie sur l’intervalle ]2 ;+∞[.
Partie A : détermination de la fonctionf
On suppose que la courbe passe par le point A de coordonnées µ
3 ;−7 2+3ln 2
¶ . La droite D d’équationx=2 est une asymptote verticale â la courbeCf. On notef′la fonction dérivée def.
1. Quelle est la valeur exacte def(3) ?
2. Donner sans justification la limite de la fonctionf en 2.
3. On suppose que, pour tout réelxde l’intervalle ]2 ;+∞[,
f(x)=ax−5+3ln(x−1)−3ln(x−2).
En utilisant la réponse de la question 1, déterminer algébriquement le nombrea.
Partie B : étude de la fonctionf
On admet que la fonctionf est définie sur l’intervalle ]2 ;+∞[ par : f(x)=1
2x−5+3ln(x−1)−3ln(x−2).
1. a. Retrouver par le calcul la limite de la fonctionf en 2.
b. Montrer que, pour tout x réel de l’intervalle ]2+ ∞[
f(x)=1
2x−5+3ln µx−1
x−2
¶ . c. En déduire la limite de la fonctionf en+∞.
2. Démontrer que la droite∆d’équationy=1
2x−5 est une asymptote oblique à la courbeCf en +∞. Tracer∆sur la feuille annexe.
La Réunion 2 juin 2006
Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique A. P. M. E. P.
3. a. Calculerf′(x) et montrer que pour tout réelxde l’intervalle ]2 ;+∞[
f′(x)= x2−3x−4 2(x−1)(x−2). b. Étudier le signe def′(x) sur l’intervalle ]2 ;+∞[.
c. Dresser le tableau de variations de la fonctionf sur l’intervalle ]2 ;+∞[.
4. a. Montrer que l’équation f(x)=0 admet une solution uniqueαdans l’intervalle [2,1; 3] et une solution uniqueβdans l’intervalle [9; 10].
b. Déterminer un encadrement d’amplitude 10−1de chacune des solutionsαetβ.
Partie C : calcul d’aire
1. On considère les fonctionshetHdéfinies sur l’intervalle ]2 ;+∞[ par h(x)=ln
µx−1 x−2
¶
et H(x)=(x−1)ln(x−1)−(x−2)ln(x−2).
a. Montrer que la fonctionHest une primitive de la fonctionhsur l’intervalle ]2 ;+∞[.
b. En déduire une primitive de la fonctionf sur l’intervalle ]2 ;+∞[.
2. On considère le domaineD du plan compris entre la courbeCf, l’axe des abscisses et les droites d’équationx=3 etx=9.
a. Hachurer le domaineDsur le graphique de la feuille annexe.
b. On noteAla mesure, en unités d’aire, de l’aire du domaineD. ExprimerA sous la forme d’une intégrale.
c. Calculer la valeur exacte deA, puis en donner une valeur approchée à 10−1près.
La Réunion 3 juin 2006
Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique A. P. M. E. P.
FEUILLE ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE
Courbe de la fonctionf
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
−1−1
−2
−3
−4
−5 1 2 3 4 5
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
D O −→
ı
−
→
La Réunion 4 juin 2006
